感受數(shù)學(xué)的對稱美，揭開高考數(shù)學(xué)的神秘面紗

李蕾

數(shù)學(xué)中的美無處不在，優(yōu)美且和諧的黃金分割、神奇且神秘的函數(shù)、美麗且誘人的幾何圖形，數(shù)學(xué)處處蘊含著豐富而又純凈的美.古往今來，“對稱”一直是人們所追求的，而這種美在數(shù)學(xué)中也表現(xiàn)的淋漓盡致.下面我們就通過2017年江蘇高考數(shù)學(xué)解析幾何題的對稱解法去感受這種美.感受之余層層推進，揭開這種美的本質(zhì)根源.

1 直觀對稱，數(shù)學(xué)之美

圖1例題 （2017年江蘇17）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點分別為F1、F2，離心率為12，兩準(zhǔn)線之間的距離為8，點P在橢圓E上，且位于第一象限.過點F1作直線PF1的垂線l1，過點F2作直線PF2的垂線l2.

（1） 求橢圓E的方程；

（2） 若直線l1、l2的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標(biāo).

對于命題組提供的答案此處不作具體介紹.下面筆者利用圖形的對稱性給出如下分析：

第（1）問易得橢圓E：x24+y23=1（過程略）.

對于第（2）問，因為PF2⊥QF2，由圓的性質(zhì)可知：點F1，F(xiàn)2在以PQ為直徑的圓上.結(jié)合圓和橢圓的對稱性可知，P，Q只可能出現(xiàn)以下兩種情況：

圖2第①種情形：P，Q在x軸的上方（如圖2所示）.

由圓和橢圓的對稱性可知，P，Q應(yīng)該關(guān)于y軸對稱，因此可設(shè)P（x，y），則Q（-x，y）.因為PF2⊥QF2，所以yx-1·y-x-1=-1，化簡得：y2=x2-1.又點P在橢圓上，所以x24+y23=1，聯(lián)立解得x=477，

y=377. 所以此時點P坐標(biāo)為（477，377）.

第②種情形：P，Q在x軸的異側(cè)（如圖3所示） .

圖3由圓和橢圓的對稱性可知，P，Q應(yīng)該關(guān)于原點對稱，因此可設(shè)P（x，y），則Q（-x，-y），因為PF2⊥QF2，所以yx-1·-y-x-1=-1，化簡得：y2=1-x2.又點P在橢圓上，所以x24+y23=1，所以x24+1-x23=1，化簡得：x2=-8，方程無解.

綜合①②可知滿足題意的點P有且只有（477，377）一個，如果去掉象限限制，由對稱性可知有四個點滿足.

2 反思探究，層層推進

反思1 對于第②種P，Q在x軸的異側(cè)的情形，是否所有的橢圓都不存在這樣的點P滿足題意呢？

探究1 一般化不妨設(shè)橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0，c=a2-b2），

設(shè)P（x，y），則Q（-x，-y）.因為PF2⊥QF2，所以yx-c·-y-x-c=-1，化簡得：y2=c2-x2.又點P在橢圓上，所以滿足x2a2+y2b2=1，所以x2a2+c2-x2b2=1，

化簡得：x2=a2（c2-b2）c2……（※）

如不考慮象限限制，顯然有以下結(jié)果：

當(dāng)c=b時，（※）式有一解，滿足題意的點有兩個；

當(dāng)c>b時，（※）式有兩解，滿足題意的點有四個；

當(dāng)c 而江蘇的這道考題中c=1 反思2 對于第①種情形，化簡之后點P滿足y2=x2-1，即x2-y2=1，我們發(fā)現(xiàn)這是以橢圓的焦點為頂點的等軸雙曲線的方程，從而點P即為此等軸雙曲線與橢圓的交點.那么不禁聯(lián)想：對于一般的橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0，c=a2-b2）與以其焦點為頂點的等軸雙曲線F：x2-y2=c2的交點是否都能夠滿足題意？

圖4探究2 設(shè)P（x0，y0）為兩曲線的交點，要證明點P滿足題意，即證PF2⊥QF2（其中點Q為雙曲線與橢圓的另一交點，且與點P關(guān)于y軸對稱），故只需證明：y0x0-c·y0-x0-c=-1，化簡后只需證明x20-y20=c2.又因為點P在雙曲線F：x2-y2=c2上，所以x20-y20=c2顯然成立，從而一般化的結(jié)果也成立.

3 揭開面紗，回歸本源

在探究2的證明過程中，不難發(fā)現(xiàn)，只要點P在等軸雙曲線F：x2-y2=c2上，點P就會滿足PF2⊥QF2，于是我們有了如下漂亮的結(jié)論：

結(jié)論 點P，Q是等軸雙曲線F：x2-y2=c2上關(guān)于y軸對稱的兩點（異于頂點），則以PQ為直徑的圓必過雙曲線的頂點A，B.

此結(jié)論的證明與探究2的證明類似，此處不再重復(fù).

進一步，由雙曲線的對稱性可知kAP=-kBQ，結(jié)合之前的證明可知kBP·kBQ=-1，所以kBP·kAP=1，看到這一結(jié)果，我們很快聯(lián)想到雙曲線一個耳熟能詳?shù)慕Y(jié)論.

圖5本源 雙曲線F：x2a2-y2b2=1上異于頂點A，B的點P滿足：kBP·kAP=b2a2.

而此前的等軸雙曲線的結(jié)論只不過是其特例罷了.

至此我們利用對稱，層層推進，揭開了此道高考題的神秘面紗，回歸本源.

4 總結(jié)回顧，反思提高

通過這道2017年江蘇高考題的對稱解法的欣賞以及其本源的探究，筆者認為我們在平時的教學(xué)過程中應(yīng)該注重以下幾點：

4.1 注重基本方法、基本能力的培養(yǎng)

事實上，對于本題命題組給出的參考答案以及筆者所教學(xué)生反饋的方法基本都是聯(lián)立直線和橢圓方程，解到交點之后再代入橢圓方程，有一定的運算量.但這是最樸實的方法，也是絕大多數(shù)學(xué)生對這道題的第一反應(yīng).我們應(yīng)該尊重自己的第一反應(yīng)，因此教學(xué)時必須重視基本方法（通解通法）、基本能力（如運算能力）的培養(yǎng).

4.2 注重分析能力，探究能力的培養(yǎng)

對于本文的例題，圓錐曲線對稱性的利用，以及此題轉(zhuǎn)化為要證明以PQ為直徑的圓必過橢圓的焦點的發(fā)現(xiàn)，層層推進，揭示問題本質(zhì)根源的過程，都需要我們在平時的教學(xué)過程中注意培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生類比聯(lián)想，轉(zhuǎn)化化歸的能力.我們應(yīng)該鼓勵學(xué)生擁有一顆質(zhì)疑探究的心，激勵學(xué)生擁有永不止步的勇氣.長此以往，學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)必定會得到很大的提高.

正所謂：夯實基礎(chǔ)，便可行遍天下路；插上思維的翅膀，我們定能展翅翱翔.