議轉化與化歸思想的幾種方法

陳偉蘭

【摘要】轉化與化歸思想方法在研究、解決數學問題中，當思維受阻時考慮尋求簡單方法或從一種情形轉化到另一種情形，也就是轉化到另一種情境使問題得到解決，這種轉化是解決問題的有效策略，同時也是成功的思維方式.常見的轉化方法有以下幾種類型：（1）直接轉化法；（2）換元法；（3）數形結合法；（4）等價轉化法；（5）特殊化方法.

【關鍵詞】轉化與化歸；解題；類型

一、前言

轉化就是將解法未知或者解法困難的問題，通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過程，使用正確的方法進行變換，將現有的問題轉化成我們比較容易解決的問題.轉化是數學中最常用的思想.其精髓在于將未知的、陌生的、復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的、熟悉的、簡單的問題.常見的轉化方法有：一般與特殊的轉化、等價轉化、復雜與簡單的轉化、數與形的轉化、構造轉化、聯(lián)想轉化、類比轉化等.

轉化與化歸思想是解決數學問題的根本大法，數學中的函數與方程的思想、分類討論的思想以及數形結合的思想歸根結底都是轉化與化歸思想的應用.因此，在數學思想方法的教學過程中，以轉化與化歸這一根本思想為主軸，可以有效促進學生理解數學思想方法的進程.由于高考模式趨于成熟和題型相對穩(wěn)定，化歸思想可以使數學問題的解決變得目標明確、簡潔，起到化繁為簡、化難為易的效果，所以，在高考數學的解題中有著廣泛的應用，掌握這種思想往往能起到事半功倍的效果.下面我結合今年高考數學中的試題予以說明化歸思想的應用.

二、轉化與化歸數學思想在高考解答題中的應用舉例

（一）利用函數與方程的數學思想在函數、方程與不等式之間的轉化

例1已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c，且0≤f（-1）=f（-2）=f（-3）≤3，則（C）.

A.c≤3B.39

解析由題意，設g（x）=x3+ax2+bx+c-m，m∈[0，3]，則g（x）的三個零點分別為x1=-3，x2=-2，x3=-1，

因此有（x+1）（x+2）（x+3）=x3+ax2+bx+c-m，則c-m=6，因此c=m+6∈（6，9].

評析本題主要考查三次函數的圖像和性質，要求結合函數的圖像轉化為g（x）的零點即方程問題去解決.

變式已知奇函數f（x）在R上單調遞增，且f（x2+x）-f（2）<0，則實數x的取值范圍為（）.

A.（-2，+∞）B.（-1，+∞）

C.（-2，1）D.（-1，2）

例2設函數f（x）=x2+x，x<0，

-x2，x≥0， 若f（f（a））≤2，則實數a的取值范圍是（-∞，2].

評析本題主要考查分段函數和不等式問題，由于f（x）是與二次函數有關的分段函數，可以轉化為函數的圖像進行分析求解，就更加的直觀.

（二）利用數形結合的思想來實現數與形的轉化

數形結合的思想其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化.在很多數學問題中，數量關系的抽象概念若能賦予幾何意義，往往變得直觀形象，有利于解題途徑的探求；另一方面，一些涉及圖形的問題如能化為數量關系的研究，又可以獲得簡捷而一般的解法.

例3設θ為兩個非零向量a，b的夾角，已知對任意實數t，|b+at|的最小值為（B）.

A.若θ確定，則|a|唯一確定

B.若θ確定，則|b|唯一確定

C.若|a|確定，則θ唯一確定

D.若|b|確定，則θ唯一確定

解析由向量加、減法的幾何意義，對于任意實數t，b+ta看成兩個向量的差，|b+ta|的最小值為1，即向量b的終點到a的投影長為1.只有當θ確定，則|b|唯一確定，反之若|b|確定，則θ不一定確定.

評析本題考查的是向量模與一元二次函數的最值問題，如果選擇向量減法的三角形法則會起到事半功倍的效果.

例4如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練.已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面的射擊線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小.若AB=15 m，AC=25 m，∠BCM=30°，則tanθ的最大值5319.

解析過P作PP′⊥BC，交BC于P′，連接AP′，

則tanθ=PP′1AP′.設PP′=x，AP′=（20-3x）2+152，

tanθ=x1（20-3x）2+152.

當x=1253112時，tanθ有最大值5319.

評析本題主要考查立體幾何的線面角問題，與實際問題相結合，需要先把實際問題轉化為立體幾何問題，在把立體幾何問題又轉化為一元二次函數的最大值問題進行求解.題目立意新穎，體現了數形結合的思想和轉化與化歸的數學思想.

變式如圖所示，在棱長為5的正方體ABCD-A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一條線段，且EF=2，點Q是A1D1的中點，點P是棱C1D1上的動點，則四面體PQEF的體積（）.

A.是變量且有最大值

B.是變量且有最小值

C.是變量有最大值和最小值

D.是常量

（三）分類討論思想在轉化中的應用

分類討論思想的實質就是根據所研究對象的性質差異，將一個復雜的問題分成幾個簡單的問題予以分析解決.分類討論題覆蓋知識點較多，同時方式多樣，具有較高的邏輯性及很強的綜合性，樹立分類討論思想，應注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧，做到確定對象的全體、明確分類的標準、分層別類不重復、不遺漏的分析討論.

例5已知函數f（x）=x3+3|x-a|（a∈R）.

（1）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分別記為M（a），m（a），求M（a）-m（a）；

（2）設b∈R，若[f（x）+b]2≤4對P恒成立，求ξ的取值范圍.

解析（1）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分別記為M（a），m（a），求M（a）-m（a），由函數f（x）=x3+3|x-a|（a∈R），得f（x）=x3+3x-3a（x≥a），

x3-3x+3a（x

3x2-3（x

（2）設b∈R，若[f（x）+b]2≤4對x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范圍，可令h（x）=f（x）+b，由[f（x）+b]2≤4，得-2≤h（x）≤2，即h（x）在x∈[-1，1]上的值域是集合[-2，2]的子集，即求h（x）在x∈[-1，1]上的最大值和最小值，讓最大值小于等于2，最小值大于等于-2，即可求出3a+b的取值范圍，結合（1）分a≤-1，-1

評析本題主要考查了函數的最值，利用導數研究函數的單調性、恒成立問題等基礎知識是一道綜合性很強的壓軸題.但是該題起點低易入手，只要抓住兩個常規(guī)的討論（去絕對值和a與區(qū)間的討論）問題就迎刃而解，其實分類討論就是把未知轉化為已知的過程，只要搞清楚為什么討論和怎么討論就可以了.

三、結束語

轉化與化歸思想不僅僅體現在以上三大基本解題思想中，實現轉化還有其他途徑：空間向平面的轉化、常量與變量的轉化、一般與特殊的轉化等.

數學思想方法的形成比知識的理解和掌握慢，難度大.一種思想的形成必須與學生的認知水平相結合，化歸思想的培養(yǎng)應與知識教學一樣，經過反復孕育、初步形成、應用發(fā)展三個階段，結合不同階段的知識教學.因此，在平時的教學過程中有意識地反復孕育同一數學思想顯得尤其重要，以期收到潛移默化、水到渠成的功效.

總而言之，轉化與化歸的思想有著多樣化和靈活性的特點，不會提供可以遵循的統(tǒng)一模式.熟練、扎實地掌握基礎知識、基本技能和基本方法是轉化的基礎；豐富的聯(lián)想、細微的觀察、比較、類比是實現轉化的橋梁；提高自己的化歸與轉化意識需要對定理、公式、法則有本質上的深刻理解和對典型習題的總結和提煉，要積極主動有意識地去發(fā)現事物之間的本質聯(lián)系.

“抓基礎，重轉化”是學好高中數學的金鑰匙.所以，在學習高中數學的過程中，熟悉轉化與化歸的思想方法，來達到可以熟練運用數學變換的方法靈活解決有關的數學問題，對提高我們對數學問題的技能和應變能力，是十分有必要的.