Chebfun系統(tǒng)下對(duì)《數(shù)值分析》課程教學(xué)的新認(rèn)識(shí)

馬俊杰+劉惠籃+何清龍

摘 要：《數(shù)值分析》是介紹科學(xué)計(jì)算方法的基礎(chǔ)性課程，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)計(jì)算素質(zhì)起關(guān)鍵性作用。針對(duì)《數(shù)值分析》課程教學(xué)的幾個(gè)問題，本文在新古典主義數(shù)值分析角度下探討了本課程的改革措施。

關(guān)鍵詞：數(shù)值分析 教學(xué)改革 教學(xué)內(nèi)容 教學(xué)方法

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-1578（2017）06-0023-02

1 引言

《數(shù)值分析》是計(jì)算數(shù)學(xué)方向的基礎(chǔ)課程，是教授針對(duì)實(shí)際問題設(shè)計(jì)數(shù)值算法的一門課程。這門課程主要研究數(shù)值逼近問題、數(shù)值積分問題、微分方程數(shù)值解問題以及線性方程組數(shù)值解問題等，是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)、信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課，也是統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)必修的專業(yè)課之一。《數(shù)值分析》課程具有集數(shù)學(xué)理論與程序設(shè)計(jì)于一身的特點(diǎn)。在實(shí)際教學(xué)中，教師既需要以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)性傳遞給學(xué)生基本數(shù)學(xué)知識(shí)，又要教授學(xué)生在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)算法的能力。

2 課程發(fā)展現(xiàn)狀

我國電子計(jì)算機(jī)的應(yīng)用始于上世紀(jì)50年代，為了滿足其對(duì)高素質(zhì)科學(xué)計(jì)算人才的需求，國內(nèi)大學(xué)相繼開設(shè)了數(shù)值計(jì)算方法、程序設(shè)計(jì)等課程。1977年10月的教材會(huì)議上，計(jì)算數(shù)學(xué)的專業(yè)基礎(chǔ)課被劃分為三個(gè)方向，即數(shù)值逼近、數(shù)值代數(shù)以及微分方程數(shù)值解。分別采用李岳生和黃友謙編寫的《數(shù)值逼

近》[1]，黃志浩、張玉德和李瑞遐編寫的《矩陣計(jì)算與方程求根》[2]以及李榮華和馮果忱編寫的《微分方程數(shù)值解法》[3]作為教材。之后，計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)經(jīng)歷了兩次改名，分別是1987年更名為計(jì)算數(shù)學(xué)及其應(yīng)用軟件專業(yè)，1998年更名為目前的信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)。從這兩次的更名可以看出計(jì)算數(shù)學(xué)的專家學(xué)者已經(jīng)深刻意識(shí)到，計(jì)算數(shù)學(xué)既是一門數(shù)學(xué)科學(xué)又是一門語言科學(xué)。在更名為信息與計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)后，計(jì)算方法課程在原先三門課的基礎(chǔ)上更名為《數(shù)值分析》。其內(nèi)容包括之前的數(shù)值逼近、數(shù)值代數(shù)以及微分方程數(shù)值解三個(gè)部分。

當(dāng)代學(xué)者一般認(rèn)為，《數(shù)值分析》課程存在課程教學(xué)內(nèi)容多、教學(xué)學(xué)時(shí)少，教學(xué)過程中重視理論、忽視應(yīng)用，教學(xué)過程中缺少“可視化”過程，課程考核方式不合理等問題[4]。針對(duì)這些問題，現(xiàn)有文獻(xiàn)給出了許多改革建議。例如，李小林認(rèn)為本課程的實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)可分為兩方面的內(nèi)容[5]。一方面讓學(xué)生對(duì)典型的算法進(jìn)行學(xué)習(xí)，另一方面在課程結(jié)束后，讓學(xué)生分組完成一些綜合性課題。針對(duì)地質(zhì)工程數(shù)值法的教學(xué)問題，黃雨和劉鋮瑋提出目前教材的教學(xué)內(nèi)容更新慢，且過于繁瑣。在實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)該注重因材施教，靈活調(diào)整教學(xué)重點(diǎn)[6]。劉秀娟，李久會(huì)和徐美進(jìn)指出本課程的考核方式應(yīng)趨于科學(xué)化、合理化。總評(píng)成績(jī)應(yīng)包含平時(shí)成績(jī)、上機(jī)成績(jī)和期末成績(jī)。其中平時(shí)成績(jī)主要考核學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度，上機(jī)成績(jī)主要考察學(xué)生上機(jī)解決問題的能力，而期末成績(jī)主要考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解[7]。下面，我們將以Chebfun系統(tǒng)為基礎(chǔ)，探討《數(shù)值分析》課程改革的新方向。

3 教學(xué)改革建議

Chebfun系統(tǒng)是牛津大學(xué)的Nick Trefethen教授在Matlab環(huán)境下開發(fā)出的可供計(jì)算數(shù)學(xué)科研人員與教學(xué)人員使用的工具箱。

3.1 課程內(nèi)容多，教學(xué)課時(shí)少

由于本課程涵蓋的內(nèi)容廣泛，包括微積分、線性代數(shù)、常微分方程、泛函分析等，學(xué)生必須在具有牢固的基礎(chǔ)上才能學(xué)好本課程。為了解決這一問題，授課教師可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況選擇合適的教材，或者自行編寫適合本學(xué)校的教材。這不僅可以提高教學(xué)效率，而且可以提高學(xué)生對(duì)本課程的興趣。Nick Trefethen教授在開發(fā)Chebfun系統(tǒng)的同時(shí)編著了相關(guān)指導(dǎo)書《Approximation Theory and Approximation Practice》[8]。全書并無一處復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，卻將計(jì)算數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)講的清清楚楚，是這種教學(xué)方式的成功典范。

3.2 教學(xué)過程重視理論、忽視應(yīng)用

計(jì)算數(shù)學(xué)是一門來源于現(xiàn)實(shí)問題的學(xué)問，在其教學(xué)過程忽視學(xué)生實(shí)際動(dòng)手能力的培養(yǎng)無疑是一種舍本逐末的教學(xué)方式。但是，由于實(shí)際問題的復(fù)雜性，高校教師很難將這些問題改造為可供本科生操作的問題。這一矛盾可以借助Chebfun系統(tǒng)提供的簡(jiǎn)潔算例得到解決。下面的代碼給出了Bernstein多項(xiàng)式的構(gòu)造方法：

function BernsteinPolys（）

LW = 'linewidth'； lw = 1.6；

s = chebfun（'s'，[0 1]）；

f = min（abs（s-.3），2*abs（s-.7））；

f = s + max（0，1-5*f）；

hold off， plot（f，LW，lw）

function Bn = Bn（f，n）

warning off

x = chebpts（n+1，[0 1]）；

Bndata = zeros（size（x））；

for k = 0：n

Bndata=Bndata+f（k/n）*nchoosek（n，k）.*x.^k.*（1-x）.^（n-k）；

end

Bn = chebfun（Bndata，[0 1]）；

warning on

end

end

通過講解這段代碼，可以在將最佳一致逼近問題教授給學(xué)生的同時(shí)，也可以使學(xué)生熟悉Matlab語言，進(jìn)一步加強(qiáng)實(shí)際動(dòng)手能力。在實(shí)際教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)這種教學(xué)方式提高了學(xué)生的主觀能動(dòng)性，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對(duì)教學(xué)效果的提升有很大幫助。

3.3 教學(xué)過程中缺少“可視化”過程

使用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的一般過程包括：實(shí)際問題、數(shù)學(xué)建模、算法設(shè)計(jì)、算法實(shí)現(xiàn)、數(shù)值結(jié)果。如果只讓學(xué)生被動(dòng)的記憶這個(gè)過程，無疑會(huì)對(duì)教學(xué)效果產(chǎn)生負(fù)面效果。因此，在整個(gè)過程中，通過引入圖像的方式加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)值分析基本定理的理解是十分重要的教學(xué)手段。在Chebfun系統(tǒng)中，開發(fā)者基于新古典主義數(shù)值逼近的新進(jìn)展設(shè)計(jì)了許多此類算例?？紤]整函數(shù)的Chebyshev插值問題。對(duì)于[-1，1]上的函數(shù)f，其n次插值多項(xiàng)式pn的逼近精度以O(shè)（ρ-n）的速度收斂，這里的ρ函數(shù)f的解析半徑。以指數(shù)函數(shù)f（x）=ex為例， 在Matlab環(huán)境下可以計(jì)算其解析半徑如下圖：

通過數(shù)值結(jié)果，學(xué)生可以很明確的看到Chebyshev插值多項(xiàng)式的指數(shù)收斂性質(zhì)。

4 結(jié)語

《數(shù)值分析》是高等學(xué)校信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程。本文以新古典主義數(shù)值分析的角度，通過分析本課程面臨的一些問題，提出了《數(shù)值分析》課程教學(xué)的新方式。但是，值得注意的是教學(xué)改革是一項(xiàng)長(zhǎng)期任務(wù)。在以后的教學(xué)過程中，我們?nèi)孕枰谛乱暯窍逻x擇合適的教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)新教學(xué)手段，總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，不斷提高教學(xué)水平。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李岳生，黃友謙.數(shù)值逼近[M].北京：人民教育出版社，1978.

[2] 黃志浩，張玉德，李瑞遐.矩陣計(jì)算與方程求根[M].北京： 人民教育出版社， 1979.

[3] 李榮華，馮果忱. 微分方程數(shù)值解法[M].北京： 高等教育出版社，1980.

[4] 杜廷松.關(guān)于《數(shù)值分析》課程教學(xué)改革研究的綜述和思考[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2007； 23（2）：8-15.

[5] 李小林.關(guān)于數(shù)值計(jì)算方法課程教學(xué)改革的探討[J].重慶文理學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010； 29（2）：85-87.

[6] 黃雨，劉鋮瑋.工程數(shù)值法教學(xué)改革研究—以“地質(zhì)工程數(shù)值法”為例[J].高等建筑教育，2013； 22（4）：81-84.

[7] 劉秀娟，李久會(huì)，徐美進(jìn).信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)數(shù)值分析課程實(shí)踐教學(xué)改革[J].遼寧工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），2014，16（4）：83-86.

[8] N.Trefethen. Approximation Theory and Approximation Practice [M]. Philadelphia： SIAM， 2013.

作者簡(jiǎn)介：馬俊杰（1986-），貴州貴陽人，男，博士，貴州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，研究方向：計(jì)算數(shù)學(xué)。

劉惠籃（1988-），貴州貴陽人，女，博士，貴州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，研究方向：統(tǒng)計(jì)建模。

何清龍（1987-），貴州貴陽人，男，博士，貴州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，研究方向：計(jì)算數(shù)學(xué)。