高中數(shù)學(xué)中的關(guān)系、映射與反演方法淺說

王劍

在醫(yī)院，我們常常會(huì)看到外科醫(yī)生在診斷內(nèi)傷病人時(shí)，先請(qǐng)病人透視拍片，再根據(jù)底片判斷內(nèi)傷的位置和程度，從而制訂治療方案，然后，按照這一方案進(jìn)行治療.外科醫(yī)生的這種工作方法，我們?cè)谔幚頂?shù)學(xué)問題時(shí)也常常用到，例如，

解方程6x2-2x+6+x2-2x=21.

很顯然本題直接求解難度較大，于是令y=x2-2x+6，可把原方程轉(zhuǎn)化為y2+6y-27=0，從而求得y=3或y=-9（舍），進(jìn)而得到x2-2x+6=3，所以，原方程的解為x1=-1，x2=3.

上面的例子給出了如下數(shù)學(xué)方法的生活背景和簡(jiǎn)單舉例.

一、關(guān)系、映射、反演方法的闡釋

一個(gè)數(shù)學(xué)問題，都是由一些已知的數(shù)學(xué)對(duì)象、數(shù)學(xué)關(guān)系和待定的數(shù)學(xué)對(duì)象與關(guān)系（都稱為“原象”）組成的，我們希望由此求得未知的元素，如果直接求解比較困難時(shí)，往往可以尋求一個(gè)映射，把“原象”映射成“映象”，通過映象關(guān)系求得未知元素的映象，最后，“反演”求得未知元素.

RMI是關(guān)系（Relationship）、映射（Mapping）、反演（Inversion）的簡(jiǎn)稱，這一過程可以用如下框圖表示：

RMI方法是一種普遍的工作方法，它可以化生為熟、化難為易、化繁為簡(jiǎn)，在高中數(shù)學(xué)中有著廣泛的運(yùn)用，例如，換元法，對(duì)數(shù)法，復(fù)數(shù)法與向量法，坐標(biāo)法，參數(shù)法，數(shù)學(xué)模型法等，都可以被理解為RMI方法的應(yīng)用.

二、RMI方法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

（一）換元法

本文開頭舉的例子本質(zhì)上就是通過換元法求解的，可見，換元法是RMI方法的典型應(yīng)用.

例1若p∈R且|p|<2，不等式（log2x）2+plog2x+1>2log2x+p恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

分析如果把不等式看成關(guān)于log2x的不等式，則問題很難入手，于是我們通過變換主元，看成關(guān)于p的一次不等式，則容易解決.為了化超越不等式為代數(shù)不等式，我們可以令a=log2x，于是不等式可以寫成（a-1）p+a2-2a+1>0，再將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)，令f（p）=（a-1）p+a2-2a+1，根據(jù)題意f（p）>0恒成立，即

f（2）>0，

f（-2）>0 2（a-1）+a2-2a+1>0，

-2（a-1）+a2-2a+1>0，

解得a>3或a<-1，對(duì)應(yīng)x>8或0

通過換元法可以將一些元素化歸，化超越不等式為代數(shù)不等式，化無理不等式為有理不等式，化高次不等式為低次不等式等，在運(yùn)用RMI方法時(shí)，關(guān)鍵就在于選取恰當(dāng)?shù)挠成?，使問題中本難解決的元素變得易于確定.

（二）復(fù)數(shù)法與向量法

一個(gè)復(fù)數(shù)z=x+iy本質(zhì)上是由一對(duì)有序?qū)崝?shù)（x，y）唯一確定的，于是能夠?qū)⑵矫嫔系狞c(diǎn)與全體復(fù)數(shù)建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.在高中數(shù)學(xué)中，向量的概念是作為復(fù)數(shù)的一個(gè)幾何意義提出來的，這樣一來，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量與復(fù)數(shù)、復(fù)平面上的點(diǎn)這三者間建立了一個(gè)映射關(guān)系，彼此可以互相轉(zhuǎn)化.

例2誘導(dǎo)公式cosπ12-α=sinα，sinπ12-α=cosα的復(fù)數(shù)證明.

證明令z=cos（-α）+isin（-α），則

iz=cosπ12+isinπ12[cos（-α）+isin（-α）]

=cosπ12-α+isinπ12-α，

又iz=icos（-α）+i2sin（-α）=sinα+icosα，

由復(fù)數(shù)相等的條件可以推得cosπ12-α=sinα，

sinπ12-α=cosα.

例3若等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為23，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足CM=116CB+213CA，則MA·MB=.

分析本題可以選取不共線的CB和CA作為一組基底，其他向量可用這一基底線性表示.

答案-2（過程略）.

解決向量問題的途徑之一就是尋找一組合適的基底，然后，將題中所有向量通過映象關(guān)系用基底線性表示，最后，反演得到結(jié)論，使問題得以很好解決.這也是“基本量”在RMI方法中的經(jīng)典例證.

當(dāng)然本題也可建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，把幾何問題映射為代數(shù)問題，通過代數(shù)運(yùn)算求出未知關(guān)系，把該關(guān)系通過反演解決某個(gè)幾何問題，在高中階段，坐標(biāo)法通常是指平面直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系.

（三）參數(shù)法

參數(shù)法，顧名思義，就是在解決某一數(shù)學(xué)問題時(shí)，根據(jù)問題的特點(diǎn)，合理地選擇其長(zhǎng)度、面積、角度、體積等參數(shù)，由其映象關(guān)系簡(jiǎn)化運(yùn)算、降低難度.對(duì)于平面解析幾何的問題，可運(yùn)用其參數(shù)方程，也是參量法解題的一個(gè)重要方面，體現(xiàn)了RMI方法對(duì)于高中數(shù)學(xué)中的解析幾何問題的優(yōu)越性.

例4（2016年高考全國(guó)Ⅰ卷第20題）設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

（Ⅰ）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

解（Ⅰ）所求軌跡方程為x214+y213=1（過程略）.

（Ⅱ）根據(jù)題意，直線l過點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，所以直線l的傾斜角不為π12.

可設(shè)直線MN的參數(shù)方程為x=1+tcosθ，

y=tsinθ （t為參數(shù)，θ為傾斜角）.①

因?yàn)橹本€PQ與直線MN垂直，所以傾斜角相差π12，

所以直線PQ參數(shù)方程為x=1-msinθ，

y=mcosθ （m為參數(shù)，θ+π12為傾斜角）.②

將 ① 代入x214+y213=1，

整理得（3+sin2θ）t2+6tcosθ-9=0（Δ>0）；

∴t1+t2=-6cosθ13+sin2θ，t1t2=-913+sin2θ，

∴|t1-t2|=（t1+t2）2-4t1t2

=36cos2θ+36（3+sin2θ）13+sin2θ=1213+sin2θ.

同理將②代入圓方程x2+y2+2x-15=0中，

整理得m2-4msinθ-12=0（Δ>0）；

∴m1+m2=4sinθ，m1m2=-12，

∴|m1-m2|=（m1+m2）2-4m1m2=43+sin2θ，

∴S=112|t1-t2|·|m1-m2|=24113+sin2θ，0<θ<π，

∴S∈[12，83）.

分析本題考查的是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線的相關(guān)知識(shí)，對(duì)運(yùn)算能力要求較高，一般來說，對(duì)于直線和圓錐曲線的交點(diǎn)問題，常常是聯(lián)立方程組通過韋達(dá)定理來求解的，這種常規(guī)思路的求解一來計(jì)算量較大，二來學(xué)生容易產(chǎn)生思維定式，不利于學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng).筆者采用參數(shù)方程的方法，不僅開拓了解題思路，且能提高學(xué)生觀察、分析問題的能力.

三、RMI方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義

自從數(shù)學(xué)家徐利治先生完善了RMI方法后，該方法就成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的基本方法之一，尤其是利用RMI方法指導(dǎo)解題時(shí)，往往能夠化生為熟，化難為易，化繁為簡(jiǎn)，達(dá)到事半功倍的效果.RMI方法有利于鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（一）鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)學(xué)生自己經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、理解和反思數(shù)學(xué)問題的過程，數(shù)學(xué)問題多來源于生活，所以在學(xué)習(xí)過程中學(xué)生多把數(shù)學(xué)知識(shí)與已有生活經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來，而數(shù)學(xué)概念高度抽象的特點(diǎn)，又讓學(xué)生產(chǎn)生困惑，這種“聯(lián)系”與“困惑”是RMI方法產(chǎn)生的原因.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》倡導(dǎo)在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”和“再創(chuàng)造”的活動(dòng)過程.這個(gè)過程最初是由數(shù)學(xué)教育學(xué)家弗賴登塔爾提出來的，他認(rèn)為：“數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，是現(xiàn)實(shí)世界同一類事物或現(xiàn)象抽象而成的量化模式.”

RMI方法作為問題解決的策略性方法越來越受到一線教師和教育專家的重視，他們認(rèn)為使用RMI方法解題時(shí)，能夠更好地關(guān)注學(xué)生的解題思路，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

（二）培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

教育部《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》修訂組組長(zhǎng)王尚志教授提出，中國(guó)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)好數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng).

《標(biāo)準(zhǔn)》也鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，強(qiáng)調(diào)“在數(shù)學(xué)過程中應(yīng)該讓學(xué)生充分地經(jīng)歷探索事物的數(shù)量關(guān)系，變化規(guī)律的過程”.換句話說，學(xué)生的“學(xué)”已經(jīng)從接受學(xué)習(xí)變?yōu)樘骄堪l(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，更加注重學(xué)習(xí)過程與學(xué)習(xí)體驗(yàn)，更加講究學(xué)習(xí)策略和學(xué)習(xí)方法，在這樣的背景之下，RMI方法作為一種問題解決策略，強(qiáng)調(diào)發(fā)現(xiàn)未知元素與已有經(jīng)驗(yàn)間的聯(lián)系，從而可以建立適當(dāng)映射，通過處理映象關(guān)系反演得到最終結(jié)果，這與新課程中“注重?cái)?shù)學(xué)問題（概念、原理、法則、公式）的發(fā)生、探索、發(fā)現(xiàn)、論證及應(yīng)用的全過程展開”和“重視培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和探究能力”這兩方面不謀而合.

通過RMI方法，可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)零碎知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，從而將這些知識(shí)系統(tǒng)化，并納入自己的知識(shí)體系之中，指導(dǎo)他們像數(shù)學(xué)家一樣，面對(duì)新的問題時(shí)，通過探索和學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)事物變化的起因和內(nèi)在聯(lián)系，從而真正理解學(xué)習(xí)，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的目的.

當(dāng)然，在我們充分肯定RMI方法在高中數(shù)學(xué)教與學(xué)中的重要作用的同時(shí)，也應(yīng)注意到，RMI方法也是不斷更新的，不能一味地使用舊的模式和思路，并且在原象與映象之間的有效映射也受每個(gè)人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)能力的制約，所以要不斷學(xué)習(xí)，分析和認(rèn)識(shí)高中數(shù)學(xué)各知識(shí)之間的聯(lián)系，不斷將數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化.

本文探討了RMI方法的釋義及其在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用與意義，不當(dāng)之處，還望同仁批評(píng)指正.

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