巧用幾何直觀提高解題能力

劉規(guī)清

【摘要】本文論述了利用幾何直觀教學(xué)的優(yōu)勢(shì)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中借助幾何直觀教學(xué)可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，展現(xiàn)出不同的解題思路與方法，從而提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 幾何直觀

解題能力

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2017）06A-0106-02

新課標(biāo)明確指出：幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮重要的作用。在課堂教學(xué)中，教師要充分利用幾何直觀，將數(shù)與形結(jié)合起來(lái)，幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)借助幾何直觀使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，展現(xiàn)出不同的解題思路與方法，從而提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。

一、幾何直觀促成數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想。在教學(xué)時(shí)，教師可以借助幾何直觀將數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形的問(wèn)題，或?qū)⑿蔚那蠼廪D(zhuǎn)化成數(shù)的分析，這樣可以幫助學(xué)生更加深刻地理解和掌握知識(shí)，讓學(xué)生在感悟數(shù)學(xué)思想與方法的同時(shí)積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。幾何直觀讓抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題形象化，因此，處理好了直觀與抽象的關(guān)系，就可以讓學(xué)生更好地將數(shù)與形有效地結(jié)合起來(lái)，從而拓展學(xué)生的思維空間。

如在教學(xué)人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)《解決問(wèn)題（兩數(shù)之和的奇偶性）》時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生探究?jī)蓚€(gè)數(shù)和的奇偶性。通過(guò)選用不同的數(shù)進(jìn)行嘗試，學(xué)生可以初步得出結(jié)論：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)；偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)。但這只是用不完全歸納法得出的結(jié)論，為了論證結(jié)論的正確性，教師還可以讓學(xué)生用形來(lái)理解，如用一個(gè)小正方形表示1，用拼圖的方式來(lái)探究并得到結(jié)果的奇偶性。這樣的活動(dòng)充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生在參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中感受知識(shí)的內(nèi)在規(guī)律，從而使數(shù)形結(jié)合成為學(xué)生的一種常態(tài)思維方式。學(xué)生通過(guò)形的直觀性認(rèn)識(shí)到了“兩奇為偶、一奇為奇”的結(jié)論，這樣在解決兩個(gè)數(shù)和的奇偶性時(shí)不用計(jì)算就可以直接得出結(jié)論，從而縮短解題時(shí)間，讓學(xué)生更深刻地理解知識(shí)結(jié)構(gòu)的內(nèi)化，掌握解決問(wèn)題的方法。這時(shí)很多學(xué)生就會(huì)自然過(guò)渡到積的奇偶性的探究上，通過(guò)探究，仍然可以從數(shù)與形的轉(zhuǎn)化中得出規(guī)律，進(jìn)而體會(huì)到數(shù)形結(jié)合在學(xué)習(xí)中的重要作用。

二、幾何直觀實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)

借助幾何直觀可以使復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了，從而使問(wèn)題得以形象化展示，幫助學(xué)生更好、更快地解決問(wèn)題。在課堂教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生利用圖示的方法來(lái)解決問(wèn)題，厘清復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)系，這樣就可以使問(wèn)題中的信息清晰地呈現(xiàn)出來(lái)，便于學(xué)生理解和掌握。利用幾何直觀化繁為簡(jiǎn)，讓學(xué)生解決問(wèn)題的思路更加明確、更加清晰，提高了學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力，進(jìn)一步發(fā)展了學(xué)生的思維品質(zhì)。

如在教學(xué)五年級(jí)上冊(cè)《簡(jiǎn)易方程》時(shí)，對(duì)于行程類(lèi)問(wèn)題，大多數(shù)學(xué)生會(huì)出現(xiàn)顧此失彼的現(xiàn)象，導(dǎo)致在解題時(shí)經(jīng)常會(huì)忙中出錯(cuò)，影響了解題的效果。如一輛卡車(chē)和一輛小汽車(chē)從A地到B地，卡車(chē)的速度為50km/h，小汽車(chē)的速度為80km/h，在卡車(chē)出發(fā)2小時(shí)后小汽車(chē)才出發(fā)，當(dāng)小汽車(chē)到達(dá)B地時(shí)卡車(chē)距離B地還有110km，求A、B兩地的距離是多少？對(duì)于這樣的問(wèn)題，如果學(xué)生只是借助已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行讀題理解，則很容易出錯(cuò)，但如果借助于圖示等方法，則可以直觀呈現(xiàn)出各方面的關(guān)系，從而使問(wèn)題由繁變簡(jiǎn)，便于學(xué)生理解題意。教師可以先教給學(xué)生解題的思路：設(shè)小汽車(chē)x小時(shí)到達(dá)B地，然后再引導(dǎo)學(xué)生用圖示法表示出小汽車(chē)與卡車(chē)行駛路程之間的關(guān)系，進(jìn)而列出方程80x=50×2+50x+110，求出結(jié)果?？此坪軓?fù)雜的一道題，通過(guò)用“形”直觀地表示出來(lái)，就能使題目變得簡(jiǎn)單明了，讓學(xué)生快速有效地解題。這樣教學(xué)，體現(xiàn)了幾何直觀在解決復(fù)雜問(wèn)題中的重要作用。

三、幾何直觀展現(xiàn)多樣解題

在課堂教學(xué)時(shí)，教師可以讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作等活動(dòng)形成直接經(jīng)驗(yàn)，并借助幾何直觀尋求不同的解決問(wèn)題的方法，這樣學(xué)生的思維更加敏捷，能夠?qū)W會(huì)從不同的方向看問(wèn)題，體現(xiàn)出解題方法的多樣化。在分析和解決問(wèn)題的過(guò)程中，教師要充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生通過(guò)自主探究與合作交流來(lái)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，這樣才能激發(fā)學(xué)生的思維潛能，使不同思維在交流與探究中得以碰撞，從而生成更多的課堂精彩。

如在教學(xué)五年級(jí)下冊(cè)《分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)》時(shí)，教師可以讓學(xué)生在數(shù)軸上表示出[12]、[14]，學(xué)生在動(dòng)手操作時(shí)，通過(guò)將單位“1”平均分成2份，取其中1份；又將單位“1”平均分成4份，取其中2份，然后進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)它們所在的位置相同，因此可以得出[12]=[24]這一結(jié)論。此時(shí)，教師提問(wèn)：兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母都不相等，為什么它們的大小卻相等呢？這樣就激發(fā)了學(xué)生探究分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的欲望，從而為學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和其應(yīng)用打下了基礎(chǔ)。在解決問(wèn)題時(shí)，學(xué)生就會(huì)主動(dòng)地運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)來(lái)思考，如在比較[35]和[611]的大小時(shí)，有的學(xué)生將它們通分為[3355]和[3055]，從而輕松得到結(jié)果；也有的學(xué)生將分子變成6，得到[35]=[610]，再比較分母也能得出結(jié)果。由此可見(jiàn)，建立在幾何直觀的基礎(chǔ)上，學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握得越牢固，解決問(wèn)題的方法也會(huì)越多樣化。這樣，學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中就可以總結(jié)出規(guī)律，并對(duì)不同解法進(jìn)行比較，找出最簡(jiǎn)單的方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

四、幾何直觀發(fā)展應(yīng)用能力

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活并服務(wù)于生活，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵，在運(yùn)用幾何直觀解決現(xiàn)實(shí)生活的問(wèn)題中，學(xué)生的應(yīng)用能力得到加強(qiáng)，并對(duì)幾何直觀的作用也有了更深的體會(huì)。幾何直觀依賴(lài)于學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有經(jīng)驗(yàn)，只有在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)，才能使幾何直觀教學(xué)變成學(xué)生的自覺(jué)學(xué)習(xí)，從而使學(xué)生在分析和解決問(wèn)題的過(guò)程中自然而然地想到用“形”來(lái)解決“數(shù)”的問(wèn)題，進(jìn)一步提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)。

如在教學(xué)《解決問(wèn)題的策略》時(shí)，教師讓學(xué)生通過(guò)自主探究與合作交流，充分感受轉(zhuǎn)化的思想，進(jìn)一步提高學(xué)生的應(yīng)用能力。如在推導(dǎo)平行四邊形、三角形、梯形、圓的面積公式時(shí)，都用到了轉(zhuǎn)化的思想，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，從而實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)的目的。如一塊長(zhǎng)42米、寬28米的草坪，中間縱橫各有兩條寬為1米的小路，則草坪的面積是多少？如果學(xué)生只是憑字面進(jìn)行想象，則可能把握不準(zhǔn)題意，但如果畫(huà)出圖形，并利用平移去掉小路，則可以將草坪看成一個(gè)長(zhǎng)為40米、寬為26米的長(zhǎng)方形，進(jìn)而輕松完成解題。此時(shí)，教師提問(wèn)：如果將小路變成曲曲折折的，結(jié)果是否發(fā)生變化？學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖并平移發(fā)現(xiàn)結(jié)果沒(méi)有變化，進(jìn)一步積累了豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，深刻地認(rèn)識(shí)到轉(zhuǎn)化的價(jià)值，體會(huì)到幾何直觀在化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化抽象為形象中的作用，從而提高學(xué)生的思維水平、應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

總之，幾何直觀是學(xué)生空間觀念形成的基礎(chǔ)，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，可以幫助學(xué)生理解和掌握知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，感悟數(shù)形結(jié)合思想，從而提高學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。借助幾何直觀，學(xué)生的思維能力得到了進(jìn)一步拓展，對(duì)問(wèn)題的分析更加全面透徹，能夠?qū)?fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題形象化，從而使學(xué)生更好地理解和把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

（責(zé)編 林 劍）