基于非線性破壞準(zhǔn)則的地基臨界荷載計(jì)算

歐陽(yáng)志，鞠興華

(陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西渭南 714099)

基于非線性破壞準(zhǔn)則的地基臨界荷載計(jì)算

歐陽(yáng)志，鞠興華

(陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西渭南 714099)

為計(jì)算基于非線性Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則影響下的條形基礎(chǔ)地基臨界荷載，通過(guò)“切線法”引入變量ct和φt，根據(jù)地基土體的極限平衡條件建立地基中任意一點(diǎn)處的應(yīng)力平衡方程，給出了地基臨界荷載p1/4的迭代計(jì)算方法，并結(jié)合算例計(jì)算分析了強(qiáng)度參數(shù)σt，c0和基礎(chǔ)埋深d取不同值時(shí)非線性參數(shù)m對(duì)地基臨界荷載的影響。結(jié)果表明，非線性破壞準(zhǔn)則對(duì)地基臨界荷載和塑性區(qū)的位置有重要影響；引入非線性破壞準(zhǔn)則會(huì)明顯減小臨界荷載的計(jì)算值，并且zmax=b/4時(shí)的地基塑性變形區(qū)域更靠近于基礎(chǔ)內(nèi)側(cè)。引入非線性破壞準(zhǔn)則更符合地基實(shí)際，可更準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)承載力的大小。

地基基礎(chǔ)工程；非線性破壞準(zhǔn)則；條形基礎(chǔ)；臨界荷載；塑性區(qū)最低點(diǎn)位置；迭代法

地基臨界荷載作為中國(guó)常用的地基承載力計(jì)算參數(shù)，一直以來(lái)都備受學(xué)術(shù)界和工程界關(guān)注。實(shí)踐表明，在保證建筑物安全使用的情況下，是可以允許地基自基底以下一定深度范圍內(nèi)出現(xiàn)塑性區(qū)的[1]。地基中的塑性區(qū)首先從基底兩側(cè)的邊緣處產(chǎn)生，然后分別向兩側(cè)和壓密土楔頂點(diǎn)的方向發(fā)展，倘若基底以下塑性區(qū)的最大開(kāi)展深度zmax達(dá)到基礎(chǔ)寬度b的1/4時(shí)，對(duì)應(yīng)的地基底部附加應(yīng)力即為地基臨界荷載p1/4。

在一般的土力學(xué)教材和資料上，地基臨界荷載均是假定在k0=1.0和線性的Mohr-Coulomb強(qiáng)度條件下得到的，這與實(shí)際情況不符。假定k0=1.0是將地基中的自重應(yīng)力視為靜水壓力狀態(tài)，是對(duì)天然地基的人為加固，因此會(huì)過(guò)高估計(jì)地基的承載能力[2]；而土體發(fā)生剪切破壞時(shí)的大、小主應(yīng)力通常情況下也為非線性的關(guān)系，線性關(guān)系僅僅是其中的一個(gè)特例[3]。文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[4—6]基于不同的彈性理論在假定k0≠1的條件下對(duì)地基臨界荷載進(jìn)行了研究，但是都沒(méi)有考慮地基土發(fā)生剪切時(shí)，大、小主應(yīng)力非線性關(guān)系的影響。文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[7]研究了非線性破壞準(zhǔn)則與巖土材料地基承載力的關(guān)系。文獻(xiàn)[8]基于二次型Mohr包絡(luò)線對(duì)地基中塑性區(qū)的發(fā)展規(guī)律進(jìn)行了研究。但關(guān)于非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則對(duì)地基臨界荷載的影響規(guī)律，目前還未發(fā)現(xiàn)有研究。因此，本文根據(jù)非線性Mohr-Coulomb準(zhǔn)則的“切線法”表達(dá)式[9-10]，建立地基中任意一點(diǎn)的應(yīng)力平衡式，然后結(jié)合算例，對(duì)非線性破壞準(zhǔn)則影響下地基臨界荷載變化規(guī)律進(jìn)行研究。

1 非線性Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則

在一般的土力學(xué)研究中，土體的剪切破壞大多假定服從線性的Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則(以下簡(jiǎn)稱“MC準(zhǔn)則”)。然而，大量的工程實(shí)踐和實(shí)驗(yàn)研究表明[11-13]，在軟弱圍巖，尤其在土中，材料剪切破壞時(shí)的大、小主應(yīng)力為非線性的關(guān)系，非線性關(guān)系表達(dá)式可用式(1)表示。式(1)通常被稱為Power-Law準(zhǔn)則，也稱非線性MC破壞準(zhǔn)則。

τ=c0(1+σn/σt)1/m，

(1)

式中：c0表示Mohr包絡(luò)線與縱軸的截距；c0，σt均為巖土材料與剪切有關(guān)的參數(shù)。m決定了Mohr包絡(luò)線的彎曲程度，當(dāng)m=1.0時(shí)，式(1)表示線性的MC準(zhǔn)則，c0和φ0=arctan(c0/σt)分別表示地基土的黏聚力和內(nèi)摩擦角。但為保證曲線的外凸性，一般要求m>1.0。

將式(1)在坐標(biāo)系中繪制曲線，如圖1所示。

圖1 非線性破壞準(zhǔn)則曲線的切線Fig.1 Tangential line of envelop of nonlinear failure criterion

在圖1所示的曲線型Mohr包絡(luò)線上，任一點(diǎn)P處的切線方程可用式(2)表示。

τ=c1+σntanφt，

(2)

式中：ct，tanφt分別為圖1中切線的截距和斜率。以φt為變量，ct，tanφt可表示為

(3)

(4)

式(3)、式(4)中，σn表示該切點(diǎn)處的正應(yīng)力?？梢钥闯觯林心滁c(diǎn)處對(duì)應(yīng)的抗剪強(qiáng)度與該點(diǎn)的正應(yīng)力有關(guān)。因此，對(duì)于實(shí)際計(jì)算，應(yīng)首先確定破壞面處某點(diǎn)的正應(yīng)力σn，再由式(3)、式(4)可求出該點(diǎn)對(duì)應(yīng)非線性MC破壞準(zhǔn)則的ct，φt值。

下面用式(2)所示的Mohr包絡(luò)線切線方程，來(lái)推導(dǎo)地基在條形受載時(shí)土中任一點(diǎn)處的應(yīng)力平衡方程，進(jìn)而對(duì)非線性參數(shù)m不同取值條件下的地基臨界荷載變化規(guī)律進(jìn)行研究。

2 基于非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則的臨界荷載計(jì)算方法

如圖2所示，假設(shè)條形基礎(chǔ)的寬度為b，埋深為d，均布的基底附加應(yīng)力為p0=p-γ0d。基礎(chǔ)底面的接觸壓力為p，地基土的重度為γ0，土的靜止側(cè)壓力系數(shù)為k0。借鑒前人的研究結(jié)果[2]，可知基底以下地基中M點(diǎn)處的總應(yīng)力表達(dá)式為

(5)

式中：β=β1-β2；ψ=β1+β2；pm為考慮非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則時(shí)的基底附加應(yīng)力。

圖2 條形均布荷載下地基內(nèi)任一點(diǎn)總應(yīng)力Fig.2 Total stress in ground under strip uniform distributed load

根據(jù)材料力學(xué)知識(shí)，可得M點(diǎn)處的大、小主應(yīng)力為

(6)

g1(pm)±g2(pm)。

(7)

式中：

根據(jù)非線性MC準(zhǔn)則，土體的極限平衡條件可表示為

(8)

將式(7)代入式(8)，整理后可得

(9)

又由式(4)可得

g1(pm)-g2(pm)sinφt。

(10)

結(jié)合式(7)，對(duì)式(10)進(jìn)行變換，可得

tanφt=

(11)

將pm代入式(11)，即可將式(11)轉(zhuǎn)化為僅含有φt的一元方程表達(dá)式，由于一般的解析方法難以求解該方程，因此本文采用迭代法對(duì)φt進(jìn)行計(jì)算。令

(12)

即可得到關(guān)于φt的一般迭代法表達(dá)式

(13)

迭代方法采用依次不斷增大m值，不斷更新迭代初始點(diǎn)的多次反復(fù)迭代，具體步驟如下。

對(duì)于給定的β，先假定m=1.1，在φn=φ0(φ0為基于線性MC準(zhǔn)則時(shí)的地基土內(nèi)摩擦角)處對(duì)式(13)開(kāi)始進(jìn)行迭代，當(dāng)|φn+1-φn|≤10-4時(shí)，迭代停止，求出φm1和pm1；然后假定m=1.2，在φn=φm1處對(duì)式(13)進(jìn)行迭代，當(dāng)|φn+1-φn|≤10-4時(shí)，迭代停止，求出φm2和pm2；接下來(lái)每次對(duì)m增加0.1，在上一級(jí)m值條件求出的φm(n)處對(duì)式(13)進(jìn)行迭代，然后再求出新的φm(n+1)和pm(n+1)，如此循環(huán)，直至求出給定m值時(shí)的φmt和pmt。

假定z=b/4，用β=arctan[(4x+4b)/b]-arctan[4x/b]替換式(9)中的β。由于基礎(chǔ)兩邊的塑性區(qū)是對(duì)稱的，故取基底以下地基的右半邊考慮，令x在(-0.5b，0.5b)上以0.01b的等差取值，利用上述迭代方法求出各x坐標(biāo)處的pm值，取其中的最小值作為此時(shí)地基的臨界荷載p1/4。

3 非線性破壞準(zhǔn)則對(duì)地基臨界荷載的影響

3.1 基于非線性破壞準(zhǔn)則的地基臨界荷載計(jì)算值

算例1：有一個(gè)條形基礎(chǔ)，寬b=4 m，地基土的重度γ0=γ=19 kN/m3，基礎(chǔ)埋深d=3 m，地基土為一般黏性土，c0=30 kPa，σt=92.33 kPa，即當(dāng)m=1時(shí)，φ0=18°，靜止側(cè)壓力系數(shù)k0分別取1.0和1-sinφt[15]，非線性強(qiáng)度參數(shù)m在1.0～2.8上以0.2的等差取值，利用上述迭代方法分別計(jì)算m，k0在不同組合情況下的地基臨界荷載p1/4和此時(shí)的臨界夾角β，所得結(jié)果如圖3、圖4所示。

如圖3所示，當(dāng)k0一定時(shí)，p1/4隨m增大而減小，且隨著m的增大，p1/4剛開(kāi)始減小得較快，之后越來(lái)越慢，此結(jié)論與文獻(xiàn)[3]得到的地基極限承載力變化規(guī)律一致。結(jié)合圖1可知，m的增大使得Mohr包絡(luò)線呈非線性程度的增加，Mohr包絡(luò)線向下彎曲，土體剪切破壞時(shí)的σ1-σ3減小，從而降低地基的承載能力；當(dāng)m=1.8時(shí)，地基承載力分別降低了37.2%和30.6%，即采用非線性破壞準(zhǔn)則對(duì)地基臨界荷載的計(jì)算值有重要影響。

圖3 不同k0值時(shí)p1/4與m的關(guān)系Fig.3 Relationship between critical load p1/4 and m under different coefficient k0

另外，從圖3中還可看出，當(dāng)m一定，k0=1.0時(shí)的p1/4計(jì)算值大于k0=1-sinφt的值，且兩者之間的差值隨m的增大而減小，結(jié)合式(5)可知，k0的減小將必然導(dǎo)致主應(yīng)力關(guān)系式σ1+σ3的增大和σ1-σ3的減小，根據(jù)Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則，在其他條件不變的情況下，σ1+σ3的增大和σ1-σ3的減小均可使土體更容易發(fā)生剪切，以致于降低地基的承載力。當(dāng)m=1.0時(shí)，本文所得結(jié)果與文獻(xiàn)[2]方法得到的結(jié)果相等，也驗(yàn)證了本文方法的正確性。

由圖4可知，臨界夾角β隨m的增大而增大，即圖2中的x值不斷減小。說(shuō)明當(dāng)基底應(yīng)力達(dá)到臨界荷載p1/4時(shí)，與以往所得結(jié)果β=π/2-φ0相比，隨著Mohr包絡(luò)線非線性參數(shù)m的增大，地基中塑性區(qū)最低點(diǎn)的位置將發(fā)生朝向基礎(chǔ)內(nèi)側(cè)的方向移動(dòng)，并且隨著m的不斷增大，塑性區(qū)最低點(diǎn)位置剛開(kāi)始移動(dòng)的較多，之后越來(lái)越少。由此可見(jiàn)，當(dāng)考慮地基土的非線性破壞影響時(shí)，zmax=b/4時(shí)的地基塑性變形區(qū)域?qū)⒏拷A(chǔ)的內(nèi)側(cè)，非線性破壞準(zhǔn)則對(duì)地基塑性區(qū)的位置有重要影響。

圖4 不同k0值時(shí)β與m的關(guān)系Fig. 4 Relationship between critical angle β and m under different coefficient of k0

3.2 參數(shù)敏感性分析

1)參數(shù)φ0取不同值時(shí)非線性參數(shù)m對(duì)p1/4和β的影響

參數(shù)σt值取為285.43，141.14，92.33，67.38，51.96 kPa，分別對(duì)應(yīng)當(dāng)m=1時(shí)，φ0為6°，12°，18°，24°和30°，k0取1-sinφt，其他參數(shù)取值同算例1。用上述迭代方法分別計(jì)算φ0，m在不同組合條件下的地基臨界荷載p1/4和此時(shí)的臨界夾角β，計(jì)算結(jié)果如圖5—圖7所示。

圖5 不同φ0值時(shí)p1/4與m的關(guān)系Fig.5 Relationships between critical load p1/4 and m under different internal friction angle φ0

圖6 不同m值時(shí)p1/4與φ0的關(guān)系Fig.6 Relationships between critical load p1/4 and internal friction angle φ0 under different m

圖7 不同φ0值時(shí)β與m的關(guān)系Fig.7 Relationships between critical angle β and m under different internal friction angle φ0

如圖5所示，不同φ0條件下計(jì)算所得臨界荷載p1/4均隨m的增大而減小，并且其減小的速度均為剛開(kāi)始較快，之后越來(lái)越慢。另外，φ0較大(或σt較小)時(shí)的p1/4減小速度明顯大于φ0較小(或σt較大)時(shí)的，當(dāng)φ0≤12°(或σt≥141.14 kPa)，m≥2.0時(shí)，曲線的變化規(guī)律幾乎水平，臨界荷載p1/4也近似為恒定值。當(dāng)m從1.0增大到2.8時(shí)，φ0越大(或σt越小)，地基臨界荷載降低的越多，說(shuō)明當(dāng)其他參數(shù)不變時(shí)，地基土的φ0越大，非線性參數(shù)m對(duì)地基臨界荷載p1/4的影響越大。

從圖6中可以看出，當(dāng)m=1.0時(shí)，臨界荷載p1/4隨φ0的增加呈非線性增加的規(guī)律，與前人方法所得結(jié)果一致[2]；但隨著非線性參數(shù)m的不斷增加，p1/4隨φ0的變化規(guī)律逐漸由非線性增加的曲線轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性增加的直線，且p1/4與φ0關(guān)系曲線的斜率也不斷減小，說(shuō)明Mohr包絡(luò)線的非線性參數(shù)m越大，臨界荷載p1/4隨φ0增大的越緩慢。

如圖7所示，不同φ0條件下計(jì)算所得臨界夾角β均隨m的增大而增大，其增加的速度均為開(kāi)始較快，之后越來(lái)越慢。而且φ0較大(或σt較小)時(shí)的β值增加速度要大于φ0較小(或σt較大)時(shí)的，說(shuō)明地基土的φ0越大(或σt越小)，非線性參數(shù)m對(duì)地基塑性區(qū)最低點(diǎn)位置的影響越大，對(duì)zmax=b/4時(shí)地基發(fā)生塑性變形的區(qū)域位置影響越大。

2) 參數(shù)c0取不同值時(shí)非線性參數(shù)m對(duì)p1/4和β的影響

c0取為10，20，30，40和50 kPa，k0=1-sinφt，其他參數(shù)取值同算例1。用上述迭代方法分別計(jì)算不同c0，m組合時(shí)的臨界荷載p1/4和此時(shí)的臨界夾角β，計(jì)算結(jié)果如圖8、圖9所示。

圖8 不同c0值時(shí)p1/4與m的關(guān)系Fig.8 Relationships between critical load p1/4 and m under different cohesive force c0

圖9 不同c0值時(shí)β與m的關(guān)系Fig.9 Relationships between critical angle β and m under different cohesive force c0

如圖8所示，在不同的c0條件下計(jì)算所得p1/4均隨m的增大而減小，其減小的速度也均為剛開(kāi)始較快，之后越來(lái)越慢。在不同的c0條件下，p1/4隨m的變化規(guī)律幾乎相同，說(shuō)明當(dāng)其他參數(shù)一定時(shí)，無(wú)論地基土的c0有多大，Mohr包絡(luò)線的非線性參數(shù)m對(duì)地基臨界荷載p1/4的影響規(guī)律都不變。另外，當(dāng)m值一定時(shí)，所得p1/4隨c0的變化規(guī)律均為線性地增加，且對(duì)于不同的m值，p1/4隨c0增大的單位增量幾乎相同，說(shuō)明非線性參數(shù)m的變化并不影響p1/4與c0的關(guān)系。

如圖9所示，不同σt值條件下計(jì)算所得臨界夾角β均隨m的增大而增大，其增加的速度均為剛開(kāi)始較快，后來(lái)越來(lái)越慢。不同c0條件下的β與m關(guān)系曲線都近乎重合，說(shuō)明當(dāng)其他參數(shù)一定時(shí)，無(wú)論地基土的c0有多大，非線性參數(shù)m對(duì)地基中塑性區(qū)最低點(diǎn)位置的影響規(guī)律都不變。

3) 埋深d取不同值時(shí)非線性參數(shù)m對(duì)p1/4和β的影響

埋深d值取為1，2，3，4和5 m，k0=1-sinφt，其他參數(shù)取值同算例1。用上述迭代方法分別計(jì)算不同d，m組合時(shí)的臨界荷載p1/4和此時(shí)的臨界夾角β，計(jì)算結(jié)果如圖10、圖11所示。

如圖10所示，不同基礎(chǔ)埋深d條件下計(jì)算所得p1/4均隨m的增大而減小，其減小的速度也均為剛開(kāi)始較快，后來(lái)越來(lái)越慢。不同d條件下所得p1/4隨m的變化規(guī)律幾乎相同，說(shuō)明當(dāng)其他參數(shù)一定時(shí)，無(wú)論d有多大，非線性參數(shù)m對(duì)地基臨界荷載p1/4的影響規(guī)律都不變。另外，當(dāng)m值一定時(shí)，所得p1/4隨d的變化規(guī)律均為線性地增加，且對(duì)于不同的m值，p1/4隨d增大的單位增量幾乎相同，說(shuō)明Mohr包絡(luò)線的非線性參數(shù)m的變化并不影響p1/4與d的關(guān)系。

圖10 不同基礎(chǔ)埋深時(shí)p1/4與m的關(guān)系Fig.10 Relationships between critical load p1/4 and m under different load embedded depth

如圖11所示，不同埋深d條件下計(jì)算所得β均隨m的增大而增大，其增加的速度剛開(kāi)始較快，后來(lái)越來(lái)越慢；不同d值條件下的 β與m關(guān)系曲線也都近乎重合，說(shuō)明當(dāng)其他參數(shù)一定時(shí)，無(wú)論d有多大，非線性參數(shù)m對(duì)地基中塑性區(qū)最低點(diǎn)位置的影響規(guī)律都不變。

圖11 不同基礎(chǔ)埋深時(shí)β與m的關(guān)系Fig.11 Relationships between critical angle β and m under different load embedded depth

4 結(jié) 論

1)非線性破壞準(zhǔn)則對(duì)地基臨界荷載和塑性區(qū)的位置有重要影響。

2)與采用線性破壞準(zhǔn)則相比，引入非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則會(huì)明顯減小地基臨界荷載p1/4的計(jì)算值，并且zmax=b/4時(shí)地基中塑性變形區(qū)域?qū)⒏拷诨A(chǔ)的內(nèi)側(cè)。

3)p1/4隨非線性參數(shù)m增大而減小，并且隨著m的增大，p1/4剛開(kāi)始減小的較快，之后越來(lái)越慢；地基中塑性區(qū)最低點(diǎn)位置也隨m的增大，剛開(kāi)始移動(dòng)的較多，之后越來(lái)越少。

4)強(qiáng)度參數(shù)φ0越大，非線性參數(shù)m的變化對(duì)p1/4的影響越顯著，并且m越大，p1/4與φ0關(guān)系曲線的斜率越小。但無(wú)論基礎(chǔ)埋深d和強(qiáng)度參數(shù)c0有多大，參數(shù)m對(duì)p1/4的影響規(guī)律都幾乎不變；無(wú)論m有多大，p1/4隨c0或p1/4隨d的變化規(guī)律都不變。

5)φ0越大，非線性參數(shù)m的變化對(duì)zmax=b/4時(shí)地基塑性區(qū)的位置影響越顯著；但無(wú)論c0，d取多大，參數(shù)m對(duì)此時(shí)地基塑性區(qū)位置的影響規(guī)律都不變。

6)本文論證分析的不足之處是沒(méi)有具體的工程實(shí)例，且缺少實(shí)測(cè)結(jié)果資料用于驗(yàn)證。在以后的研究中將應(yīng)用本文方法求得的地基承載力特征值與承載力測(cè)試結(jié)果對(duì)比分析，驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果，進(jìn)一步完善理論分析方法。

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Critical load calculation of foundation based on nonlinear failure criterion

OUYANG Zhi, JU Xinghua

(Shanxi Railway Institute, Weinan, Shanxi 714099, China)

In order to calculate the critical load of strip footing under a nonlinear Mohr-Coulomb failure criterion, the variablesctandφtare created by a generalized tangential technique, the equilibrium equation of total stress at any point in the foundation is established according to the limit equilibrium condition of subsoil, and a iterative calculation method of critical loadp1/4of the foundation is presented. Through an sample, the effect of differentmon the critical load of the foundation when the strength parametersσt,c0and footing embedded depth d take different values is calculated. The results show that nonlinear failure criterion has important influence on the critical load and the location of plastic zone in the foundation. Using nonlinear Mohr-Coulomb failure criterion could decrease the calculated value of the critical load, and the location of plastic zone of the foundation is closer to the center line whenzmax=b/4.Theintroductionofnonlinearfailurecriterioncanbetterconformtothefoundationrealityandaccuratelyevaluatethebearingcapacity.

groundfoundationengineering;nonlinearfailurecriterion;stripfooting;criticalload;positionoflowestpointatplasticzone;iterativemethod

1008-1534(2017)04-0259-06

2017-04-25;

2017-05-25；責(zé)任編輯：馮 民

陜西省教育廳科研項(xiàng)目(15JK1169)

歐陽(yáng)志(1983—)，男，陜西渭南人，講師，碩士，主要從事道路路基病害防治方面的研究。

E-mail:ouyangzhi.good@163.com

TU443

A

10.7535/hbgykj.2017yx04005

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