考慮非理想器件模型的電力電子系統(tǒng)狀態(tài)方程分析法

凌亞濤 趙爭(zhēng)鳴 楊 祎 李帛洋 袁立強(qiáng)

（清華大學(xué)電機(jī)系 電力系統(tǒng)及發(fā)電設(shè)備安全控制和仿真國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100084）

考慮非理想器件模型的電力電子系統(tǒng)狀態(tài)方程分析法

凌亞濤 趙爭(zhēng)鳴 楊 祎 李帛洋 袁立強(qiáng)

（清華大學(xué)電機(jī)系 電力系統(tǒng)及發(fā)電設(shè)備安全控制和仿真國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100084）

針對(duì)目前電力電子仿真軟件存在的對(duì)功率開(kāi)關(guān)器件電磁瞬態(tài)過(guò)程仿真不夠準(zhǔn)確，強(qiáng)剛性電路引起數(shù)值仿真計(jì)算發(fā)散等問(wèn)題，提出一種基于量化狀態(tài)系統(tǒng)（QSS）的離散狀態(tài)事件驅(qū)動(dòng)（DSED）仿真分析方法。該方法需要加入自動(dòng)識(shí)別電力電子系統(tǒng)開(kāi)關(guān)過(guò)程以及根據(jù)電路拓?fù)浜退帬顟B(tài)自動(dòng)列寫(xiě)狀態(tài)方程的相關(guān)算法。針對(duì)該需求提出一種基于圖論方法的狀態(tài)方程及輸出方程提取分析方法。首先，經(jīng)理論分析得到，將選用的器件模型代入電路可以得到狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式；進(jìn)而，提出電力電子系統(tǒng)電路的參數(shù)結(jié)構(gòu)矩陣程式化列寫(xiě)方法，并基于此方法針對(duì)開(kāi)關(guān)電路每一次開(kāi)關(guān)器件切換都需要重新列寫(xiě)狀態(tài)方程這一特點(diǎn)進(jìn)行了相關(guān)分析。最后，對(duì)幾個(gè)典型電力電子系統(tǒng)電路進(jìn)行仿真計(jì)算，結(jié)果證明了該提取分析方法的有效性。

狀態(tài)方程分析法 器件非理想特性 器件模型 離散狀態(tài)事件驅(qū)動(dòng) 仿真性能

0 引言

目前，各種商用電力電子仿真軟件（如Matlab、PSpice、PSIM等）已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用。但在實(shí)際應(yīng)用中，發(fā)現(xiàn)這些仿真軟件都存在兩個(gè)問(wèn)題：①考慮功率開(kāi)關(guān)器件非理想模型則計(jì)算時(shí)間非常長(zhǎng)；②存在強(qiáng)剛性電路引起數(shù)值仿真計(jì)算發(fā)散。為解決這些問(wèn)題，作者所在課題組提出了一種基于量化狀態(tài)系統(tǒng)（Quantized State System, QSS）離散狀態(tài)事件驅(qū)動(dòng)（Discrete State Event Drive, DSED）仿真分析方法。

DSED方法中的核心數(shù)值算法為QSS算法，關(guān)于QSS算法的收斂性、準(zhǔn)確度、算法穩(wěn)定性等，已有不少文獻(xiàn)進(jìn)行了研究[1-6]，本文不再贅述。

電力電子系統(tǒng)建模一般是基于等效電路建立狀態(tài)空間方程組。當(dāng)采用理想開(kāi)關(guān)模型時(shí)，即為二值電阻模型：通態(tài)為小值電阻，阻態(tài)為大值電阻；當(dāng)考慮非理想開(kāi)關(guān)模型時(shí)，則需采用較復(fù)雜的開(kāi)關(guān)等效電路模型。不管采用哪種模型，所建立的電力電子系統(tǒng)模型均為狀態(tài)空間方程組，如

所采用的核心數(shù)值算法QSS仍然為求解一階常微分方程組（Ordinary Differential Equation, ODE）的算法。由于電力電子系統(tǒng)中電感電容較多，特別在考慮開(kāi)關(guān)器件非理想模型時(shí)，電路中的電感電容成倍增加，這給列寫(xiě)?yīng)毩⒌臓顟B(tài)空間方程組以及構(gòu)造狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣造成很大的麻煩：難以辨別獨(dú)立狀態(tài)方程真?zhèn)?，且人工分析工作量很大?/p>

不少文獻(xiàn)就如何系統(tǒng)有序地提取電路獨(dú)立狀態(tài)方程給出了各種方案，比較經(jīng)典的做法是利用網(wǎng)絡(luò)圖論，選取電容電壓、電感電流作為狀態(tài)變量[7-10]。也有方案不依賴圖論，如文獻(xiàn)[11]基于能量守恒原理，以節(jié)點(diǎn)電位和節(jié)點(diǎn)電位的積分共同作為狀態(tài)變量來(lái)構(gòu)造電路的狀態(tài)方程。雖然給出的狀態(tài)空間方程的系數(shù)矩陣很方便求取，但是為了得到標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程，該方法也需要對(duì)一個(gè)對(duì)稱矩陣求逆。此外，在文獻(xiàn)[11]提供的方法中，狀態(tài)變量數(shù)為節(jié)點(diǎn)數(shù)的兩倍，并且需要求解出所有節(jié)點(diǎn)電位的積分值，沒(méi)有直接的意義；同時(shí)沒(méi)有考慮電力電子電路中存在互感的情況，沒(méi)有給出電路所有支路電量輸出方程的計(jì)算方法或表達(dá)式。

為解決在考慮器件非理想模型時(shí)自動(dòng)列寫(xiě)狀態(tài)方程分析的問(wèn)題，本文提出一種基于圖論方法的狀態(tài)方程及輸出方程提取分析方法，該方法考慮了電路包含所有常見(jiàn)元件（含互感）的情況，也給出了描述電路所有支路電量的輸出方程計(jì)算方法和表達(dá)式。首先對(duì)所選用器件模型進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹，進(jìn)一步將該折線模型轉(zhuǎn)化為方便提取狀態(tài)方程的等效子電路形式。然后重點(diǎn)驗(yàn)證在應(yīng)用器件的非理想模型時(shí)，所提的圖論分析方法可以獲得整個(gè)電力電子電路標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)空間方程和輸出方程。本文對(duì)該網(wǎng)絡(luò)分析方法存在的問(wèn)題也進(jìn)行了分析歸納，給出了一些解決思路和方法，并在器件非理想特性和線路雜散參數(shù)的情況下，分析了典型的電力電子電路仿真波形和仿真性能。最后對(duì)所提狀態(tài)方程提取與分析方法進(jìn)行了總結(jié)。

1 開(kāi)關(guān)器件的非理想模型

以絕緣柵雙極型晶閘管（Insulated Gate Bipolar Transistor, IGBT）器件非理想模型為例，在實(shí)現(xiàn)的方便性和結(jié)果的準(zhǔn)確性兩者之間折中，選擇該器件的行為模型[12-14]。本文對(duì)IGBT的三端電容模型和折線模型這兩種行為模型進(jìn)行分析。

1.1 IGBT三端電容模型

IGBT三端電容行為模型如圖1所示[14]。它將IGBT開(kāi)通和關(guān)斷瞬態(tài)過(guò)程各劃分為五個(gè)階段，在各個(gè)階段內(nèi)，這些元件值均為常數(shù)。但Rge、Cgc、Rce這三個(gè)元件在不同階段有不同的取值，如柵極電阻值Rge在關(guān)斷瞬態(tài)一般大于開(kāi)通瞬態(tài)。Imos為柵極MOS電流，表達(dá)式為

式中，Vth為IGBT閾值電壓；KP為計(jì)算系數(shù)。式（2）三個(gè)式子依次表征IGBT工作在截止、飽和、放大區(qū)。

圖1 IGBT的三端電容行為模型Fig.1 Three-terminal capacitor behavioral model for IGBT

1.2 IGBT折線模型

圖2為IGBT關(guān)斷過(guò)程中的折線模型，其中，vce為IGBT與二極管換流時(shí)的端電壓；ic為集電極電流；vge為柵射極電壓；Vcesat、VDC、Vmax、Vg(on)、Vg(off)、Vml、Vth、IL、Itail分別為通態(tài)飽和壓降、斷態(tài)承壓、關(guān)斷尖峰電壓、柵極開(kāi)通、關(guān)斷電壓、米勒電壓、閾值電壓、負(fù)載電流和拖尾電流；t0～t5為6個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)；三條曲線（vce、ic、和vge）以各節(jié)點(diǎn)之間的線性、常數(shù)或指數(shù)衰減的形狀表征。

圖2 IGBT關(guān)斷過(guò)程的折線模型Fig.2 Piecewise linear behavioral model for IGBT’s turn-off transient

為方便提取電路的狀態(tài)空間和輸出方程，折線模型等效子電路須滿足基爾霍夫電流、電壓定律。以圖3所示半橋逆變器為例進(jìn)行分析和說(shuō)明。

圖3 單相逆變電路中器件折線模型的子電路實(shí)現(xiàn)Fig.3 Single-phase inverter and its sub-circuit implementation equivalent to the piecewise linear model

圖3a中的負(fù)載電流IL正由S1換流至VD2。為使上管端電壓與圖2中 Vce相符，根據(jù)替代定理，將S1視作電壓源，為使電流與圖2中Ic相符，將VD2視作電流源。電壓、電流值可由RLC電路給定，如圖3b所示。

圖3b中的Ni和Bj分別表示節(jié)點(diǎn)i和支路j，具體將在2.4節(jié)進(jìn)行介紹與分析。對(duì)下半部左上角子電路進(jìn)行分析，下標(biāo)1表示與S1相關(guān)，電容Cge1端電壓表征S1的Vge。在圖2中t0～t1時(shí)段內(nèi)，S1的Vge從Vg(on)指數(shù)衰減至Vml，于是可選擇柵極參數(shù)（Vge1、Rge1、Cge1）及Cge1端電壓初值，使Cge1端電壓等于S1管中的Vge。

2 考慮非理想器件模型電路狀態(tài)方程提取

本節(jié)參考文獻(xiàn)[7-10,15,16]，利用電網(wǎng)絡(luò)分析法，對(duì)電路狀態(tài)方程和輸出方程提取方法進(jìn)行分析與推導(dǎo)。重點(diǎn)是將第1節(jié)中的兩種模型代入電路，分析并驗(yàn)證該提取方法可得到標(biāo)準(zhǔn)形式狀態(tài)方程。提出電路的參數(shù)結(jié)構(gòu)矩陣的概念，編寫(xiě)提取狀態(tài)方程的程序，給出程序流程步驟和應(yīng)用實(shí)例。

2.1 電路狀態(tài)方程的系統(tǒng)提取方法

推導(dǎo)狀態(tài)方程的關(guān)鍵是確定獨(dú)立電容電壓和電感電流支路。圖4給出了電路存在非獨(dú)立狀態(tài)變量的典型情況。圖4a為只含電壓源和電容的回路，顯然C1和C2的端電壓中只有一個(gè)可以作為獨(dú)立狀態(tài)變量。同樣地，圖4b中L1和L2的電流中只有一個(gè)可以作為獨(dú)立狀態(tài)變量。選取出獨(dú)立狀態(tài)變量可以簡(jiǎn)化狀態(tài)方程，文獻(xiàn)[9,10]選取的方法是在網(wǎng)絡(luò)中選一棵規(guī)范樹(shù)（normal tree）。規(guī)范樹(shù)的選擇依賴于對(duì)關(guān)聯(lián)矩陣Qb的操作，將Qb列的順序從左到右取為電壓源、電容、電阻、電感、電流源，通過(guò)作初等行變換將Qb變換為階梯形矩陣，從而可方便地找到所有線性無(wú)關(guān)的列，這些列對(duì)應(yīng)的支路即構(gòu)成規(guī)范樹(shù)。可以證明，規(guī)范樹(shù)的樹(shù)中電容電壓和樹(shù)余中電感電流構(gòu)成獨(dú)立狀態(tài)變量向量，證明見(jiàn)附錄。

圖4 電路中存在非獨(dú)立狀態(tài)變量的典型情況Fig.4 Typical conditions where dependent state variables exist in circuits

電路元件分為八類(lèi)：樹(shù)支電壓源、電容、電阻、電感、連支電流源、電感、電阻和電容?；鶢柣舴螂娏鞫?、電壓定律以及支路元件端電壓-電流關(guān)系可以完整描述電路所有電量的關(guān)系，即

式中，D、P分別為基本割集矩陣、回路矩陣，矩陣中的列順序按照上述元件分類(lèi)順序排列，附錄中對(duì)明D、P的表達(dá)式進(jìn)行了說(shuō)明；i、u分別為各支路電流和電壓列向量，元素排列順序與D、P相同；矩陣I為單位陣；下標(biāo)T、L分別表示樹(shù)支和連支；下標(biāo)E、C、R、L、J分別表示電壓源、電容、電阻、電感、電流源；上標(biāo)T表示矩陣轉(zhuǎn)置；RT、CT、GL、CL、LTT、LTL、LLT、LLL分別為樹(shù)支電阻、樹(shù)支電容、連支電導(dǎo)、連支電容、樹(shù)支間、樹(shù)支與連支間、連支與樹(shù)支間、連支間電感值（含自感和互感）的矩陣。

整理式（3）～式（5）可得到狀態(tài)方程為

值得注意的是：D中的F34、F43、F44總為零矩陣。例如P中-表示樹(shù)中電感支路在樹(shù)余電阻支路形成回路中分布情況，而在規(guī)范樹(shù)的選取過(guò)程中導(dǎo)致樹(shù)余電阻只可能與樹(shù)中電壓源、電容或電阻支路形成回路，所以-總為零矩陣。

2.2 考慮器件行為模型的電路狀態(tài)方程

本節(jié)將把第1節(jié)中的兩種行為模型代入電路中得到標(biāo)準(zhǔn)形式狀態(tài)方程。

2.2.1 考慮三端電容模型的狀態(tài)方程

式（6）所示狀態(tài)方程存在輸入源導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。在三端電容模型中，Imos作為iJL中的元素處理。當(dāng)IGBT工作在飽和區(qū)時(shí)，Imos的導(dǎo)數(shù)為

式中，Vge、Vgc均為獨(dú)立狀態(tài)變量。

考慮電路只含一個(gè)IGBT時(shí)，若式（6）中B1為非零矩陣，則式（6）可整理為式中，B1M為B1對(duì)應(yīng)Imos的列；B、iJ′L為將Imos提到等號(hào)左側(cè)后B1、IJL中剩下的部分。

對(duì)式（8）求解的每一步長(zhǎng)中，導(dǎo)數(shù)項(xiàng)系數(shù)中Vge、Vgc均取上一個(gè)步長(zhǎng)計(jì)算結(jié)果，于是在DSED每一個(gè)計(jì)算步長(zhǎng)中，對(duì)式（8）整理得狀態(tài)方程

然后，對(duì)式（9）中的矩陣′M求逆。當(dāng)電路具有一定規(guī)模，比如對(duì)于一個(gè)三相半橋逆變電路，考慮IGBT三端電容模型、母線雜散電感和三相輸出電感等參數(shù)，方陣M′階數(shù)約為22。若每個(gè)計(jì)算步長(zhǎng)都需要對(duì)M′進(jìn)行求逆，則求解效率會(huì)受到很大影響。當(dāng)電路規(guī)模更加大時(shí)，M′階數(shù)更高，對(duì)M′求逆會(huì)導(dǎo)致求解程序的效率更低。

可以證明矩陣B1是零矩陣。對(duì)電路建模，需考慮母線電容的等效串聯(lián)電阻（Equivalent Series Resistance, ESR），于是采用三端電容模型時(shí)，電路總不存在只含電壓源和電容的回路，各電壓源和電容都屬于規(guī)范樹(shù)。P中-FiT4（i=1, 2, 3, 4）表示各樹(shù)支路在樹(shù)余電容形成回路中的分布，均為空陣。所以矩陣B1左上角的子陣是空陣。-F4T1表示樹(shù)支電感支路在電流源連支形成回路中的分布，連支電流源指Imos。由于每個(gè)連支與樹(shù)支只形成一個(gè)回路，而Imos已與Cge、Cgc兩樹(shù)支形成回路，所以-F4T1是零矩陣。從而可知，B1是零矩陣，式（6）是標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程，當(dāng)式（6）寫(xiě)成式（1）的形式時(shí)，系數(shù)矩陣為AS、BS。

2.2.2 考慮折線模型的狀態(tài)方程

考慮折線模型時(shí)，同樣也不存在只含電壓源和電容的回路，B1左上角子陣應(yīng)當(dāng)是空陣。-F4T1表示樹(shù)支電感支路在電流源連支形成回路中的分布，以圖3為例，電流源IVS1已與CVS1樹(shù)支形成回路，所以-是零矩陣。從而可知，B1是零矩陣，式（6）是標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程。

值得注意的是：以圖3為例，將上、下管分別當(dāng)作電壓、電流源，則Vs1、Is2出現(xiàn)在式（6）輸入向量中，同時(shí)也是狀態(tài)變量。每一步計(jì)算時(shí)，先計(jì)算Vs1、Is2等狀態(tài)量，再將其代入剩下的狀態(tài)方程進(jìn)行計(jì)算。

2.3 電路輸出方程的系統(tǒng)提取方法

提取電路輸出方程具有重要意義，一方面可以了解所有支路的電量情況，同時(shí)也是仿真解算的必要條件。例如，圖5為二極管的一種等效電路模型，當(dāng)用其對(duì)實(shí)際二極管建模時(shí)，就需知道二極管所在支路的電壓電流值，以判斷功率二極管所處開(kāi)關(guān)狀態(tài)。

圖5 二極管的一種等效電路模型Fig.5 One type of equivalent circuit model for diode

輸出方程按元件分類(lèi)，每一類(lèi)按樹(shù)支電流、電壓和連支電流、電壓的順序組織，可得式（10）。

附錄給出了電容支路輸出方程系數(shù)矩陣。與前述分析類(lèi)似，用本文兩種器件模型時(shí)，可證明輸入源導(dǎo)數(shù)項(xiàng)系數(shù)B1C、B1L、B1EJ均為零矩陣，輸出方程總是狀態(tài)變量與輸入量的線性組合。

2.4 系統(tǒng)提取狀態(tài)方程的程序與應(yīng)用

本節(jié)將定義電路參數(shù)結(jié)構(gòu)矩陣，給出提取含器件非理想模型電路狀態(tài)方程和輸出方程的程序步驟，并給出考慮三端電容模型的Buck電路和考慮折線模型的逆變電路這兩個(gè)算例。

2.4.1 參數(shù)結(jié)構(gòu)矩陣及步驟

根據(jù)2.1～2.3節(jié)，為獲得電路狀態(tài)和輸出方程，須知道電路結(jié)構(gòu)（Fij（i=1, 2, 3, 4；j=1, 2, 3, 4）子矩陣）和各支路元件信息。電路參數(shù)結(jié)構(gòu)矩陣S某一行向量為

式中，c1～c6為用于示意的某一行6列數(shù)。這6列的定義如下：c1為該行對(duì)應(yīng)的支路編號(hào)，按1, 2, 3…依次遞增；c2為c1支路出點(diǎn)編號(hào)；c3為c1支路入點(diǎn)編號(hào)；c4為c1支路元件類(lèi)型，0表示獨(dú)立電壓源，1表示獨(dú)立電流源，2表示電容，3表示電阻，4表示電感，5表示互感；c5為c1支路的元件參數(shù)值；c6為與c1支路電感存在互感的一個(gè)電感支路編號(hào)。

需將電路當(dāng)有向圖處理，先給電路的每個(gè)節(jié)點(diǎn)、支路各按1、2、3連續(xù)編號(hào)，為各支路規(guī)定參考方向，按照編號(hào)和參考方向得到S。提取狀態(tài)方程和輸出方程系數(shù)矩陣的程序以矩陣S為輸入，程序步驟見(jiàn)附錄。

2.4.2 算例1（Buck電路）

圖6為Buck電路，其中Ni、Bj分別表示節(jié)點(diǎn)i和支路j。N2與N4之間是圖5的二極管等效電路，Ls為雜散電感，LO、RO為阻感性負(fù)載。采用IGBT的三端電容模型，本例僅為示意，除了斷態(tài)理想二極管等效電阻RDM取為1MΩ，圖6中其他電阻、電容、電感均分別取值為1Ω、1F、1H。

獲取圖6中的矩陣S后，將S代入程序，即可得到式（6）寫(xiě)成式（1）形式后的系數(shù)矩陣，即

圖6 對(duì)Buck電路的編號(hào)Fig.6 Numbering for Buck circuit

式中，狀態(tài)變量按5、8、11、14支路電容電壓和2、7支路電感電流排列。可驗(yàn)證式（12）的正確性。此處未給出輸出方程的系數(shù)矩陣。式（6）中對(duì)源求導(dǎo)的系數(shù)矩陣B1計(jì)算為零矩陣，與理論分析一致，此處也未給出。

2.4.3 算例2（全橋逆變電路）

將圖3b的狀態(tài)方程寫(xiě)成式（1）形式后的系數(shù)矩陣為

式中，狀態(tài)變量按11、13、15支路電容電壓和7、19支路電感電流排列。為了示意，所有元件參數(shù)值均取為1。此處未給出輸出方程的系數(shù)矩陣，且式（6）中對(duì)源求導(dǎo)的系數(shù)矩陣B1在這里計(jì)算也為零矩陣，同樣未給出。

2.4.4 算法的優(yōu)缺點(diǎn)分析

該狀態(tài)方程提取與分析法，可較方便地獲得狀態(tài)方程和輸出方程系數(shù)矩陣，但仍然存在兩個(gè)問(wèn)題：①前文提及的對(duì)矩陣M求逆；②系統(tǒng)剛性。

關(guān)于對(duì)矩陣M求逆，觀察式（6）可知，只有電容值改變才會(huì)引起M變化，而只有電阻（三端電容模型中的Rge、Rce和折線模型中子電路的電阻）改變時(shí)，程序可以使用上一步長(zhǎng)M的逆。從這個(gè)角度出發(fā)，實(shí)現(xiàn)折線模型各階段形狀時(shí)，需盡量保持圖3b中Cge1、Cvs1、Cge2、Lcs2不變，而只是改變Rge1、Rvs1、Rge2、Rcs2。

采用這兩種模型時(shí)，各電壓源和電容都在規(guī)范樹(shù)中，所以連支電容矩陣CL為零矩陣。矩陣M左上角的子矩陣是一個(gè)對(duì)角矩陣，右下角子矩陣是一個(gè)對(duì)稱矩陣，所以對(duì)M求逆可以使用一些優(yōu)化算法。與文獻(xiàn)[11]的算法比較，為獲得標(biāo)準(zhǔn)形式狀態(tài)方程，后者也需要對(duì)一個(gè)對(duì)稱矩陣K1求逆，如

因?yàn)镵1右下角是單位子陣，KC是一個(gè)對(duì)稱矩陣。所以K1維數(shù)是電路節(jié)點(diǎn)數(shù)的2倍，M的維數(shù)是狀態(tài)變量數(shù)?？梢?jiàn)，為得到標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程，不可避免地需對(duì)這種類(lèi)型的矩陣求逆。

至于系統(tǒng)剛性問(wèn)題，當(dāng)電路中元件參數(shù)值相差較大時(shí)，狀態(tài)方程的剛性問(wèn)題就會(huì)產(chǎn)生。比如，建模時(shí)將二極管視作二值電阻，各二極管開(kāi)通關(guān)斷時(shí)的阻值相差巨大，這會(huì)加劇系統(tǒng)剛性，該問(wèn)題可在數(shù)值算法方面嘗試克服，本專(zhuān)題其他文獻(xiàn)針對(duì)此問(wèn)題提出了更為適用系統(tǒng)剛性的后向DSED[17]和線性隱式DSED等方法，本文不再贅述。

3 DSED方法電路解算算例

本節(jié)結(jié)合DSED方法獲得仿真計(jì)算波形，用以說(shuō)明所提方法的有效性及優(yōu)勢(shì)。

仿真對(duì)象是如圖7所示的三相兩電平逆變器，用本文提出的狀態(tài)和輸出方程提取方法，列寫(xiě)電路參數(shù)結(jié)構(gòu)矩陣S。此時(shí)式（1）中的系數(shù)矩陣AS、BS維數(shù)分別為17×17、17×7。此處只說(shuō)明其中的狀態(tài)變量按3、6、8、10、14、17、19、21、26、29、32、34支路電容電壓和2、24、36、40、41支路電感電流排列。

圖7 三相兩電平逆變器仿真模型Fig.7 Simulation models for three-phase two-level circuit

在提取狀態(tài)方程和輸出方程的基礎(chǔ)上，運(yùn)用DSED中的ODE算法得到了三相兩電平逆變電路一個(gè)開(kāi)關(guān)周期的仿真波形，如圖8所示。其中，圖8a為未采用DSED方法求解的電壓、電流波形，圖8b為采用了適用于系統(tǒng)剛性的ode23tb算法。各算法在三相兩電平電路單開(kāi)關(guān)周期仿真中的性能比較見(jiàn)表1?？梢?jiàn)，該狀態(tài)方程提取方法與DSED數(shù)值算法結(jié)合后，大大提高了電力電子電路求解的有效性和快速性。值得一提的是，表1中的仿真總耗時(shí)將狀態(tài)方程提取和數(shù)值算法計(jì)算的耗時(shí)都計(jì)入在內(nèi)，而前者耗時(shí)不到0.01s，對(duì)總耗時(shí)的影響很小。

圖8 三相兩電平逆變電路的兩種算法仿真波形Fig.8 Simulation waveforms with two algorithms for three-phase two-level circuit

表1 各算法在三相兩電平電路單開(kāi)關(guān)周期仿真中的性能比較Tab.1 Simulation comparison of various algorithms for three-phase two-level converter in one switching period

4 結(jié)論

1）本文介紹了IGBT的兩種行為模型，并針對(duì)折線模型提出了其對(duì)應(yīng)的等效子電路實(shí)現(xiàn)方法。提出了用網(wǎng)絡(luò)圖論提取狀態(tài)方程的方法，推導(dǎo)輸出方程的表達(dá)式，給出提取狀態(tài)方程和輸出方程的程序步驟。證明了將IGBT兩種行為模型代入電路均可以得到標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程，且輸出方程也是輸入源和狀態(tài)變量的線性組合。采用Buck和全橋逆變電路，驗(yàn)證了當(dāng)考慮兩種行為模型時(shí)，提取狀態(tài)和輸出方程程序的正確性。

2）本文分析了狀態(tài)方程分析法存在的兩個(gè)問(wèn)題：需要頻繁對(duì)一定規(guī)模矩陣求逆，對(duì)含器件數(shù)目較大的電路仿真計(jì)算的效率，是很大的挑戰(zhàn)；系統(tǒng)剛性問(wèn)題，并給出了部分解決方法和思路。進(jìn)一步將基于圖論的電路方程提取方法與DSED中ODE算法結(jié)合，用于計(jì)算電力電子電路。但是第3節(jié)中的算例只是對(duì)一個(gè)開(kāi)關(guān)周期進(jìn)行了仿真，所以提取狀態(tài)方程的耗時(shí)很小。而對(duì)更大規(guī)模電路進(jìn)行更長(zhǎng)時(shí)間仿真時(shí)，狀態(tài)方程提取的耗時(shí)可能對(duì)仿真速度產(chǎn)生一定影響，還需進(jìn)一步研究、優(yōu)化。

附 錄

1. 關(guān)于樹(shù)中電容電壓和樹(shù)余中電感電流構(gòu)成獨(dú)立狀態(tài)變量的證明

規(guī)范樹(shù)的選取基于網(wǎng)絡(luò)分析中一個(gè)基本結(jié)論：一個(gè)n節(jié)點(diǎn)有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣Qb中n-1列對(duì)應(yīng)支路構(gòu)成一棵樹(shù)的充要條件是Qb中這n-1列線性無(wú)關(guān)。分析分兩部分進(jìn)行：

（1）先分析電容支路。由2.1節(jié)規(guī)范樹(shù)的選取過(guò)程及選取前Qb列的順序可知：①樹(shù)中電壓源和電容不構(gòu)成回路，所以樹(shù)中各電容電壓相互獨(dú)立；②樹(shù)余中各電容支路都與樹(shù)中電壓源或電容構(gòu)成回路，因此它們都可用樹(shù)中電壓源和電容支路電壓線性表示。

（2）再分析電感支路。①任一樹(shù)支電感電流iL可唯一確定一個(gè)割集CS。CS中除iL外其他連支如果含電容或電阻，則這些連支電容、電阻就會(huì)與iL及其他一些支路構(gòu)成回路。但是由2.1節(jié)規(guī)范樹(shù)的選取過(guò)程可知，連支電容、電阻都只能與樹(shù)中非電感支路形成回路。因此，任一樹(shù)支電感電流iL只能與樹(shù)余中電感或電流源構(gòu)成割集，即任意樹(shù)支電感電流都可用樹(shù)余中電感或電流源電流線性表示。②不存在只含樹(shù)余中電感或電流源的割集，否則規(guī)范樹(shù)的所有支路將必須位于該割集劃出兩子圖中的一個(gè)子圖Gsub，而樹(shù)的定義決定了Gsub已經(jīng)包含網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點(diǎn)，這顯然是矛盾的。

根據(jù)上述兩部分分析可知：樹(shù)余中電容電壓可由樹(shù)中電壓源和電容電壓線性表示，樹(shù)中電感電流可由樹(shù)余中電流源和電感電流線性表示，樹(shù)中電容電壓和樹(shù)余中電感電流構(gòu)成了完備的獨(dú)立狀態(tài)變量。

2. 獲得電路狀態(tài)方程和輸出方程系數(shù)矩陣的程序步驟

（1）將原電路中IGBT用三端電容或折線模型等效子電路替換。按照2.4.1節(jié)的方式，對(duì)所有節(jié)點(diǎn)、支路進(jìn)行編號(hào)，對(duì)所有支路規(guī)定參考方向，列出參數(shù)結(jié)構(gòu)矩陣S 。

（2）根據(jù)S中第四列元素類(lèi)型，提取電路的關(guān)聯(lián)矩陣Qb，Qb的列從左向右依次對(duì)應(yīng)電壓源、電容、電阻、電感、電流源。根據(jù)2.1節(jié)的方法選規(guī)范樹(shù)，并將Qb中列的順序重新整理得到Q，Q的列從左向右依次對(duì)應(yīng)規(guī)范樹(shù)電壓源、電容、電阻、電感和連支電流源、電感、電阻、電容。

（3）根據(jù)列分屬于樹(shù)支、連支，將第2節(jié)中基本割集矩陣D和基本回路矩陣P、Q分別寫(xiě)成如下分塊形式。

根據(jù)第2節(jié)中對(duì)D、P的定義，根據(jù)Q求解出D、P。DT為階數(shù)等于樹(shù)支數(shù)的單位矩陣；PL為階數(shù)等于連支數(shù)的單位矩陣。

至此，得到了系數(shù)矩陣中所有的Fij（i,j=1, 2, 3, 4）矩陣。

（4）根據(jù)步驟（2）和（3）的結(jié)果，再獲取參數(shù)矩陣CT、CL、LTT、LTL、LLT、LLL、RT、CL。

（5）將結(jié)構(gòu)矩陣和參數(shù)矩陣代入狀態(tài)方程和輸出方程的系數(shù)矩陣表達(dá)式。

3. 關(guān)于電容支路輸出方程中系數(shù)矩陣的表達(dá)式

先將式（6）整理為

其中

式中，系數(shù)矩陣M-1A的行和列均按樹(shù)支電容支路數(shù)和連支電感支路數(shù)來(lái)劃分子塊；系數(shù)矩陣M-1B、M-1B1的行均按樹(shù)支電容支路數(shù)和支路電感支路數(shù)來(lái)劃分，列均按照電壓源數(shù)和電流源數(shù)來(lái)劃分子塊。

將式（10）中關(guān)于電容支路輸出方程的系數(shù)矩陣都劃分為4×2的分塊矩陣，即

這些分塊矩陣的維數(shù)都可由式（10）和式（A5）對(duì)照獲得。劃分的分塊矩陣都可用式（A4）中M-1A、M-1B、M-1B分塊子矩陣來(lái)表示，即1

式中，AC21為單位矩陣；AC22、BC21、BC22、B1C21、B1C22、AC42、BC42、B1C41、B1C42為零矩陣。

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（編輯 張玉榮）

State Space Method to Analyze the Power Electronics Circuits Considering Devices’ Non-Ideal Models

Ling Yatao Zhao Zhengming Yang Yi Li Boyang Yuan Liqiang
（State Key Laboratory of Control and Simulation of Power Systems and Generation Equipments Deptartment of Electrical Engineering Tsinghua University Beijing 100084 China）

At present, there are some problems in the simulation software of power electronics, such as rough simulation waveforms for device switching transients, non-convergence for stiff systems etc. Hence, our group has proposed an analysis method—discrete state event drive (DSED) based on quantized state system (QSS). In this method, the algorithm based on circuit topology and state is integrated that can identify the switching states of devices and extract state space equations. Thus, a graph-theory-based algorithm that can extract the state and output equations is proposed. It is proved theoretically that the state space equations of power electronic systems are always in norm-form. Furthermore, parameter-structure matrix is proposed. Some discussions are carried out to the problem that every time a switch alters its status, the coefficient matrices of state space equations must be recalculated. Finally, simulation results of classical circuits have verified the proposed method.

State space analysis method, device non-ideal characteristics, device models, discrete state event drive (DSED), simulation performance

TM46

凌亞濤 男，1992年生，博士研究生，研究方向?yàn)殡娏﹄娮臃抡嫠惴ā?/p>

E-mail： 1546517440@qq.com（通信作者）

趙爭(zhēng)鳴 男，1959年生，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)榇笕萘侩娏﹄娮幼儞Q系統(tǒng)、光伏發(fā)電、電機(jī)控制、無(wú)線電能傳輸?shù)取-mail： zhaozm@tsinghua.edu.cn

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.170446

國(guó)家自然科學(xué)基金重大項(xiàng)目資助（51490680，51490683）。

2017-04-18 改稿日期 2017-05-15