例談一類數(shù)陣圖的填法

文︳李艷華

例談一類數(shù)陣圖的填法

文︳李艷華

數(shù)陣圖是一類非常有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它變化多端，引人入勝，奇妙無(wú)窮。許多喜歡探究數(shù)字規(guī)律的人對(duì)數(shù)陣圖十分著迷，以至有些人留連其中，用畢生的精力研究它的變化。大數(shù)學(xué)家歐拉對(duì)它都有著濃厚的興趣，數(shù)陣圖的魅力由此可見(jiàn)一斑。在給學(xué)生講解數(shù)陣圖的教學(xué)中，筆者嘗試用淺顯易懂的方法，帶學(xué)生進(jìn)行了探究。

諸如下面的數(shù)陣圖，要將所給定的數(shù)填入圓圈內(nèi)，使各線上的數(shù)字之和相等，我們無(wú)需盲目去套，按下面的方法即可輕而易舉地填出。

圖1 填入1～13

圖2 填入1～19

圖3 填入1～25

圖1：由于1+2+3+…+13＝（1+13）×13÷2＝91，91需減去一個(gè)奇數(shù)才能被2整除，所以交叉處的可填1，3，5，7，9，11，13，共有7種基本填法。

圖2：由于1+2+3+…+19＝（1+19）×19÷2＝190，190需減去1，4，7，10，13，16，19，即減去除以3余1的數(shù)才為3的倍數(shù)，所以交叉處的可填這7個(gè)數(shù)，故共有7種基本填法。

圖3：由于1+2+3+…+25＝（1+25）×25÷2＝325，325需減去1，5，9，13，17，21，25，即減去除以4余1的數(shù)才為4的倍數(shù)，所以交叉處的可填這7個(gè)數(shù)，故共有7種基本填法。

第二步：按如下順序填入。先填好交叉處的A，再將其他數(shù)由小到大按圖以B，C，D，E，F(xiàn)…的順序（似8字形）依次填入即可（如圖4、5、6所示）。

圖4

圖5

圖6

下面給出圖4、圖5中的A為7，圖6中的A為9時(shí)的一種填法（如圖7、8、9所示）。

圖7

圖8

圖9

對(duì)于這類數(shù)陣圖，我們還可以得出這樣的規(guī)律：基本填法的種數(shù)與線上的個(gè)數(shù)相同。

對(duì)于圖3，如要求三個(gè)大的圓上的數(shù)之和也要相等，我們需將按上法填好的數(shù)進(jìn)行對(duì)調(diào)。不過(guò)此時(shí)的基本填法減少了：因?yàn)?25減去5，9，17，21時(shí)不是3的倍數(shù)，亦即交叉處的內(nèi)只能填1，13，25才能使三個(gè)圓上的數(shù)之和也相等。具體填法較易，下面僅以13為例填之（如圖10所示）。

圖10

（作者單位：綏寧縣民族小學(xué)）