基于三視圖形成與投影規(guī)律下的教學(xué)探討

戴杏冰

摘要：三視圖是《高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》增加的內(nèi)容之一，也是近幾年高考的高頻考點，考查方式是給出簡單組合體的三視圖，讓考生還原出幾何體形狀，并計算其表面積、體積或棱長。在學(xué)習(xí)三視圖時，很多學(xué)生缺乏對成像本質(zhì)的認(rèn)識，難以從三視圖聯(lián)象到立體模型。本文從三視圖投影規(guī)律教學(xué)和還原成幾何體的方法出發(fā)，幫助學(xué)生建立空間觀念，讓學(xué)生在解決三視圖問題上做到有跡可循，從而培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維。

關(guān)鍵詞：三視圖 投影規(guī)律

三視圖是近幾年的高考熱點，主要考查學(xué)生由三視圖還原幾何體的能力，考試難度適中。但是，學(xué)生的得分率并不理想。筆者從三視圖投影規(guī)律的教學(xué)和三視圖還原成幾何體的方法人手，幫助學(xué)生解決了三視圖問題，構(gòu)建了空間想象力，提高了學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維介紹。

一、深入原理，分析透徹

1.“投影”教學(xué)不可忽視

在介紹三視圖之前，教材先呈現(xiàn)了投影的概念。由于課時緊張，部分教師會選擇一帶而過，但是投影的概念是學(xué)習(xí)三視圖、三視圖還原成空間幾何體的基礎(chǔ)。如圖1所示，物體在垂直于投影面的一束平行光照射下，在地面或墻壁上投下影子，使得影子與物體的形狀有一定聯(lián)系，我們把這種聯(lián)系進行抽象和優(yōu)化，得到了物體的正投影。觀察圖1可知，投影面的圖形與實物并不一樣，“所見非所實”。在教學(xué)中，筆者拿著一支粉筆，面對學(xué)生從橫方向旋轉(zhuǎn)至豎方向，讓學(xué)生觀察粉筆所成的像：由一條線段逐漸退化成為一個點，讓學(xué)生體會到像與物之間的關(guān)系。這部分知識會直接影響學(xué)生學(xué)習(xí)由三視圖求幾何體體積、表面積。

2.“三視圖投影規(guī)律”教學(xué)過程必不可少

在教學(xué)過程中，教師會把作圖原理編成口訣“長對正、高平齊、寬相等?！睂W(xué)生理解口訣并不困難，但要求學(xué)生做出較復(fù)雜幾何體的三視圖，或由三視圖求幾何體的表面積和體積就不那么容易了。究其原因，是學(xué)生對三視圖成像原理理解不透徹造成的。三視圖主要是體現(xiàn)幾何體在空間中三個維度的相對位置，如由正視圖和側(cè)視圖得到幾何體的相對高度，但對于幾何體的側(cè)面是什么圖形，不能從正視圖和側(cè)視圖直接得到。

例2.（2014年·湖北省高考理科）如圖3所示，空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，一個四面體頂點坐標(biāo)是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）。給出編號為①，②，③，④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（ ）

A.①和② B.③和①

C.④和③ D.④和②

分析：解答本題的難點一是根據(jù)四面體頂點坐標(biāo)在坐標(biāo)系做出四面體直觀圖，利用斜二測畫法體現(xiàn)空間立體感；難點二是由直觀圖過渡到三視圖，利用好“投影幕”，看出點、線、面在投影幕對應(yīng)位置所成像，由點生線，由線生面。

掌握三視圖投影規(guī)律，為三視圖還原為幾何體打下了堅實的基礎(chǔ)。如圖4所示，由直觀圖得出，故答案為選項D。

二、運用規(guī)律，巧妙還原

1.熟練運用簡單幾何體的三視圖

復(fù)雜的幾何體是由簡單幾何體組合而成，復(fù)雜三視圖能分拆出簡單的幾何體，而簡單幾何體構(gòu)造特征可通過制作簡單模型得出。在制作中逐步建立常見幾何體的直觀認(rèn)知，可總結(jié)一些常見模型，如正（長）方體基本構(gòu)造型，棱錐（柱）基本構(gòu)造型，以及各種常見柱、錐、臺體的組合體。掌握基本空間圖形和幾何體的差別和關(guān)聯(lián)，能加深學(xué)生對模型的形象認(rèn)識，提升學(xué)生在解題時對三視圖、直觀圖的想象能力。此外，教師還可以建議學(xué)生多觀察粉筆盒，擺動和旋轉(zhuǎn)粉筆盒，同時思考其三視圖，體會“一物多變”。

2.劃分框線法解決疊加式組合體

顧名思義，劃分框線法就是要劃分圖形、畫框線，即先在三視圖中找出形狀特征比較明顯的視圖，按框線將其幾何體劃分成幾部分，結(jié)合簡單幾何體的三視圖或三視圖作圖原理，想象出它們的形狀，最后根據(jù)整體三視圖確定位置，形成一個整體。

例3.（2013年·新課標(biāo)Ⅰ高考理科）某幾何體的三視圖如圖5所示，則該幾何體的體積為（ ）

A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π

解：①劃分線框。從側(cè)視圖人手，將其幾何體按線框劃分為兩部分，如圖6所示；②對投影，想形狀。從側(cè)視圖開始，分別在正視圖、俯視圖上的對應(yīng)投影找出線框1和線框2，從而想象出每組投影所表示的幾何體分別為長方體和半圓柱，如圖7、圖8所示；③合起來，拼整體。在找出每個部分的幾何體的基礎(chǔ)上，根據(jù)三視圖研究它們的相對位置，進而拼湊成一個整體的幾何體，如圖9所示，并計算出該幾何體的體積為16+8π，故答案為選項A。

3.為簡單三視圖為載體，還原復(fù)雜幾何體

近幾年的高考題中，越來越注意考查學(xué)生三視圖還原原幾何體的能力，除了常見的疊加式組合體之外，還出現(xiàn)了切割形組合體或“不規(guī)則放置”的幾何體。根據(jù)“棱角分明”的三視圖，學(xué)生可以判斷該幾何體是以正方體（或長方體）為載體。在此基礎(chǔ)上還原幾何體，對空間想象能力較弱的學(xué)生還是存在困難，教師可引導(dǎo)學(xué)生運用排除法解決問題。

例4.某幾何體的三視圖，如圖10所示，三視圖是邊長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體的體積為（）。

A.1/6 B.1/3 C.1/2 D.2/3

分析：

第一步，根據(jù)其三視圖可以判斷幾何體以正方體為載體。由等腰直角三角形的正視圖得出，幾何體的頂點不可能在正方體的左下方，所以在正方體左下方的頂點打叉。

第二步，在第一步的基礎(chǔ)上，由左視圖判斷正方體哪些頂點需排除，注意左視圖的等腰直角三角形左上角對應(yīng)的是幾何體的后方，這里假設(shè)了一個投影面在物體的右方就更加直觀了。此時，可排除正方體后下方兩個頂點，斷定正方體的右前方頂點為幾何體的頂點。

第三步，由俯視圖得幾何體在底面的投影有正方形的四個頂點，根據(jù)第一、二步排除剩下的頂點可以進一步正方體上表面正方形的三個頂點。

第四步：正方體還有一個頂點是否在幾何體中還沒確定，根據(jù)俯視圖的對角線判斷是不存在的，將確定的頂點連線，可還原原幾何體為三棱錐，計算該幾何體的體積為1/6，故答案為選項A。

無論在教學(xué)中注意的問題，還是提到的具體方法，對于三視圖而言，更多的是考查學(xué)生的空間想象力，學(xué)生通過平時練習(xí)中的三視圖，不斷培養(yǎng)三維立體感和空間想象力，才能在考場上得心應(yīng)手。