基于核心素養(yǎng)教學理念的教學設計
——以“連續(xù)自然數(shù)平方的求和公式”為例

吳京霖， 丁祥芝， 王寬明

(貴州師范大學數(shù)學科學學院，貴州 貴陽 550025)

1 問題提出

“連續(xù)自然數(shù)平方的求和公式”是2020年版人教版教材中的選擇性必修內容，出現(xiàn)于數(shù)列的數(shù)學歸納法部分，以結論的形式直接給出，不像其他例題讓學生經歷猜想、驗證后再用數(shù)學歸納法證明[1].如此安排有兩點原因：一是連續(xù)自然數(shù)平方的求和與等差、等比數(shù)列差異較大，求和方法上沒有共通之處，因此僅將其安排在數(shù)學歸納法部分，運用數(shù)學歸納法證明；二是由于連續(xù)自然數(shù)平方的求和結果的形式結構較為復雜，學生無法直接猜想其可能的形式.如此安排雖然可以解決上述兩個問題，但也產生了新的問題：首先，以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的課程目標下，數(shù)學公式的教學應讓學生經歷猜想、發(fā)現(xiàn)、驗證、歸納等過程，而非以知識灌輸為目的，教材中例題的設計缺乏讓學生經歷對問題的發(fā)現(xiàn)和猜想過程，可能導致學生對公式的理解存在不足[2]；其次，連續(xù)自然數(shù)平方的求和問題的猜想過程為“連續(xù)自然數(shù)乘積的求和問題”“連續(xù)自然數(shù)立方的求和問題”的解決提供了重要思考方向.2022年全國數(shù)學新高考Ⅰ卷數(shù)列題就是以連續(xù)自然數(shù)之積的求和公式為背景進行命題，考查學生數(shù)列問題中的猜想、歸納能力.由此可見，連續(xù)自然數(shù)平方的求和公式雖然僅作為選學內容，但其蘊涵的數(shù)學思想方法具有重大價值.綜上所述，本研究嘗試從學生的知識水平出發(fā)，探究是否存在符合學生知識水平下的猜想方式，并結合核心素養(yǎng)的教學理念給出相應的教學設計.

2 猜想路徑分析

連續(xù)自然數(shù)平方的求和問題可以表示為Tn=12+22+…+n2.從結構上看求和通項an=n2，形式雖然簡單，但并非學生所掌握的等差或等比公式，因此在教學過程可以先引導學生應用倒序求和法、錯位相減法等進行嘗試，加深對倒序求和法、錯位相減法的本質理解，同時也為引出數(shù)學歸納法做好鋪墊.學生在經歷求和方法的類比嘗試失敗后，會回歸更加一般的方法，即寫出數(shù)列的前幾項來發(fā)現(xiàn)規(guī)律(見表1).

表1 {Tn}的前5項

從表1可知，數(shù)字雖然整體上呈現(xiàn)遞增的趨勢，但是很難發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，嘗試再次失敗.觀察Tn=12+22+…+n2，教師引導學生思考：它既然是連續(xù)自然數(shù)平方的求和，不妨把連續(xù)自然數(shù)的求和(記Sn=1+2+…+n)列出來，觀察是否存在某種聯(lián)系[3].

表2 {Sn},{Tn}的前5項

表3 的前5項

表4 {Sn}與{Pn}的前5項

此外，對于連續(xù)自然數(shù)的立方和也可以按照上述猜想方法進行.記Kn=13+23+…+n3，將{Sn}與{Kn}的前5項列表(見表5)：

表5 {Sn}與{Kn}的前5項

通過上述分析發(fā)現(xiàn)，引入連續(xù)自然數(shù)的求和結果作為對比，可以很快猜想出連續(xù)自然數(shù)平方和、立方和以及乘積和，猜想方法具有很好的遷移性，且思維程度并不算高，可以作為進行數(shù)學歸納法證明連續(xù)自然數(shù)平方和的猜想方法對學生加以指導，提高學生猜想、發(fā)現(xiàn)數(shù)學結論的能力，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識.

3 教學設計

核心素養(yǎng)教學理念的核心之處在于讓學生經歷知識產生的探究過程，并在知識探究的過程中經歷“發(fā)現(xiàn)—猜想—驗證—證明”等環(huán)節(jié)，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，讓數(shù)學知識由冰冷的皇冠轉化為火熱的思考.經過上述猜想路徑的分析，連續(xù)自然數(shù)平方的求和公式存在可以讓學生進行猜想發(fā)現(xiàn)的路徑.因此，基于上述路徑以發(fā)展學生的猜想、驗證、證明能力為目的進行教學設計.

3.1 環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設情境，發(fā)現(xiàn)問題

師：同學們，觀察圖1，思考兩個問題：第n個圖形中有多少個小正方形？n個圖形中一共有多少個正方形？嘗試用數(shù)學表達式表述上面的問題.

圖1 問題情境圖

生1：第n個圖形中有n2個正方形，它們共有12+22+…+n2個正方形.

設計意圖連續(xù)自然數(shù)的平方和的結果又稱為“四棱錐數(shù)”.通過創(chuàng)設情境，讓學生抽象出數(shù)學問題，教師適當進行學法的指導，更有利于學生良好學習習慣的養(yǎng)成.

3.2 環(huán)節(jié)2：類比聯(lián)想，試錯探究

師：這個求和表達式熟悉嗎？和我們學過的什么知識有聯(lián)系呢？

生2：有點像等差數(shù)列，但是多了個平方.

師：很好!請大家嘗試用學過的求和方法進行求解，給大家5分鐘的時間.

師：時間到，有同學求出結果了嗎？

生(眾)：沒有！

師：那你們有何想法或思路嗎？

生3：我用了倒序求和法來求，但是它們配對的和不相等.

生4：我是用錯位相減法來求，但是想不到要乘哪個數(shù).

師：雖然未能做出結果，但是你們能學以致用，很好！前面我們所學的求和方法是有限制條件的，不滿足條件的情況下是求不出結果的.

生5：那該怎么做呢？

師：能否通過找規(guī)律進行求解呢？

生6：1，5，14，30，55，…，寫出前幾項后看不出有什么規(guī)律.

設計意圖啟發(fā)式教學的關鍵在于“不憤不啟，不悱不發(fā)”.在數(shù)學教學中，讓學生對問題進行嘗試，發(fā)現(xiàn)問題的難點后，教師再適當點撥，可以讓學生有“柳暗花明”之感，感受數(shù)學的魅力，提升數(shù)學學習的興趣[4].

3.3 環(huán)節(jié)3：適當點撥，思維碰撞

師：數(shù)學知識間普遍存在著聯(lián)系，通過掌握的知識去探索那些未知的知識是學習數(shù)學的重要方法.從形式上看，這與求連續(xù)n個自然數(shù)的和有一定的相似性，我們可以嘗試把前5項通過列表的形式展現(xiàn)，觀察數(shù)字間是否存在一定的規(guī)律(小組合作討論).

師：你們能把這個發(fā)現(xiàn)寫成一般的表達式嗎？

師：Sn是什么？這對求Tn有幫助嗎？

師：這個結果對嗎？請驗證一下.

生9：對的，把n從1取到5，結果和列表得到的結果是一致的.

設計意圖數(shù)學探究過程是發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要環(huán)節(jié).通過小組合作的形式，讓學生集思廣益，在不斷的思考和嘗試中發(fā)現(xiàn)隱藏在數(shù)字背后的規(guī)律，發(fā)展學生的數(shù)學猜想能力.

3.4 環(huán)節(jié)4：猜非為真，嚴謹論證

師：這個結果只是我們在有限項里發(fā)現(xiàn)的結論，你能將這個猜想進行證明嗎？

生10：可以用數(shù)學歸納法進行證明.先假定當n=k時成立，然后再看當n=k+1時是否成立.如果成立，那么由k的一般性可知結論成立.

(證明略.)

設計意圖數(shù)學猜想的結果是否正確需要嚴謹?shù)恼撟C，讓學生經歷證明自己數(shù)學猜想的過程，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，發(fā)展學生的理性精神和科學態(tài)度.

3.5 環(huán)節(jié)5：類比遷移，感悟方法

師：連續(xù)自然數(shù)的平方和我們稱之為“四棱錐數(shù)”.自然地，我們還有“三棱錐數(shù)”“五棱錐數(shù)”等，請大家翻開課本的復習參考題中拓廣探究問題第13題，你能用剛才領悟的方法解決這個問題嗎？

生11：使用的方法是一樣的嗎？

師：回顧一下，剛才我們是如何探索得到新方法的？

生12：我們是先觀察，再猜想，最后證明.

師：對！探究一個數(shù)學問題前，我們往往不知道具體使用什么方法適合，可以不斷地去嘗試、去探索，這也正是數(shù)學的魅力.

設計意圖類比遷移是發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識的重要思想方法，學生在掌握“四棱錐數(shù)”之后，引導學生積極運用掌握的猜想方法去發(fā)現(xiàn)“三棱錐數(shù)”，培養(yǎng)學生的類比思想方法，發(fā)展學生的數(shù)學創(chuàng)新意識.

3.6 環(huán)節(jié)6：課堂小結，提煉思想

師：通過這節(jié)課，同學們了解了發(fā)現(xiàn)數(shù)學結論的方法，能說說你們的收獲嗎？

生13：我認為最大的收獲是原來數(shù)學知識是這樣發(fā)現(xiàn)的，仔細地觀察，提出猜想，驗證它,證明它.數(shù)學真的好有趣！

設計意圖讓學生回顧整個知識探究的過程，提煉數(shù)學思想方法，為探究新的問題奠定良好的基礎，加深學生對知識的記憶和方法的掌握.

3.7 環(huán)節(jié)7：開放作業(yè)，減負增效

師：我們解決了連續(xù)自然數(shù)的和、連續(xù)自然數(shù)的乘積和、連續(xù)自然數(shù)的平方和，那么連續(xù)自然數(shù)的立方和該怎么求呢？請同學們把思考過程寫成數(shù)學日記.

設計意圖通過數(shù)學日記的形式不僅可以讓學生在課外深度運用課堂的知識和方法，教師還可以從數(shù)學日記中發(fā)現(xiàn)學生思維上的優(yōu)點和不足，避免無效的題海戰(zhàn)術，落實“減負增效”[5].

4 結語

通過學生的視角分析其探究的可能路徑，發(fā)現(xiàn)引入連續(xù)自然數(shù)之和作為對比，可以讓學生比較輕松地對求和公式進行猜想.根據(jù)該猜想路徑，開發(fā)了基于核心素養(yǎng)教學理念的連續(xù)自然數(shù)平方的求和公式教學設計.本文研究的意義在于一方面可以彌補教材中的不足，另一方面也為如何培養(yǎng)學生的猜想能力提供一定的參考.