高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用化歸思想的案例分析

覃靜

【摘 要】本文闡明化歸思想的重要性、原則（簡(jiǎn)化原則、轉(zhuǎn)熟原則、直觀(guān)原則）以及方法（配方法、分解法、換元法），通過(guò)相關(guān)的案例進(jìn)行具體的闡述。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 教學(xué)方式 化歸思想 案例分析

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2017）05B-0152-03

作為數(shù)學(xué)教學(xué)的基本思想之一，化歸思想指的是當(dāng)遇到復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)采用轉(zhuǎn)化以及變化的方法，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而解決相關(guān)問(wèn)題?；瘹w思想的本質(zhì)就是將新知識(shí)通過(guò)轉(zhuǎn)化的方式轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎闹R(shí)。

基于此，高中數(shù)學(xué)教師在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中需要加強(qiáng)對(duì)這一教學(xué)方法的應(yīng)用，繼而以此為基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)將未知轉(zhuǎn)化為己知，將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，將新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)的能力。相關(guān)的教學(xué)實(shí)踐顯示，高中生如果掌握化歸思想，那么就能夠更快地提升其解題能力。

一、化歸思想的其中三個(gè)原則

（一）簡(jiǎn)化原則

簡(jiǎn)化原則，是指在進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題解答的過(guò)程中，通過(guò)將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)答的問(wèn)題，以促進(jìn)解題效率的提高。關(guān)于簡(jiǎn)化原則的案例，筆者總結(jié)如下。

以人教版高中數(shù)學(xué)必修 1 中的“函數(shù)值域”一課的教學(xué)為例。在進(jìn)行函數(shù)值域的解答過(guò)程中，由于函數(shù)概念過(guò)于抽象，故而在實(shí)際的解題過(guò)程中難度較大。基于此，就要根據(jù)簡(jiǎn)化原則，借助幾何圖形的概念進(jìn)行解答。

通過(guò)對(duì)題目的分析可以得知：點(diǎn)（2cos x，4sin x）在軌跡方程的橢圓上，故而在進(jìn)行值域求解的過(guò)程中，將其轉(zhuǎn)化為橢圓上的點(diǎn)與點(diǎn)（4，-1）連線(xiàn)的斜率?；诖?，學(xué)生可以借助幾何圖象進(jìn)行相關(guān)的解答，并最終確定值域的范圍為。

〖解〗依題知，點(diǎn)（2cos x，4sin x）在軌跡方程的橢圓上。

因 sin x2+cos x2=1，所以題中所求值域就是橢圓上的點(diǎn)和點(diǎn)（4，-1）連線(xiàn)的斜率。

設(shè)切線(xiàn)方程為 y+1=k（x-4），將其與橢圓聯(lián)立，得判別式為 0，即

4x2+[k（x-4）-1]2=16

（4+k2）x2-（8k2+2k）x+16k2+8k-15=0

[-（8k2+2k）]2-4（4+k2）（16k2+8k-15）=0

12k2+8k-15=0

（2k+3）（6k-5）=0

或

故取值范圍為

（二）轉(zhuǎn)熟原則

所謂的轉(zhuǎn)熟原則指的是在進(jìn)行高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，將陌生的知識(shí)轉(zhuǎn)換為熟悉且已經(jīng)掌握的知識(shí)，從而以此為基礎(chǔ)幫助解答題目。事實(shí)上，數(shù)學(xué)題目盡管類(lèi)型較多，但是其解題方式以及思路都存在著相似性，故而為題型之間的轉(zhuǎn)換提供便利。總體而言，借助轉(zhuǎn)熟原則進(jìn)行相關(guān)作業(yè)的過(guò)程中，確保學(xué)生在遇到陌生的題目時(shí)能夠快速地解決問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)習(xí)效率的提高。

以高中函數(shù)教學(xué)為例，學(xué)生在解答“求解 x”一題的過(guò)程中，雖然三次方的方程式對(duì)于大部分學(xué)生而言存在解答的難度，基于此，為解題的便利性，需要學(xué)生加強(qiáng)對(duì)轉(zhuǎn)熟原則的運(yùn)用，將 x 設(shè)定為己知量，將 a 設(shè)置為，從而將原式轉(zhuǎn)換為求解 a 的二次方程“x3+（1+a）x2-a2=0”，繼而實(shí)現(xiàn)對(duì) x 值的求解。轉(zhuǎn)換完成的方程式可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)為（x-a）3=0，即得 x 的值為。

（三）直觀(guān)原則

在利用直觀(guān)原則進(jìn)行化歸思想教學(xué)的過(guò)程中，需要教師在實(shí)際的操作過(guò)程中加強(qiáng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)形結(jié)合能力的培養(yǎng)，并以此為基礎(chǔ)，確保學(xué)生在實(shí)際的學(xué)習(xí)過(guò)程中能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橹庇^(guān)的圖形問(wèn)題，繼而促進(jìn)相關(guān)問(wèn)題的有序解決。

以高二理科教材選修 2 中定積分的一個(gè)例題為例，計(jì)算下列定積分：

〖分析〗這個(gè)例題被積函數(shù)都是一樣的，可是積分的上限、下限不一樣，通過(guò)計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，可以利用梯形的面積來(lái)表示這幾個(gè)導(dǎo)數(shù)的結(jié)論。

（1）當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸上方時(shí)，定積分的值取正值且等于曲邊梯形的面積；

（2）當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸下方時(shí)，定積分的值取負(fù)值且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)；

（3）當(dāng)位于 x 軸上方的曲邊梯形的面積等于位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時(shí)，定積分的值為 0。

通過(guò)這個(gè)例題使學(xué)生了解定積分的值不一定等于曲邊梯形的面積，但要注意條件，畫(huà)正弦函數(shù)的圖象來(lái)分析就是直觀(guān)原則。

二、化歸方法以及案例分析

（一）配方法

在高中數(shù)學(xué)解題的過(guò)程中，作為常用的解題方法就是配方法。相關(guān)的實(shí)踐顯示：配方法的運(yùn)用能夠進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題的解答，繼而以此促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)效率的提升。

諸如在進(jìn)行題目“已知長(zhǎng)方體的全面積為 11，其 12 條棱的長(zhǎng)度之和為 24，求長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度”解答的過(guò)程中，需要將幾何題目轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式，設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為 x，y，z，則，以此來(lái)求對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng) 。在實(shí)際的求解過(guò)程中，需要借助配方法進(jìn)行具體的解答。

設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為 x，y，z，由已知“長(zhǎng)方體的全面積為 11，其 12 條棱的長(zhǎng)度之和為 24”得

，

由此求得對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度

。

（二）分解法

此外，在借助化歸思想進(jìn)行高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及解題的過(guò)程中，除了需要加強(qiáng)對(duì)配方法的運(yùn)用之外，還需要進(jìn)一步對(duì)分解法的使用。所謂的分解法指的是將題目中所出現(xiàn)的方程式（圖形）進(jìn)行分解，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閹讉€(gè)簡(jiǎn)單的部分，從而促進(jìn)相關(guān)問(wèn)題得到高效解決，促進(jìn)學(xué)習(xí)效率的提高。例如，在進(jìn)行函數(shù)解答的過(guò)程中，學(xué)生往往需要通過(guò)化簡(jiǎn)復(fù)雜的多項(xiàng)式繼而將之轉(zhuǎn)變?yōu)楹侠淼膸讉€(gè)組，然后以此為基礎(chǔ)進(jìn)行解答。

如例題，已知函數(shù) ，其圖象在 x=2 處的切線(xiàn)方程為 3x+2y-11=0。

（1）若函數(shù) f（x）解析式；

（2）若函數(shù) y=f（x）的圖象與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍。

（三）換元法

在借助化歸思想進(jìn)行高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，還需要教師加強(qiáng)對(duì)換元法的運(yùn)用，從而以此為基礎(chǔ)將形式較復(fù)雜的方程、不等式、函數(shù)轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單且操作便捷的基本問(wèn)題。這種方法又被稱(chēng)之為“局部換元法”。其思想內(nèi)涵指的是將未知的式子看作一個(gè)整體，用一個(gè)變量去替代，最終由此促進(jìn)題目得到有效解答，促進(jìn)教學(xué)任務(wù)的有效開(kāi)展。

比如在解答“若 ，則 tanα 的值為多少？”一題的過(guò)程中，需要學(xué)生將 x 和 y 分別取代 cosα 和sinα，將上述的方式轉(zhuǎn)換為 。再依據(jù)三角函數(shù)性質(zhì) ，推算出 x2+y2=1。然后將上述的方程進(jìn)行聯(lián)立從而求出二元二次方程的解，最終解答出 tanα=2。該題目的解題過(guò)程如下。

隨著新課標(biāo)改革的不斷推進(jìn)以及教學(xué)事業(yè)的發(fā)展，我國(guó)的高中數(shù)學(xué)課程在教學(xué)方式以及教學(xué)理念方面出現(xiàn)了不同程度的變革。在這樣的背景之下，為了進(jìn)一步促進(jìn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的有效開(kāi)展，需要教學(xué)者在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中加強(qiáng)對(duì)化歸思想的運(yùn)用，繼而促進(jìn)教學(xué)效果的提升，推動(dòng)教學(xué)任務(wù)的完成。本文基于此，探討了化歸思想及其重要性、化歸思想的原則（簡(jiǎn)化原則、轉(zhuǎn)熟原則、直觀(guān)原則）以及化歸思想的方法（配方法、分解法、換元法），并通過(guò)相關(guān)的案例進(jìn)行具體的解答，希望能以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)步。

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（責(zé)編 盧建龍）