概念定義

摘 要：本文由“兩類問題學(xué)生”引發(fā)了對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的生長點(diǎn)的思考，本文認(rèn)為概念定義是數(shù)學(xué)思維的生長點(diǎn)，兩類問題學(xué)生的問題出在對概念定義的理解、掌握和回歸上，我們應(yīng)該更加注重夯實(shí)概念教學(xué)，本文就如何夯實(shí)概念教學(xué)也提出了一些不全面的建議.

關(guān)鍵詞：概念定義；數(shù)學(xué)思維

[?] 兩類問題學(xué)生

在大學(xué)階段，筆者學(xué)了一些數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的理論知識，從教三年，理論和實(shí)踐都告訴筆者，數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的是要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，并不斷地提高他們的思維品質(zhì). 就數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，很多專家學(xué)者都從各自的角度提出了很好的具有建設(shè)性的建議，但這些建議大都把重點(diǎn)放在“提高能力”上. 結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，筆者發(fā)現(xiàn)存在兩類典型的“問題”學(xué)生：第一類學(xué)生不會（數(shù)學(xué)地）思考問題，能力幾乎得不到提高；第二類學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力提高了，但思維常出現(xiàn)漏洞，甚至有時(shí)陷入出路閉塞狀態(tài).

對于第一類學(xué)生，由于他們往往基礎(chǔ)很薄弱，反應(yīng)較遲鈍，沒有很清晰地理解和掌握概念定義，甚至對相關(guān)概念定義一點(diǎn)印象都沒有，哪怕面對的是基礎(chǔ)題，他們也不會思考，一臉茫然. 筆者曾經(jīng)精選了五道考查相關(guān)概念定義的基礎(chǔ)題作為測試題，分發(fā)給班上10名后進(jìn)生（100分的試卷，他們正?？妓奈迨肿笥遥屗麄儺?dāng)場完成，結(jié)果五個(gè)人能做對兩道，三個(gè)人做對一道，兩個(gè)人一道也不會，不排除還有蒙對的. 然后筆者問他們這五道題所考查的相關(guān)概念定義的內(nèi)容是什么，他們大都支支吾吾說不出來. 在之后的兩三天里，筆者在課堂上有意識地把這些概念定義和學(xué)生們一起詳細(xì)地復(fù)習(xí)了，并加強(qiáng)對這些概念定義的辨析，對概念定義運(yùn)用的訓(xùn)練，重點(diǎn)關(guān)注這10名學(xué)生的掌握情況，直到確認(rèn)他們掌握這些概念定義為止. 筆者把之前的那份測試卷稍作修改，再一次發(fā)給這10名學(xué)生，結(jié)果兩個(gè)人全對，六個(gè)人做對四道，兩個(gè)人做對三道. 筆者不禁反思：這些后進(jìn)生的思維存在什么問題？

對于第二類學(xué)生，他們往往基礎(chǔ)不錯(cuò)，反應(yīng)也快，理解了相關(guān)的概念定義，解題能力蠻強(qiáng)，但經(jīng)?？紤]問題不全面或找不到解題的突破口. 在一次高一期終考試的試卷上有這樣一道題：“函數(shù)f（x）=是定義在R上的奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.” 當(dāng)時(shí)班上很多好學(xué)生都做錯(cuò)了，他們根據(jù)“f（-x）=f（x）”解出“a=1或-1”，而忽視了定義域R. 一開始筆者以為是因?yàn)閷W(xué)生粗心大意而忘了限制條件才出錯(cuò)，后來想不對，如果僅僅是由于“粗心大意”，那應(yīng)該是少數(shù)學(xué)生出錯(cuò)，而大多數(shù)學(xué)生錯(cuò)了，況且題中的定義域R這個(gè)條件又不“隱晦”. 再如，筆者曾經(jīng)在課堂上給出這樣一道例題：“設(shè)長為l（l2p）的線段AB的兩端點(diǎn)A，B在拋物線x2=2py（p>0）上運(yùn)動，則AB的中點(diǎn)M到x軸的最短距離是多少？”筆者給了充足的時(shí)間讓他們思考，大多數(shù)人（包括不少數(shù)學(xué)成績還不錯(cuò)的學(xué)生）的解法是“設(shè)直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，算A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而算出M點(diǎn)的縱坐標(biāo)”，陷入了煩瑣的運(yùn)算，個(gè)別計(jì)算能力較強(qiáng)的人花很長時(shí)間算出來了，有的人算不下去，想換方法又苦無對策.其實(shí)學(xué)生們沒有充分利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義，如果將M點(diǎn)到x軸的距離轉(zhuǎn)化為A，B兩點(diǎn)到x軸的距離之和的一半，再利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義將A，B兩點(diǎn)到x軸的距離轉(zhuǎn)化為用A，B兩點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離表示，就能求解. 這兩個(gè)事例不能不促使筆者思考：“這些好學(xué)生的思維還存在哪些方面的不足？”

[?] 概念定義——數(shù)學(xué)思維的生長點(diǎn)

筆者認(rèn)為上述兩類問題學(xué)生的問題出在他們的數(shù)學(xué)思維沒有“生長”好，數(shù)學(xué)思維的生長和發(fā)展與多方面的因素有關(guān)，學(xué)生對概念定義的內(nèi)化吸收是數(shù)學(xué)思維生長的前提和基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)概念是人腦對現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性的反映；而定義是對概念的本質(zhì)特征的規(guī)定或描述. 數(shù)學(xué)中的一切性質(zhì)、定理、公式、方法、思想、技巧等都是在概念定義的基礎(chǔ)上建立起來的.

數(shù)學(xué)思維是對數(shù)學(xué)對象（空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系等）的本質(zhì)屬性和內(nèi)部規(guī)律的間接反映，并按照一般思維規(guī)律認(rèn)識數(shù)學(xué)內(nèi)容的理性活動. 數(shù)學(xué)思維能力主要包括四個(gè)方面的內(nèi)容：（1）觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；（2）歸納、演繹、類比和推理；（3）合乎邏輯地、準(zhǔn)確地闡述自己的思想和觀點(diǎn)；（4）運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、思想和方法，辨明數(shù)學(xué)關(guān)系，形成良好的思維品質(zhì). 《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的“空間想象、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理”等基本能力指的就是學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

概念定義是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞和基石，學(xué)生從獲得數(shù)學(xué)概念定義的那一刻起，他大腦中的“數(shù)學(xué)思維”就開始形成和生長. 如學(xué)生掌握了函數(shù)的概念“函數(shù)是建立在兩個(gè)非空數(shù)集之間的單值對應(yīng)”后，就可以依據(jù)函數(shù)的概念定義將現(xiàn)實(shí)世界中的問題抽象為函數(shù)問題，也可以判斷一個(gè)對應(yīng)是不是函數(shù).

第一類學(xué)生沒有理解概念定義，而數(shù)學(xué)思維從概念定義開始，所以面對題目，他們不會思考，無法切入，而當(dāng)他們掌握了概念定義，大腦中就建立了對概念的本質(zhì)屬性的反映，數(shù)學(xué)思維就有了賴以生長的土壤，面對題目，他們才有可能找到問題的切入點(diǎn). 第二類學(xué)生理解了概念定義，但沒有養(yǎng)成時(shí)時(shí)緊扣定義和回歸定義的思維習(xí)慣，較易出現(xiàn)思維漏洞或陷入出路閉塞的情況.

作為教師，筆者反思了自己平時(shí)的概念教學(xué)，事實(shí)上，受各種因素的影響，筆者明顯地存在著“重結(jié)論輕過程”的傾向，即直接把概念塞給學(xué)生，把大量的時(shí)間和精力放在做題講題上，學(xué)生不了解概念產(chǎn)生的背景、過程以及意義，他們被動地接受概念，機(jī)械地背概念，遇到問題，不會運(yùn)用概念去思維.

[?] 夯實(shí)概念教學(xué)，培育數(shù)學(xué)思維

從基本概念到理論體系是數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展也是人類認(rèn)知發(fā)展的客觀規(guī)律，我們平時(shí)必須重視概念教學(xué)，夯實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)思維生長發(fā)展的基石.

1. 創(chuàng)設(shè)情境引入概念

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：“知識不是被動吸收的，而是由認(rèn)知主體主動建構(gòu)的.” 因此，教師應(yīng)該創(chuàng)設(shè)良好的問題情境，聯(lián)系學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，呈現(xiàn)直觀性強(qiáng)的例子，使學(xué)生在具體問題情境中感知概念，形成感性認(rèn)識，提煉出概念的本質(zhì)屬性，引入數(shù)學(xué)概念. 如在“異面直線”的教學(xué)中，教師可以先和學(xué)生一起回顧一下舊知“同一平面內(nèi)兩條直線之間的位置關(guān)系：平行或相交”，再讓學(xué)生觀察長方體模型并思考問題“在長方體的各條棱中，是否存在兩條既不平行又不相交的直線”. 學(xué)生找出來之后，教師告訴學(xué)生這樣的兩條直線叫做異面直線，然后再讓學(xué)生嘗試給出異面直線的定義，教師可能需要引導(dǎo)學(xué)生對他們給出的語言表述加以概括提煉，最終形成概念. 最好再讓學(xué)生舉出生活中一些異面直線的例子，加深對概念的理解. 學(xué)生經(jīng)歷并體驗(yàn)了概念發(fā)生發(fā)展過程，才會對概念有深刻的理解，為數(shù)學(xué)的思維的生長提供優(yōu)良的土壤.

2. 循序漸進(jìn)逐步加深

有的概念比較抽象，學(xué)生對它們的認(rèn)識很難一步到位，就需要聯(lián)系學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的概念或熟悉的事物，分成若干個(gè)層次，逐步加深. 如“三角函數(shù)的定義”的教學(xué)，教師如果直接給出定義，學(xué)生由于不知道三角函數(shù)是什么，哪來的，有何意義或背景，就會覺得它們很抽象，難以接受和理解. 他們需要經(jīng)歷了以下三個(gè)逐步加深的過程：（1）回顧舊知：直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義；（2）用點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)的定義；（3）任意角的三角函數(shù)的定義. 這樣學(xué)生才能順利地內(nèi)化概念，不斷地拓展、建構(gòu)自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

3. 充分挖掘概念的內(nèi)涵與外延

概念的內(nèi)涵是指反映在概念中的對象的本質(zhì)屬性（總和）；概念的外延是指具有概念所反映的本質(zhì)屬性的對象（總和）. 概念的內(nèi)涵和外延分別是對事物的質(zhì)和量的規(guī)定. 如“函數(shù)零點(diǎn)的定義”的教學(xué)，零點(diǎn)的定義：使得函數(shù)f（x）的值為0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)的零點(diǎn). 挖掘定義的內(nèi)涵時(shí)需強(qiáng)調(diào)“零點(diǎn)是實(shí)數(shù)，而不是點(diǎn)”，以免學(xué)生把函數(shù)的零點(diǎn)寫成坐標(biāo). 挖掘定義的外延時(shí)需強(qiáng)調(diào)三種等價(jià)表述：函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，即方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 只有學(xué)生把概念的內(nèi)涵和外延都搞透了，遇到問題，他們才能夠靈活運(yùn)用概念.

4. 進(jìn)行多維度的辨析

鄭毓信教授說過：“現(xiàn)代教學(xué)思想的一個(gè)重要內(nèi)容，即是認(rèn)為學(xué)生的錯(cuò)誤不可能單純依靠下面的示范和反復(fù)的練習(xí)得到糾正，而必須是一個(gè)自我否定的過程”. 有些數(shù)學(xué)概念，僅從字面上，學(xué)生很難準(zhǔn)確把握，教師可以從不同的維度設(shè)置一些與概念相似的表述，讓學(xué)生對比、辨別，從而更準(zhǔn)確地理解概念. 如“周期的概念”， 教師可以設(shè)置以下幾個(gè)表述讓學(xué)生回答或判斷：（1）函數(shù)f（x）滿足f（0）=f（2π），則它的周期為2π；（2）函數(shù)f（x）=1是周期函數(shù)，有最小正周期嗎？（3）函數(shù)f（x）=sinx，x∈[2π，+∞）是周期函數(shù)嗎？（4）函數(shù)f（x）=sinx，x∈（-∞，2π]是周期函數(shù)嗎？經(jīng)過幾輪思想斗爭和自我否定，學(xué)生對周期性概念的幾個(gè)關(guān)鍵要點(diǎn)才會有更清晰的認(rèn)識.

5. 發(fā)揮圖形、圖象和實(shí)例的重要功能

數(shù)形結(jié)合是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)思想，但筆者過去只是在教學(xué)生解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合，而在概念教學(xué)時(shí)沒有注意充分發(fā)揮圖形、圖象和實(shí)例在促進(jìn)學(xué)生理解概念中的重要功能. 在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，應(yīng)該充分利用圖形、圖象和實(shí)例使抽象的概念直觀化、形象化和具體化，從而易于接受. 如在引入“函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性定義”之前，應(yīng)先讓學(xué)生觀察呈上升和下降趨勢，關(guān)于y軸對稱和關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)圖象的特征，然后再讓學(xué)生從“數(shù)”的角度刻畫“形”的特征，這樣學(xué)生才能把握函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的概念的意義和作用.

6. 反復(fù)練習(xí)、熟能生巧

用大量的數(shù)學(xué)題讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)，可以使學(xué)生鞏固加深對概念的理解，熟能生巧. 但又不能訓(xùn)練過度，過度的訓(xùn)練可能剝奪學(xué)生反思、鉆研的時(shí)間，甚至使學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒，最終束縛他們思維的積極性和創(chuàng)造性.

在當(dāng)前的制度下，考慮到各種因素，數(shù)學(xué)概念究竟應(yīng)該怎樣講，講到什么程度，才恰到好處，是理論問題，更是實(shí)踐問題，有待進(jìn)一步研究. 但無論怎樣，都要為學(xué)生的數(shù)學(xué)思維生長培育“優(yōu)良的土壤”.