教學(xué)：走進(jìn)數(shù)學(xué)知識的“內(nèi)核”

李軍

[摘 要]乘法分配律是運(yùn)算律單元的教學(xué)重點(diǎn)。通過舉例驗(yàn)證、觀察比較、提出猜想、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、引出規(guī)律，讓學(xué)生感悟基本的推理、模型、化歸等數(shù)學(xué)思想。在此基礎(chǔ)上，教師要引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系運(yùn)算的意義、現(xiàn)實(shí)背景中的數(shù)量關(guān)系或幾何圖形，進(jìn)行更加深入的思考，從而走進(jìn)知識的“內(nèi)核”。

[關(guān)鍵詞]乘法分配律；數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)知識的內(nèi)核

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）20-0006-02

【課前思考】

乘法分配律是學(xué)生在已經(jīng)掌握了乘法交換律、結(jié)合律，并能初步應(yīng)用這些定律進(jìn)行一些簡便計(jì)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的內(nèi)容，它聯(lián)系了乘法和加法兩種運(yùn)算，溝通了這兩種運(yùn)算之間的關(guān)系。乘法分配律是運(yùn)算律單元的教學(xué)重點(diǎn)，教材是按照分析題意、列式解答、講述思路、觀察比較、總結(jié)規(guī)律等順序呈現(xiàn)的。熟練掌握乘法分配律是進(jìn)行簡便計(jì)算的前提和依據(jù)，對提高學(xué)生的計(jì)算能力有著重要的作用。

人教版、蘇教版、北師大版等教材，幾乎都是從購物、貼瓷磚等生活問題中引入乘法分配律，在不完全歸納推理的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生通過比較逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律。大部分教師教學(xué)時都是從學(xué)生的生活入手，讓學(xué)生在熟悉的情境中理解乘法分配律的生活意義，但有意義的教學(xué)不能止于此，更應(yīng)該揭示乘法分配律的數(shù)學(xué)意義，搭建“生活數(shù)學(xué)”與“學(xué)科數(shù)學(xué)”之間的橋梁，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，走進(jìn)知識的“內(nèi)核”。因而，教師要準(zhǔn)確把握運(yùn)算律的本質(zhì)及價(jià)值，強(qiáng)化乘法分配律的內(nèi)在意義。這樣，不僅有助于提高教學(xué)的針對性和有效性，而且有助于加深學(xué)生對運(yùn)算本身的理解，幫助學(xué)生感悟蘊(yùn)含在知識中的數(shù)學(xué)基本思想。

我遵循教材編寫的特點(diǎn)，在充分吃透教材編寫意圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行了適度的補(bǔ)充——除了引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行舉例驗(yàn)證之外，還讓學(xué)生充分觀察后提出猜想、發(fā)現(xiàn)規(guī)律。在此基礎(chǔ)上，我還將運(yùn)算的意義、現(xiàn)實(shí)背景中的數(shù)量關(guān)系或幾何圖形聯(lián)系在一起，進(jìn)一步凸顯乘法分配律的合理性，引導(dǎo)學(xué)生展開更加深入的思考。這樣的教學(xué)才是有意義的，才能觸及知識的“內(nèi)核”。

首先，在探索規(guī)律的過程中感受合情推理的價(jià)值。對于學(xué)生而言，運(yùn)算律是抽象和概括一些等式的規(guī)律。從知識邏輯來說，運(yùn)算律與相關(guān)運(yùn)算的意義是相伴相生的。數(shù)學(xué)家在定義四則運(yùn)算的同時需要思考“能否由定義出發(fā)合乎邏輯地推導(dǎo)出相應(yīng)的運(yùn)算律”。如果能把這個本質(zhì)上屬于演繹推理的過程，與小學(xué)數(shù)學(xué)通常采用的探索、發(fā)現(xiàn)過程結(jié)合起來，就可以讓學(xué)生在探究新知的同時獲得一種“頓悟”感，從而感受演繹推理思想的力量。

其次，在多元表征運(yùn)算律的過程中感受簡單的模型思想。在借助實(shí)例初步歸納出乘法分配律的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生用合適的方式把自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示出來，這個過程也稱為“表征運(yùn)算律”。教師不能僅僅滿足于讓學(xué)生采用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，還要注重從生活表征到圖形表征再到數(shù)學(xué)表征的抽象過程。一般來說，運(yùn)算律表征的方式主要有三種：語言表征、圖形表征和符號表征。其中，圖形表征和符號表征具有初步數(shù)學(xué)建模的意味，經(jīng)歷這個過程有助于讓學(xué)生初步感受模型思想與數(shù)形結(jié)合思想，體會不同數(shù)學(xué)表征方式的特點(diǎn)和價(jià)值，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的興趣。

最后，在應(yīng)用規(guī)律的過程中感受化歸思想。學(xué)生探究和發(fā)現(xiàn)乘法運(yùn)算律，主要依靠合情推理，那么應(yīng)用運(yùn)算律進(jìn)行一些簡便計(jì)算，就是進(jìn)行演繹推理，而簡便計(jì)算的過程也體現(xiàn)了“等值變形”的化歸思想。因此，教師不僅要重視引導(dǎo)學(xué)生分析、思考每一步運(yùn)算的依據(jù)，讓學(xué)生做到有根有據(jù)、有條有理地思考，而且要適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生體會化難為易、化繁為簡、化陌生為熟悉的策略價(jià)值，感受化歸思想。

【教學(xué)實(shí)錄】

一、問題導(dǎo)入，引發(fā)思考

師：學(xué)校要組織運(yùn)動會，各班同學(xué)也在積極備戰(zhàn)、刻苦訓(xùn)練?？吹竭@幅圖，你能想到什么數(shù)學(xué)問題呢？請?zhí)岢鲂枰獌刹交騼刹揭陨嫌?jì)算的問題。

生1：四、五年級一共領(lǐng)了多少根跳繩？

生2：四年級比五年級多領(lǐng)了多少根跳繩？

生3：四、五年級一共有多少人？

師：我們先來解決生1和生2提出的問題。請列綜合算式解答。

二、探究交流，提出猜想

1.交流：自由生長

生1：4×24+6×24=96+144=240（根）。（第一種方法）

生2：（4+6）×24=10×24=240（根）。（第二種方法）

生3：40×6+50×4=440（人）。

師：為什么對于第一個問題有兩種不同的解法，對于第二個問題卻只有一種解法？第一題的第一種方法和第二種方法是怎么得到的？

生4：第一種方法是分別求出四、五年級各領(lǐng)了多少根跳繩，再求兩個年級一共領(lǐng)了多少根跳繩；第二種方法是先求出四、五年級一共有多少個班，再求兩個年級一共領(lǐng)了多少根跳繩。

師：方法不同，得到的結(jié)果卻相同，這可是殊途同歸??！既然結(jié)果相等，那這兩個算式之間有什么關(guān)系呢？

生（齊）：相等。

師：等號兩邊的式子有什么聯(lián)系呢？（板書：（4+6）×24=4×24+6×24）

生5：等號左邊先算4+6的和，再算10個24是多少；等號右邊是先算出4個24和6個24分別是多少，再求和，也是算10個24是多少。

2.舉例：引發(fā)思考

師：請寫出幾個像這樣的等式。

師：同學(xué)們舉的例子各不相同，全部都要寫在黑板上比較麻煩，有不相同的嗎？你能不能寫一個式子表示大家所舉的具體例子？

師：看看這些式子，雖然數(shù)字各不相同，但仔細(xì)琢磨，這些看似不相同的式子，是隨便寫出來的嗎？它們有什么相同之處，相同之處是什么呢？

生6：每個式子都有一個共同的因數(shù)。

師：觀察得很仔細(xì)，一下子就抓住了問題的關(guān)鍵。這些式子之所以可以寫成相等的形式，其真正原因就是有——相同的因數(shù)。

3.歸納：提出猜想

師：認(rèn)真觀察這些等式的左邊和右邊，再從左往右看，這幾個等式有什么相同點(diǎn)？（出示小組學(xué)習(xí)的要求）

生7：左邊是兩個加數(shù)的和乘一個數(shù)，右邊是先分開乘再相加。

師：“分開乘”什么意思？把誰分開了？

師（在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上出示：兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以把這兩個數(shù)分別和這個數(shù)相乘，再相加）：這是數(shù)學(xué)中一條重要的規(guī)律，叫作“乘法分配律”。這個規(guī)律為什么叫作乘法分配律？你有什么高見？

三、多元表征，驗(yàn)證猜想

師：這樣的規(guī)律是不是正確的呢？在我們以前的學(xué)習(xí)過程中有沒有遇到類似的式子呢？你能不能試著通過舉例、圖示或者計(jì)算來驗(yàn)證這個規(guī)律？這樣的規(guī)律還可以怎樣來表示？想一想，寫一寫。

生1：舉例，通過結(jié)果來驗(yàn)證。

生2：畫圖。

生3：計(jì)算。

師：我們是怎么算25×12的？（10+2）×25=10×25+2×25。其實(shí)，等式左邊是10與2的和乘25，也就是求10個25，右邊是10個25加上2個25，也是求10個25。

（板書：（10+2）個25，10個25，2個25。引導(dǎo)學(xué)生透過算式的外在形式關(guān)注算式的數(shù)學(xué)本質(zhì)，幫助學(xué)生用乘法意義來解釋乘法分配律）

四、鞏固練習(xí)，應(yīng)用猜想

習(xí)題1 “練一練”第1題：

①（42+35）×2 = 42×□+35×□；

②27×12+43×12 = （27+□）×□；

③15×26+15×14= □〇（□〇□）；

④72×（30+6）= □〇□〇□〇□ 。

師（針對第②題）：兩個乘法中相同的乘數(shù)是幾？是不是應(yīng)該把相同的乘數(shù)放在括號外面？

師（小結(jié)）：雖然這些題目形式上不同，但實(shí)質(zhì)上是一樣的。大家不能僅僅關(guān)注形式，更多的是要思考本質(zhì)的意義。

習(xí)題2 “練一練”第2、3、4題（略）。

習(xí)題3 四年級的活動區(qū)域是一個長22米、寬10米的長方形，五年級的活動區(qū)域是一個長18米、寬10米的長方形。求兩個年級的活動面積一共是多少平方米。

習(xí)題4 練習(xí)十第6題：

（1）64×8+36×8，（64+36）×8；

（2）25×40+25×4，25×（40+4）。

觀察這兩組算式，想想每組中兩個算式的結(jié)果是否相同？為什么？如果讓你選擇一組進(jìn)行計(jì)算，你會選擇哪個？為什么？

師（小結(jié)）：看來，學(xué)會了乘法分配律，我們還能對部分計(jì)算使用簡便算法，使一些復(fù)雜的計(jì)算變得簡單。

習(xí)題5 開學(xué)初，學(xué)校為了豐富大家的課間活動，購買了一批體育器材，看看是什么？（課件出示圖片和信息：空竹每個17元，飛盤每個8元，鐵環(huán)每個15元。）每種玩具都購買了60個，一共要花多少錢？

師：觀察等式（17+8+15）×60=17×60 + 8×60+15×60，你有什么想告訴大家嗎？

師（小結(jié)）：乘法分配律不僅可以是兩個加數(shù)的和乘第三個數(shù)，還可以推廣到3個加數(shù)的和，甚至可以是更多的加數(shù)！

師：剛剛我們就實(shí)際問題提出了很多的猜想（兩個數(shù)拓展到三個及以上的數(shù)的和；加法拓展到減法；乘法拓展到除法），大家課后也可以試試用今天研究的方法，由一個特例得出多個例子，先通過觀察和比較提出猜想，再去驗(yàn)證和應(yīng)用猜想。這是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)常用的一種方法。

五、總結(jié)提升，發(fā)展猜想

師：在今天這節(jié)課上你收獲了什么？從中你得到什么啟發(fā)？面對熟悉的知識、情境、問題，很多時候我們可以試著往深處想一想“這些知識的背后，是不是蘊(yùn)藏了一些規(guī)律？是不是隱藏了一些看不見的奧秘？”……多思考，多動腦，我們的思維會變得與眾不同！

（責(zé)編 金 鈴）