非線性耦合Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota方程的對(duì)稱約化

牛莉莉, 胡恒春

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200093)

非線性耦合Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota方程的對(duì)稱約化

牛莉莉, 胡恒春

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200093)

由Clarkson和Kruskal提出的Clarkson-Kruskal直接法是一種不涉及群運(yùn)算的求解非線性偏微分方程的代數(shù)方法,不同于經(jīng)典李群方法,Clarkson-Kruskal直接法不需要求解復(fù)雜的初值問(wèn)題.應(yīng)用Clarkson-Kruskal直接法,并且利用相應(yīng)規(guī)則得到非線性耦合Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota方程的對(duì)稱約化.同時(shí)進(jìn)一步求得了Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota方程新的相似變量和相似解,并與經(jīng)典李群方法得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證了Clarkson-Kruskal直接法與經(jīng)典李群方法得到的結(jié)果可以互相變換.

對(duì)稱約化; 非線性耦合Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota方程; Clarkson-Kruskal直接法

近年來(lái),人們?cè)诓煌茖W(xué)領(lǐng)域中都發(fā)現(xiàn)和提出了用非線性方程來(lái)模擬不同的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?因此,找到非線性發(fā)展方程的解具有非常重要的研究意義.如何求解非線性發(fā)展方程是一項(xiàng)困難的工作,經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)家們和物理學(xué)家們多年的不懈努力,人們提出了許多有效的求解非線性發(fā)展方程的方法,如:Weierstrass橢圓函數(shù)展開(kāi)法[1]、達(dá)布變換法[2]、Hirota雙線性方法[3]、反散射方法[4]、李群方法[5-11]等.

本文研究Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota方程,簡(jiǎn)稱DSSH方程,其形式如下:

(1)

該方程分別獨(dú)立地由Drinfeld,Sokolov[12]和Satsuma,Hirota[13]提出.耦合DSSH方程是眾多具有特殊形式Lax對(duì)的非線性方程之一,并且DSSH方程可以作為KP族的四約化的一個(gè)特殊情況,科學(xué)家們已經(jīng)構(gòu)建出它的精確單孤子解.Gürses和Karasu[14]發(fā)現(xiàn)了方程(1)的一個(gè)遞歸算子和一個(gè)雙哈密頓結(jié)構(gòu),Wazwaz[15]用3種不同的方法,也就是Cole-Hopf變換、Hirota雙線性方法和指數(shù)函數(shù)法,獲得了其多孤子解、多個(gè)單孤子解以及平面周期解.下面采用Clarkson-Kruskal直接法(簡(jiǎn)稱CK直接法)對(duì)方程(1)進(jìn)行約化,并求出選取特殊常數(shù)后的新的相似解.

1 方法簡(jiǎn)介

眾所周知,求解非線性系統(tǒng)的約化相似解,有3種常用方法:經(jīng)典李群法、非經(jīng)典李群法以及CK直接法.其中,經(jīng)典及非經(jīng)典李群法用到李群的思想,并且只能得到非線性偏微分方程的部分相似約化.

1989年,Clarkson和Kruskal提出將CK直接法應(yīng)用于Boussinesq方程[16]和修正的Boussinesq方程[17],并得到了新的相似解,而用經(jīng)典李群法和非經(jīng)典李群法是得不到這些結(jié)果的.這種方法的主要優(yōu)點(diǎn)是避免了復(fù)雜的群論分析,并且有時(shí)能夠得到更多的相似約化結(jié)果.CK直接法被廣泛應(yīng)用在求解各種非線性偏微分方程上,如:對(duì)稱正則長(zhǎng)波方程[18]、修正的Benjamin-Bona-Mahoney 方程[18]等.

首先介紹相似變換的定義。

設(shè)u(x,t)是一個(gè)偏微分方程P(u)=0的解,作變換

(2)

使u′(x′,t′)也是偏微分方程P(u)=0的解,即

當(dāng)式(2)為單參數(shù)李群變換時(shí),可以得到從x,t,u(x,t)到x′,t′,u′(x′,t′)的不變變換條件

(3)

將式(2)代入到式(3)中可以確定ξ(x,t),τ(x,t),η(x,t),從而由式(3)的特征方程

確定出相似變量和相似變換.

解得U(x,t,h(z,t),u)=c2,這時(shí)相似解可表示為

(4)

基于以上,可直接尋求形如式(4)的解.將式(4)代入到P(u)=0中,可得到ω(z)滿足的一個(gè)常微分方程,這是偏微分方程的一個(gè)一般的相似約化[19].

CK直接法[16-22]的基本思想是:對(duì)一個(gè)偏微分方程

(5)

尋找一個(gè)如下形式的相似解

這是相似約化最一般的形式.將式(4)代入式(5)中,并且確保得到的結(jié)果是關(guān)于ω(z)的常微分方程,并且限制U和它的導(dǎo)數(shù)條件,使之能夠解出U和ω的具體形式.

實(shí)際上,可以進(jìn)一步假設(shè)方程(5)有如下形式的解

(6)

這里α(x,t),β(x,t),z(x,t)是關(guān)于x,t的待定函數(shù).

將式(6)代入到方程(5)中,并且按ω(z)的冪次及其導(dǎo)數(shù)的階數(shù)進(jìn)行整理.為了使得到的結(jié)果是關(guān)于ω(z)的常微分方程,需要求ω(z)(或其導(dǎo)數(shù))的不同冪次項(xiàng)的系數(shù)成比例,并且比值只能是z的函數(shù).因此可得到關(guān)于α(x,t),β(x,t),z(x,t)的超定方程組,便可解得方程(5)的相似約化.

2 Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota方程的相似約化

對(duì)于DSSH方程,應(yīng)用CK法求其對(duì)稱約化、相似變量及相似解的步驟具體如下.

a. 可以容易證明,對(duì)于大部分方程都存在形式為u(x,t)=α(x,t)+β(x,t)ω(z(x,t))的相似約化,因此可假設(shè)方程(1)具有如下形式的對(duì)稱變換

(7)

式中:α1,α2,β1,β2以及z(x,t)是關(guān)于x,t的待定函數(shù);P(z),Q(z)是關(guān)于z的常微分方程.

b. 將式(7)代入式(1)中,將得到的結(jié)果按照P(z),Q(z)的冪次及其導(dǎo)數(shù)的階數(shù)進(jìn)行整理歸納得到

c. 找出其規(guī)范系數(shù)(假設(shè)為φ(x,t)),將P(z),Q(z)及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)寫(xiě)成φ(x,t)Гi(z)的形式,其中Гi是z的待定函數(shù).

(10)

式中,Гi是關(guān)于z的待定函數(shù).為計(jì)算方便,將經(jīng)過(guò)一些運(yùn)算后的Гi(z)仍記為Гi(z).

(11)

式中,Ωi是關(guān)于z的待定函數(shù).

在接下來(lái)確定α1,α2,β1,β2和z時(shí),在不失一般性,并且確保方法有效的前提下,對(duì)于DSSH方程,有以下5個(gè)自由度規(guī)則:

規(guī)則1 若α1(x,t)具有形式α1=α10(x,t)+β1(x,t)Ω(z(x,t)),那么取Ω(z)≡0(相當(dāng)于作變換ω(z)→ω(z)-Ω(z));

規(guī)則2 若α2(x,t)具有形式α2=α20(x,t)+β2(x,t)Ω(z(x,t)),那么取Ω(z)≡0(相當(dāng)于作變換ω(z)→ω(z)-Ω(z));

規(guī)則3 若β1(x,t)具有形式β1=β0(x,t).Ω(z(x,t)),那么取Ω(z)≡1(相當(dāng)于作變換ω(z)→ω(z)/Ω(z));

規(guī)則4 若β2(x,t)具有形式β2=β0(x,t).Ω(z(x,t)),那么取Ω(z)≡1(相當(dāng)于作變換ω(z)→ω(z)/Ω(z));

規(guī)則5 若z(x,t)是由方程Ω(z)=z0(x,t)確定的,那么取Ω(z)=z(相當(dāng)于作變換z→Ω-1(z)).

接下來(lái)考慮zx的不同取值情況.

a. 當(dāng)zx=0時(shí),根據(jù)上述規(guī)則5可得,z是只關(guān)于t的函數(shù),即z=t,因此P(z),Q(z)也是只關(guān)于t的函數(shù),得到形式為一階常微分方程的約化方程.因此重點(diǎn)考慮zx≠0的情況.

b. 根據(jù)上述5個(gè)規(guī)則,當(dāng)zx≠0時(shí),在方程(10)中由P?和PP′前面的系數(shù)可知

(12)

進(jìn)一步可得到

因此,利用規(guī)則3可知

(13)

由規(guī)則5可知

再由規(guī)則5可得到z有如下形式

(14)

顯然,再由式(13)可得

(15)

(16)

由上述規(guī)則2,便可得到

(17)

以及

(18)

(19)

又因?yàn)閦=θ(t)x+σ(t),方程(19)左邊是關(guān)于x的線性函數(shù),因此Г2有如下形式:

比較上述方程兩邊x的系數(shù),可得

(20)

(21)

他們把這個(gè)消息報(bào)告李站長(zhǎng)的時(shí)候，李站長(zhǎng)雖然面上對(duì)放跑木材有些許惱怒，但當(dāng)他看見(jiàn)卡車上粗壯奇秀的我時(shí)，頓時(shí)眉開(kāi)眼笑，深諳當(dāng)下苗木生意行情的他，心想這次搞到了一塊肥肉，沒(méi)收了就是公家的財(cái)物，實(shí)質(zhì)上就是站里的財(cái)物，經(jīng)過(guò)執(zhí)法部門(mén)的拍賣就是合法的買(mǎi)賣，誰(shuí)也說(shuō)不起，看來(lái)上半年的創(chuàng)收任務(wù)有著落了。

因此,得到了非線性耦合DSSH方程的對(duì)稱約化為

(22)

將上述方程(20)～(22)代入方程(1)中,可得

(23)

接下來(lái)考慮方程(23)的不同常數(shù)選取.

a. 當(dāng)A=0時(shí),可得到

式中,c1,c2是任意常數(shù).

DSSH方程的對(duì)稱約化為

(24)

其中,P?+(-6P+B)P′=0的解為橢圓積分,其形式為

(25)

式中,c1,c2是常數(shù).

b. 當(dāng)A≠0時(shí),解方程(20)和(21),分別可得到

式中,c1,c2是常數(shù).

DSSH方程的對(duì)稱約化為

式中,P(z),Q(z)由方程(24)決定.

對(duì)以上CK直接法得到的相似約化作出適當(dāng)?shù)淖儞Q,便能夠得到由經(jīng)典李群變換導(dǎo)出的相似約化.在經(jīng)典李群變換中,若Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota方程通過(guò)如下變換具有不變性,

則群不變量z,P(z)以及Q(z)能夠通過(guò)求解以下特征方程

得到.

在經(jīng)典李對(duì)稱中,群變換等價(jià)于

這里{σu,σv}是Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota方程對(duì)稱方程的解

(26)

下面對(duì)應(yīng)用CK直接法求得的式(22)進(jìn)行群論的解釋[23-24].

實(shí)際上,由已求得的式(14)可得到

即

同樣的方法,由u=θ3P(z),v=θ4Q(z)可得到

即

因此,方程的對(duì)稱約化具有如下形式:

(27)

若假設(shè)

即當(dāng)A≠0時(shí)T=θ3,當(dāng)A=0時(shí)T=1,式(27)求得的σ也是式(26)的解,也即由CK直接法求得的相似約化也可由經(jīng)典李對(duì)稱方法求得.

3 結(jié)論與展望

首先介紹了CK直接法求解偏微分方程的基本思想及具體步驟,并應(yīng)用于Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota方程,得到了方程的對(duì)稱約化以及其相似解.另外,比較了CK直接法和經(jīng)典李群法的約化結(jié)果,可知CK直接法的結(jié)果可以推導(dǎo)出經(jīng)典李群法的結(jié)果,即兩種方法求得的結(jié)果可以互相變換.如何尋找其他類型的偏微分方程的約化結(jié)果也是今后的研究重點(diǎn)之一.

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(編輯:董 偉)

Symmetry Reduction for the Nonlinear Coupled Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota Equation

NIU Lili, HU Hengchun

(CollegeofScience,UniversityofShanghaiforScienceandTechnology,Shanghai200093,China)

The Clarkson-Kruskal direct method was proposed by Clarkson and Kruskal,which is an algebraic method for solving nonlinear partial differential equations.The advantage of this method is that it does not involve group theory operations and complex initial value problems.It can give new similarity solutions of the nonlinear evolution equations which could not be obtained by the classical Lie group method and the nonclassical Lie group method.By using the Clarkson-Kruskal method and corresponding rules,the symmetry reduction and the similarity transformation of the Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota equation were obtained.It is verified that the results by the Clarkson-Kruskal method can be transformed into those by the classical Lie group method.

symmetryreduction;nonlinearcoupledDrinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirotaequation;Clarkson-Kruskaldirectmethod

1007-6735(2017)03-0205-05

10.13255/j.cnki.jusst.2017.03.001

2016-12-19

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11071164,11201302);上海市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10ZR1420800);上海市重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)資助項(xiàng)目(XTKX2012)

牛莉莉(1993-),女,碩士研究生.研究方向:孤立子理論與可積系統(tǒng).E-mail:546174910@qq.com

胡恒春(1976-),女,副教授.研究方向:孤立子理論與可積系統(tǒng).E-mail:hhengchun@163.com

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