從《方差》磨課經(jīng)歷談初中數(shù)學數(shù)據(jù)分析教學

莫莉薇

【摘要】本文以《方差》一課的磨課經(jīng)歷為例，論述了數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學數(shù)據(jù)分析教學中的應用。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學 數(shù)形結(jié)合 方差

磨課

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）06A-0078-03

《統(tǒng)計與概率》是初中數(shù)學四個學習領域之一。由于這部分課程內(nèi)容在中考中所占的比例相對較少（15%），課程目標以體驗、認識、了解、簡單運用為主，所以在實際教學中，教師往往直接給出相應的計算公式，然后通過一系列的練習讓學生熟背公式，熟練計算。這樣的教學方式表面上看非常高效，實際上并不符合學生的認知規(guī)律，忽略了計算公式的推導過程和統(tǒng)計量概念的產(chǎn)生和發(fā)展形成過程，學生并沒有真正地理解公式，也不利于學生統(tǒng)計觀念的形成。那么《統(tǒng)計與概率》的教學該如何設計呢？下面以人教版八年級下冊《數(shù)據(jù)的波動程度》第一課時的磨課經(jīng)歷為例，談一談筆者對《統(tǒng)計與概率》中的數(shù)據(jù)分析教學的認識。

一、磨課過程

（一）第一次試教

1.教學過程

（1）創(chuàng)設情境

農(nóng)科院計劃為某地選擇合適的甜玉米種子。選擇種子時，甜玉米的產(chǎn)量和產(chǎn)量的穩(wěn)定性是農(nóng)科院所關(guān)心的問題.為了解甲、乙兩種甜玉米種子的相關(guān)情況，農(nóng)科院各用10塊自然條件相同的試驗田進行試驗，得到各試驗田每公頃的產(chǎn)量（單位：t）如表一：

根據(jù)這些數(shù)據(jù)，你認為農(nóng)科院應該選擇哪種甜玉米種子呢？

學生通過計算平均數(shù)得出x甲=7.537，x乙=7.515。部分學生覺得甲玉米種子的平均產(chǎn)量稍大一些，選甲玉米種子；另一部分學生覺得兩種玉米種子的平均產(chǎn)量相差不大，應該再對比其他方面的數(shù)據(jù)。教師順勢引導學生分析兩組數(shù)據(jù)的波動情況。

（2）引入方差計算公式

教師直接告訴學生方差可以刻畫一組數(shù)據(jù)波動的大小，即方差越大，數(shù)據(jù)波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)波動越小，并給出方差的計算公式：

s2=[（x1-x） 2+（x2-x） 2+…+（xn-x） 2n]，

隨后對公式進行分析解釋。

（3）運用與鞏固

①在某樣本方差的計算公式s2=[150（x1-6） 2+（x2-6） 2+…+（x50-6） 2]中，數(shù)字50和6依次表示樣本的（ ）

A.方差，平均數(shù) B.平均數(shù)，容量

C.容量，方差 D.容量，平均數(shù)

②在某次英語競賽中，組委會通過計算，得出甲、乙、丙三個學校的學生成績的方差分別為：

[s2甲=15.2，s2乙=6.1，s2丙=10.4]

則 學校的學生成績波動較小。

③在一次芭蕾舞比賽中，甲、乙兩個芭蕾舞團都表演了芭蕾舞劇《天鵝湖》，參加表演的女演員的身高（單位：cm）分別如下，哪個芭蕾舞團女演員的隊列看上去更整齊？

甲：163，164，164，165，165，166，166，167；

乙：163，165，165，166，166，167，168，168。

2.課后研討

該教學過程的優(yōu)點：學生能熟記方差的計算公式且計算熟練，可以正確完成相關(guān)的習題。

該教學過程的不足：學生的學習積極性不夠高，課堂參與度低；學生對方差公式的產(chǎn)生和發(fā)展過程以及方差這個統(tǒng)計量為什么能表示一組數(shù)據(jù)的波動大小等一無所知，難以回答出難度較大的深層次的提問。

修改建議：（1）更換一個學生更為熟悉、感興趣的引入情境，用于提高學生的學習積極性和明確學習方差的必要性；（2）應更為直觀地向?qū)W生展示方差刻畫數(shù)據(jù)離散程度的合理性；（3）初中學生機械記憶力較強，但分析能力較弱，教師在教學時應該在方差公式的推導方面對學生多加引導。

（二）第二次試教

1.教學過程

（1）創(chuàng)設情境（選取我校的傳統(tǒng)體育項目、體育中考項目：拋繡球為背景）

表二是李強和王朋兩位同學練習拋繡球時的10次進球數(shù)，若學校要從中選拔一人參加全市運動會，你能給些建議嗎？

學生通過計算發(fā)現(xiàn)兩人進球數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都相同，選擇出現(xiàn)困難。教師通過引導學生對平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)進行對比，說明兩組數(shù)據(jù)的集中趨勢相同，引出要知道各數(shù)據(jù)之間的差異情況就要考察數(shù)據(jù)的波動程度，以此判斷哪位同學的發(fā)揮更穩(wěn)定。

（2）數(shù)形結(jié)合，分析數(shù)據(jù)的波動情況

教師用圖1表示表二中的數(shù)據(jù)并讓學生嘗試說明兩組數(shù)據(jù)的波動情況。

隨后教師提問：是否能用一個量來刻畫圖中看出的結(jié)果？

（3）方差計算公式

教師告訴學生，在統(tǒng)計中常用方差來衡量一組數(shù)據(jù)的波動的大小，方差的計算公式為：

s2=[（x1-x） 2+（x2-x） 2+…+（xn-x） 2n]，并對公式進行分析解釋。

學生運用方差的計算公式分別計算之前兩組數(shù)據(jù)的方差，并與從圖中看出的結(jié)果進行對比。

最后，師生歸納得到方差是刻畫數(shù)據(jù)波動大小的統(tǒng)計量，方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小。

（4）運用與鞏固（練習題與第一次試教相同）

2.課后研討

該教學過程的優(yōu)點：拋繡球情境的引入，既激發(fā)了學生的學習興趣，又讓學生明確了學習方差的必要性；用散點圖的方式比較數(shù)據(jù)的波動情況，使學生對數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的情況有一個直觀的認識，再對比方差公式的計算結(jié)果，直觀地證實了方差刻畫數(shù)據(jù)離散程度的合理性。

該教學過程的不足：教師直接給出方差計算公式，學生對公式的形成、發(fā)展過程一無所知，不利于學生對方差概念的理解。

修改建議：教師在教學時，應在方差定義的形成、發(fā)展過程和方差公式的組成結(jié)構(gòu)的分析上多下功夫，引導學生結(jié)合散點圖，由抽象到直觀地理解方差計算公式的推導過程——先求差，再求差的平方和，最后求差的平方的平均值。

（三）第三次試教

1.教學過程

（1）創(chuàng)設情境（與第二次試教相同）

（2）數(shù)形結(jié)合，分析數(shù)據(jù)的波動情況（與第二次試教相同）

（3）方差的概念

師：請觀察兩組數(shù)據(jù)的圖象，如圖2所示，思考下列問題。

①我們說的波動，是以圖中哪一個量為基準的？

答：進球的平均數(shù)6。

②求每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的偏差，可以怎樣運算？

答：分別求差：x1-x，x2-x，…，xn-x。

③求所有數(shù)據(jù)與平均數(shù)的偏差，可以怎樣運算？

答：求和：（x1-x）+（x2-x）+…+（xn-x）。

④哪種運算可以使偏差的值非負，避免相互抵消？

答：方法可為：[x1-x]+[x2-x]+…+[xn-x]或（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2。

練習：請用你剛才總結(jié)出的計算方法，評價下列兩組數(shù)據(jù)的波動情況。

甲：9 1 0 -1 -9

乙：6 4 0 -4 -6

學生通過計算發(fā)現(xiàn)，甲、乙兩組數(shù)據(jù)[x1-x]+[x2-x]+…+[xn-x]的計算結(jié)果一樣，若用[x1-x]+[x2-x]+…+[xn-x]的值的大小表示數(shù)據(jù)的波動情況，那么甲、乙兩組數(shù)據(jù)的波動情況一樣，與實際不符；若用（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2的值的大小表示數(shù)據(jù)的波動情況，那么計算結(jié)果為甲組數(shù)據(jù)波動大，與實際相符。于是得出結(jié)論：在衡量一組數(shù)據(jù)的波動“功能”上，（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2更準確一些。

⑤如果兩組數(shù)據(jù)個數(shù)不同，用求和的方式比較大小，可行嗎？你有什么方法解決？

答：求平均數(shù)：[1n][（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]。

教師歸納方差概念：設有n個數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方分別是（x1-x）2，（x2-x）2，…，（xn-x）2，我們用這些平方的平均數(shù)，即[1n][（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]的大小來衡量這組數(shù)據(jù)的波動的大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差，記作s2。

⑥結(jié)合方差的計算式子，說說方差是怎樣刻畫數(shù)據(jù)的波動情況的。

答：當數(shù)據(jù)分布比較分散（即數(shù)據(jù)在平均數(shù)附近波動較大）時，各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方和較大；當數(shù)據(jù)分布比較集中時，各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方和較小。方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小。

（4）運用鞏固

①在某樣本方差的計算公式s2=[1n][（x1-6）2+（x2-6）2+…+（x50-6）2]中，數(shù)字50和6依次表示樣本的（ ）

A.方差，平均數(shù) B.平均數(shù)，容量

C.容量，方差 D.容量，平均數(shù)

②在某次英語競賽中，組委會通過計算，得出甲、乙、丙三所學校學生成績的方差分別為：[s2甲=15.2，s2乙=6.1，][s2丙=10.4]，則 學校的學生成績波動較小。

③（請小組分工合作）用條形圖表示下列各組數(shù)據(jù)，計算并比較它們的平均數(shù)、極差和方差，體會方差是怎樣刻畫數(shù)據(jù)的波動程度的。

（1）6 6 6 6 6 6 6

（2）5 5 6 6 6 7 7

（3）3 3 4 6 8 9 9

（4）3 3 3 6 9 9 9

2.課后研討

整堂課使用數(shù)形結(jié)合的方式將方差公式的運算與散點圖的波動串聯(lián)起來，課堂新穎有趣又邏輯嚴密，學生對方差概念的理解由抽象轉(zhuǎn)化為直觀，巧妙地突破了難點。

二、磨課過程感悟

磨課是一個用心打磨的艱辛的過程，也是一個教師教學水平獲得漸進提升的過程。筆者經(jīng)歷了“三次備課，兩輪打磨”，對教材的挖掘更加深入，教學理念得到更新，教學設計變得新穎。

教材在分析引言中甲、乙兩種甜玉米的產(chǎn)量情況時，利用兩個散點圖比較兩組數(shù)據(jù)的波動情況，隨后直接給出方差的概念，然后依據(jù)概念給出公式，并從方差公式的結(jié)構(gòu)特點上分析了方差是怎樣刻畫數(shù)據(jù)的波動情況的。但教材對方差計算公式的推導過程以及方差這一概念的形成過程沒有深究。如果教師在教學時不對這些知識難點加以強調(diào)，學生很可能無法直觀、透徹地認識方差的概念和意義。為了突破這個知識難點，筆者在教學設計中使用了問題串引導學生先從“形”的層面關(guān)注散點圖中單個點的波動情況，進而擴展到關(guān)注所有點的波動情況；再從“數(shù)”的層面將對比數(shù)據(jù)的波動情況對應地轉(zhuǎn)化為先求差，再求差的平方和，最后除以樣本容量求差的平方的平均值。數(shù)形結(jié)合地推導出方差的計算公式后，再給出方差的概念，更有利于學生理解方差概念的形成、發(fā)展過程。這種將散點圖顯示數(shù)據(jù)的波動和方差刻畫數(shù)據(jù)的波動結(jié)合起來的數(shù)形結(jié)合的思想方法，更有利于學生多角度地理解方差的概念和意義。

著名的數(shù)學家華羅庚先生曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形無數(shù)時難入微?！币虼耍跀?shù)據(jù)分析教學中適當?shù)剡\用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過以形助數(shù)、以數(shù)解形，將抽象的概念直觀化，有利于學生對知識的理解，更有助于學生統(tǒng)計觀念的形成。 （責編 劉小瑗）