基于后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)的多源先驗(yàn)信息融合方法

陳洪科

（廈門大學(xué)嘉庚學(xué)院，福建漳州363105）

基于后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)的多源先驗(yàn)信息融合方法

陳洪科

（廈門大學(xué)嘉庚學(xué)院，福建漳州363105）

針對(duì)多源先驗(yàn)信息Bayes融合中先驗(yàn)分布權(quán)重分配問(wèn)題，提出了一種基于后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)的權(quán)重確定方法——構(gòu)造后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)矩陣，并基于后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)與先驗(yàn)分布權(quán)重成反比的原則建立權(quán)重求解方程進(jìn)而求得各先驗(yàn)分布的權(quán)重系數(shù)。通過(guò)算例證明了該方法的有效性。

多源信息融合；后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)；Bayes；可靠性

Bayes方法在產(chǎn)品的小子樣可靠性評(píng)定中得到了非常廣泛的應(yīng)用。該方法的顯著特色與優(yōu)點(diǎn)在于能夠利用產(chǎn)品先驗(yàn)信息，例如工程實(shí)踐中長(zhǎng)期積累的經(jīng)驗(yàn)、專家意見以及歷史可靠性信息等。然而，其優(yōu)點(diǎn)也是實(shí)際應(yīng)用的難點(diǎn)所在，如何有效地融合多種驗(yàn)前信息，從而得到合理的綜合先驗(yàn)分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，是一個(gè)受到普遍重視問(wèn)題。

多源先驗(yàn)信息融合的關(guān)鍵在于確定不同先驗(yàn)分布在綜合先驗(yàn)分布中的合理權(quán)重。典型方法包括由專家確定各先驗(yàn)分布在融合中的權(quán)重、由各先驗(yàn)信息可信度確定權(quán)重[1-2]、自助融合估計(jì)法（Bootstrap方法或隨機(jī)加權(quán)方法）[3]。這些方法具有良好的工程應(yīng)用價(jià)值，但也存在不足之處：專家確定權(quán)重難以保證精度，主觀性較大[4]；先驗(yàn)信息可信度的確定在某些情況下比較困難，適用范圍有限；自助融合估計(jì)方法以先驗(yàn)信息的可信度為基礎(chǔ)，不僅存在可信度難以確定的問(wèn)題，而且通過(guò)直方圖確定先驗(yàn)分布的做法受主觀因素干擾。近年來(lái)，針對(duì)這些方法的應(yīng)用改進(jìn)持續(xù)進(jìn)行，同時(shí)也出現(xiàn)了基于D-S證據(jù)理論、第2類極大似然估計(jì)原理（ML-II）、分布圖、概率模型等的新方法[5-8]。本文基于Bayes統(tǒng)計(jì)理論中“后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)”概念提出了一種多源先驗(yàn)信息融合方法，下面給出具體論述。

1 多源先驗(yàn)信息的Bayes融合

假設(shè)某產(chǎn)品壽命服從參數(shù)為θ的分布，其密度函數(shù)記為f（t｜θ）。為了評(píng)估該產(chǎn)品的可靠性水平，現(xiàn)抽取n個(gè)樣本進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)。一般得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為截尾數(shù)據(jù)，不妨記為X，其中r個(gè)樣本失效，失效時(shí)間序列為t1≤t2≤…≤tr，其余的n-r個(gè)在時(shí)間ts截尾（定數(shù)截尾時(shí)，ts=tr；定時(shí)截尾時(shí)，ts即定時(shí)時(shí)間）。

如果現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)之前已獲取了m源先驗(yàn)信息，經(jīng)轉(zhuǎn)化得到m個(gè)先驗(yàn)分布πi（θ）（i=1，2，…，m）。假設(shè)已知每個(gè)先驗(yàn)分布的權(quán)重，記作w=（wi）1×m，其中wi即是分布πi（θ）的權(quán)值且所有權(quán)值之和為1。那么融合各先驗(yàn)分布得到的綜合先驗(yàn)

由上述數(shù)據(jù)模型可得似然函數(shù)

而先驗(yàn)分布πi（θ）下的后驗(yàn)分布則是根據(jù)Bayes定理，融合后驗(yàn)分布

（4）式的計(jì)算結(jié)果表明，融合后驗(yàn)分布是不同先驗(yàn)信息源下后驗(yàn)分布的加權(quán)和。在平方差損失函數(shù)下，參數(shù)θ的融合后驗(yàn)估計(jì)

（5）式的計(jì)算結(jié)果表明，融合后驗(yàn)估計(jì)也是不同先驗(yàn)信息源下后驗(yàn)估計(jì)的加權(quán)和。顯然，利用這種融合后驗(yàn)分布進(jìn)行Bayes統(tǒng)計(jì)決策分析是比較便利的。

2 權(quán)值計(jì)算

Bayes決策分析中常用“后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)”作為評(píng)定估計(jì)量的好壞的標(biāo)準(zhǔn)[9]。一般地，如果參數(shù)先驗(yàn)分布越接近真實(shí)分布，那么由Bayes定理計(jì)算得到的參數(shù)估計(jì)便越接近真實(shí)值。直觀地想，不同先驗(yàn)分布的精確度不同，利用它所得的參數(shù)估計(jì)的精度也不同。在相同的損失函數(shù)下，參數(shù)估計(jì)越精確，采納該估計(jì)所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)也就越小，該先驗(yàn)分布的權(quán)重也就越高。因此，可以用后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)衡量權(quán)值的大小。當(dāng)然，為了能夠比較，還需對(duì)其作一些擴(kuò)展。

假設(shè)計(jì)算中采用平方差損失函數(shù)

對(duì)于任一先驗(yàn)分布πi（θ），由它算得的參數(shù)估計(jì)值

根據(jù)文獻(xiàn)[9]，此估計(jì)量對(duì)現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)X的后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)

為了能縱向地比較不同先驗(yàn)分布下所得參數(shù)估計(jì)的后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)，將（8）式修改為

當(dāng)i=j時(shí)，Rij就是一般意義上的后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)。不妨記

稱之為后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)矩陣。（9）式與（8）式的主要不同在于利用融合后驗(yàn)分布h（θ｜X）而非hj（θ｜X）來(lái)計(jì)算后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)。這樣做既能提高后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算精確度，又為不同先驗(yàn)分下布后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)的比較提供了一個(gè)基準(zhǔn)。

依前所述，先驗(yàn)分布后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)越小，其權(quán)值越大；反之，其權(quán)值越小，因此后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)的比值與權(quán)值的比值成反比，即有

進(jìn)一步整理（12）式，再結(jié)合

得到由m個(gè)方程構(gòu)成的方程組

這是一個(gè)非線性方程組，m=2時(shí)可直接求解，m≥3時(shí)則需運(yùn)用數(shù)值方法（如牛頓迭代法）[10]解出m個(gè)權(quán)值。

3 數(shù)值例

某產(chǎn)品壽命服從正態(tài)分布N（θ，1），其中θ為未知參數(shù)，并設(shè)其真值為10.假定現(xiàn)場(chǎng)抽取8個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行定數(shù)截尾試驗(yàn)，當(dāng)失效樣本數(shù)達(dá)到5個(gè)時(shí)停止試驗(yàn)。從分布N（10，1）中抽取隨機(jī)數(shù)模擬現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)，得到數(shù)據(jù)X：8.283 7、9.441 8、9.908 7、10.032 2、10.156 4、10.156 4、10.156 4、10.156 4.現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)之前已獲取兩個(gè)先驗(yàn)信息，經(jīng)轉(zhuǎn)化得到兩個(gè)先驗(yàn)分布，分別是

π1（θ）＝N（9，1）

π2（θ）＝N（12，1）

結(jié)合現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)，在平方損失下，由它們算得的θ估計(jì)值依次為9.945 1、10.325 0.計(jì)算出后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)矩陣為

列方程組解得權(quán)值

w1＝0.620 8，w2＝0.379 2

再計(jì)算出

m1（X）=3.552 6×10-5，m2（X）=1.185 0×10-5

根據(jù)（5）式求得融合后驗(yàn)估計(jì)

θ贊=10.009 4

與單個(gè)先驗(yàn)分布下的估計(jì)結(jié)果相比，融合后驗(yàn)估計(jì)更加接近參數(shù)θ的真實(shí)值10.

4 結(jié)束語(yǔ)

先驗(yàn)信息融合是Bayes理論應(yīng)用于產(chǎn)品小子樣統(tǒng)計(jì)評(píng)定中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，也是Bayes理論和可靠性統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域的持續(xù)研究熱點(diǎn)。本文針對(duì)信息融合過(guò)程中的先驗(yàn)分布權(quán)重分配問(wèn)題，提出通過(guò)構(gòu)造后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)矩陣并基于后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)與先驗(yàn)分布權(quán)重成反比的原則建立起權(quán)重求解方程并求得各分布的融合權(quán)重，算例驗(yàn)證證實(shí)了方法的有效性，為該問(wèn)題的解決提供了一種新的思路。

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[3]張金槐.多種驗(yàn)前信息源情況下的融合驗(yàn)后分布[J].飛行器測(cè)控技術(shù)，1998，17（3）：28-35.

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Fusion Method for Prior Distributions from Multiple Sources Based on Posterior Risk

CHEN Hong-ke
（Xiamen University Tan Kah Kee College，Zhangzhou Fujian 363105，China）

In order to assign justified weight coefficients for prior distributions from multiple sources in Bayes analysis，a method was proposed based on posterior risk.Posterior risk matrix was constructed in this method and then equations for weight coefficients were established based on the principle that weight of prior distribution being inversely proportional to posterior risk.The given numerical example verified the validity of this method.

information fusion from multiple sources；posterior risk；Bayes；reliability

TB114.3

A

1672-545X（2017）06-0223-03

2017-03-09

陳洪科（1986-），男，講師，碩士，主要從事產(chǎn)品可靠性、嵌入式系統(tǒng)研究。