深挖習(xí)題，歸納總結(jié)，提升能力

邊翠華

【摘要】對(duì)于解數(shù)學(xué)綜合題和難題，很多學(xué)生都感覺(jué)難，找不到解題思路.若注重歸納總結(jié)、積累基本圖形和結(jié)論，尋找解題思路，就變成了“板塊”之間的對(duì)接，更加輕松.在反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，有一個(gè)重要的結(jié)論，利用它可以輕松解決相關(guān)的一些難題.

【關(guān)鍵詞】反比例函數(shù)；挖掘習(xí)題；探究；應(yīng)用

著名的科學(xué)哲學(xué)家波普爾指出：“科學(xué)與知識(shí)的增長(zhǎng)永遠(yuǎn)始于問(wèn)題，終于問(wèn)題——愈來(lái)愈深化的問(wèn)題，愈來(lái)愈能啟發(fā)大量新問(wèn)題的問(wèn)題.”研究數(shù)學(xué)就是不斷地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題.

一、問(wèn)題背景，原題再現(xiàn)

圖1如圖1，已知直線y=-x+8和雙曲線y=k1x（k≠0）在第一象限內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，求△AOB的面積.這個(gè)問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，常見(jiàn)思路有：

如圖1，過(guò)點(diǎn)A分別作AM⊥y軸于點(diǎn)M，AE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，AE與OB相交于點(diǎn)G.1S△AOB=S△AOD-S△BOD；2.S△AOB=S△BOC-S△AOC.3.S△AOB=S△AOG+S△ABG，S四邊形BGEF+S△ABG=S梯形BAEF.4.S△AOB=S△COD-S△AOC-S△BOD.5.由于此時(shí)雙曲線和直線關(guān)于直線y=x對(duì)稱，可得△AOC≌△BOD，于是S△AOB=S△COD-2S△AOC.

二、問(wèn)題提出

如果直線AB：y=ax+b（a≠0）中a≠±1，顯然，前面4種思路同樣適用.那么，第5種思路還行得通嗎？

此時(shí)OC≠OD，顯然△AOC≌△BOD不成立了，但是S△AOC=S△BOD成不成立呢？

如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，S△AOC=112OC·AM=112OC·CA·sin∠OCD=112OC·CA·OD1CD，S△BOD=112OD·BF=112OD·BD·sin∠CDO=112OD·BD·OC1CD，若AC=BD，則S△AOC=S△BOD成立.那么，AC=BD成立嗎？

三、問(wèn)題探究，得出結(jié)論

圖2如圖2，過(guò)點(diǎn)A分別作AE⊥x軸于點(diǎn)E，AM⊥y軸于點(diǎn)M；過(guò)點(diǎn)B分別作BF⊥x軸于點(diǎn)F，BQ⊥y軸于點(diǎn)Q，AE與BQ相交于點(diǎn)R，連接AQ，QE，BE.易得S矩形AEOM=S矩形BQOF=|k|，∴S矩形ARQM=S矩形BREF，∴112S矩形ARQM=112S矩形BREF，即S△AQR=S△BER，∴S△AQR+S△ABR=S△BER+S△ABR，即S△AQB=S△ABE；∵△AQB和△ABE具有公共邊AB，∴AB邊上的高相等，∴QE∥AB.于是得ACQE和BDEQ，∴AC=QE=BD.∴S△AOC=S△BOD成立.當(dāng)交點(diǎn)A，B同在其他象限時(shí)，結(jié)論仍然成立.

歸納總結(jié)，得出結(jié)論：如圖1，直線y=ax+b（a≠0）和y軸、x軸分別交于點(diǎn)C，D，和雙曲線y=k1x（k≠0）在同一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，則AC=BD，S△AOC=S△BOD.

四、問(wèn)題深化探究，一般化結(jié)論

若交點(diǎn)A，B不在同一個(gè)象限，結(jié)論成立嗎？

圖3如圖3，交點(diǎn)分別在第一、三象限.同理可得S△AQR=S△BER，用S△ABR分別減去S△AQR和S△BER，同樣能得到S△AQB=S△ABE，同理可得ACQE和BDEQ，所以AC=QE=BD.所以S△AOC=S△BOD成立.交點(diǎn)A，B分別在二、四象限時(shí)，結(jié)論也成立.因此，可以得出一般性結(jié)論：直線y=ax+b（a≠0）與y軸、x軸分別交于點(diǎn)C，D，與雙曲線y=k1x（k≠0）交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，則AC=BD，S△AOC=S△BOD.

五、應(yīng)用結(jié)論，事半功倍

圖4例如圖4，一次函數(shù)y=k1x+b的圖像過(guò)點(diǎn)A（0，3），與x軸交于點(diǎn)D，且與反比例函數(shù)y=k2x（x>0）的圖像相交于B，C兩點(diǎn).若AB=BC，則k1·k2的值為.

思路分析根據(jù)以上結(jié)論，可得AB=CD=BC，即B，C為線段AD的三等分點(diǎn)，由直線可D-31k1，0，易得B-11k1，2，根據(jù)點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖像上，所以-11k1·2=k2，整理得k2k1=-2.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析能力、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).而探究能力就是最為重要的成分，探究能力的高低決定著學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的高低.教師在教學(xué)時(shí)，要善于挖掘教材和習(xí)題，它們不僅可以有效地讓學(xué)生鞏固知識(shí)，同時(shí)還具有廣闊的探究空間.長(zhǎng)期堅(jiān)持，有助于讓學(xué)生逐步養(yǎng)成善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的習(xí)慣，提升探究能力.