基于分塊對角矩陣的二維壓縮感知數(shù)據(jù)采集和重構(gòu)方法

程 濤

(1.深圳大學(xué)光電子器件與系統(tǒng)重點實驗室，廣東 深圳 518060； 2.廣西科技大學(xué)汽車與交通學(xué)院，廣西 柳州 545006； 3.深圳生物醫(yī)學(xué)光學(xué)微納檢測與成像重點實驗室，廣東 深圳 518060)

基于分塊對角矩陣的二維壓縮感知數(shù)據(jù)采集和重構(gòu)方法

程 濤1,2,3

(1.深圳大學(xué)光電子器件與系統(tǒng)重點實驗室，廣東 深圳 518060； 2.廣西科技大學(xué)汽車與交通學(xué)院，廣西 柳州 545006； 3.深圳生物醫(yī)學(xué)光學(xué)微納檢測與成像重點實驗室，廣東 深圳 518060)

針對遙感中線陣推掃數(shù)據(jù)采集模式和現(xiàn)有方法重構(gòu)能力的不足，提出基于分塊對角矩陣和TV (Total Variation)算法的二維壓縮感知模型和方法。該方法能夠使壓縮感知的約束函數(shù)和目標函數(shù)同時包含完整的圖像二維信息，是真正完全意義上的二維壓縮感知。在不改變傳統(tǒng)數(shù)據(jù)采集模式的基礎(chǔ)上，通過分塊對角矩陣的后處理，實現(xiàn)二維壓縮感知。實驗結(jié)果表明，該方法使圖像的重構(gòu)效果獲得極大改善，SNR提高約8 dB。但是該方法不適用于OMP(Orthogonal Matching Pursuit)和BP(Basis Pursuit)算法。該方法促進了定向遙感的發(fā)展，如與其他模型和方法結(jié)合，能進一步提高重構(gòu)效果。

二維壓縮感知；定向遙感；線陣推掃；分塊對角矩陣；全變分

0 引言

根據(jù)奈奎斯特采樣定理， 采樣頻率是信號最高頻率2倍以上時，才能確保由采樣完全重構(gòu)原始信號。壓縮感知能以遠低于奈奎斯特采樣定理要求的頻率采樣，在采集信號的同時實現(xiàn)對信號的壓縮，并能高質(zhì)量地恢復(fù)原始信號[1-2]。因此，壓縮感知一出現(xiàn)就在圖像處理、視頻分析、雷達遙感、信息通信和醫(yī)學(xué)成像等領(lǐng)域成為研究熱點[3-4]。但是當前研究多是將壓縮感知作為一種數(shù)據(jù)后處理技術(shù)。真正能將壓縮感知應(yīng)用于數(shù)據(jù)采集領(lǐng)域也只有CT(Computed Tomography，即電子計算機斷層掃描)和MRI(Magnetic Resonance Imaging，磁共振成像)等醫(yī)學(xué)成像和超分辨顯微成像等幾個能夠?qū)崿F(xiàn)凝視狀態(tài)的領(lǐng)域[5-7]。

遙感數(shù)據(jù)的獲取一般分為星上和地面兩個階段。在衛(wèi)星上需要采集、壓縮和傳輸數(shù)據(jù)，在地面需要接收、儲存、解壓和使用數(shù)據(jù)。遙感技術(shù)的發(fā)展使覆蓋全球海量遙感數(shù)據(jù)的獲取成為現(xiàn)實。如能實現(xiàn)采集壓縮一體化的信號數(shù)據(jù)采集處理格局，就可采集、傳輸、存儲、處理和管理很少的數(shù)據(jù)，從而擺脫傳統(tǒng)技術(shù)的窘境，節(jié)約巨大的人力物力資源。壓縮感知技術(shù)的出現(xiàn)為改變傳統(tǒng)的遙感數(shù)據(jù)獲取模式提供了可能。文獻[8-9]基于線陣推掃模式提出定向遙感和定向變化檢測。一般，采集2～3倍的測量數(shù)據(jù)就可完全重構(gòu)變化區(qū)域。但是當前的各種壓縮感知重構(gòu)算法和模型無法在線陣推掃模式下充分利用已有的先驗信息，因此重構(gòu)效果并不好。本文針對當前遙感中基于線陣推掃模式的數(shù)據(jù)采集方法不能充分利用信號先驗信息的不足，提出了基于分塊對角矩陣和TV算法的二維壓縮感知模型和方法。

1 壓縮感知理論

壓縮感知理論表明，如果信號是稀疏或可壓縮的，就能以遠低于奈奎斯特(Nyquist)采樣定理的采樣率采集信號，并能以高概率精確或近似重建信號，壓縮感知模型如式(1)所示，求解式(1)就可以重構(gòu)出信號x[10-11]。

min‖x‖0s.t.y=Φx

(1)

式中，y是測量數(shù)據(jù)，y∈RM；Φ是測量矩陣，Φ∈RM×N，M

測量矩陣Φ的性質(zhì)是關(guān)系信號重構(gòu)效果的關(guān)鍵。當前判斷測量矩陣Φ性能優(yōu)劣的主要判據(jù)為是否滿足RIP(Restricted Isometry Property，約束等距性質(zhì))，如式(2)所示[10-11]。隨機矩陣的RIP性質(zhì)一般都較好。

(1-σK)‖x‖2≤‖Φx‖2≤(1+σK)‖x‖2

(2)

式中，σK∈[0,1)。

如果測量矩陣滿足RIP和Johnson- Lindenstrauss定理，那么可導(dǎo)出RCP(Restricted Conformal Property，約束保角性質(zhì))，如式(3)所示[12]：

(3)

RIP主要反映了測量數(shù)據(jù)和信號之間的能量繼承關(guān)系，RCP反映了測量數(shù)據(jù)和信號之間的方向繼承關(guān)系。在二維情況下，這種繼承關(guān)系表現(xiàn)的非常明顯，并可作為判斷能量和方向的先驗信息[8-9,13]。

2 基于線陣推掃模式的二維壓縮感知

當前基于壓縮感知的遙感研究多是基于一維信號。即使研究圖像這種二維信號也多是轉(zhuǎn)化為一維信號后再作壓縮感知研究。在壓縮感知的各種重構(gòu)算法中，只有最小全變分法(Total Variation，TV)在目標函數(shù)中利用了圖像像素間的灰度梯度信息，但在約束函數(shù)中依然把二維信號一維化。從重構(gòu)效果看，只有在梯度大的地方優(yōu)于離散余弦變換(Discrete Cosine Transform, DCT)。灰度梯度就是遙感影像的結(jié)構(gòu)之一，是很好的先驗信息，如充分利用可有助于改善提高信號的重構(gòu)精度和效率。但把二維圖像一維化破壞了這種結(jié)構(gòu)先驗信息[8,14]。

遙感衛(wèi)星等的影獲取多是采用線陣推掃模式，設(shè)掃描條帶的長度為L。如果以矩陣X(X∈RN×L)表示掃描條帶，則衛(wèi)星或飛機的掃描線每次只能取得X某列的數(shù)據(jù)。以二維形式表示其壓縮感知模型，則如式(4)所示：

min‖xj‖0s.t.Y=ΦX,j∈[1,L]

(4)

式中，Y∈RM×L，xj是X的列向量。由式(4)可見，二維化后的測量矩陣Φ的規(guī)模為M×N；如果將遙感影像轉(zhuǎn)化為一維信號，測量矩陣Φ的規(guī)模為ML×NL，前者僅為后者的1/L2。測量矩陣規(guī)模的縮小將會大大提高數(shù)據(jù)解算的速度和效率。式(4)也可等價表示成式(5)，兩種表示方法并無本質(zhì)區(qū)別，因此式(4)并不是完全意義上的二維壓縮感知模型。但是式(4)的約束函數(shù)能更好地反映信號和測量數(shù)據(jù)的二維信息[8]。

min‖xj‖0s.t.yj=Φxj

(5)

文獻[13]基于式(5)采用OMP算法逐列重構(gòu)，然后通過RCP，利用二維圖像的列間相關(guān)性，對重構(gòu)結(jié)果修正，取得了更好的重構(gòu)效果。對于可壓縮信號，TV是效果最好的重構(gòu)算法。文獻[9]對滿足稀疏要求的列采用OMP算法重構(gòu)，然后利用RCP先驗信息確定出可壓縮列，并對之采用TV重構(gòu)，取得了很好的重構(gòu)效果。這些方法在壓縮感知模型的目標函數(shù)中并沒有引入列間的相關(guān)性信息，而是通過后處理的形式判斷重構(gòu)結(jié)果的優(yōu)劣，并對重構(gòu)不好的區(qū)域修正。因此本質(zhì)上都不是真正的二維壓縮感知。

min‖X‖TVs.t.Y=ΦX

(6)

如能將式(4)轉(zhuǎn)化為式(6)的形式就能實現(xiàn)真正的二維壓縮感知。因為式(6)的目標函數(shù)既包含了圖像縱向(列向)的灰度梯度信息，也包含了圖像橫向的灰度梯度信息。約束函數(shù)也完整保留了圖像和測量數(shù)據(jù)的二維結(jié)構(gòu)信息。

但是式(6)并不能直接應(yīng)用于現(xiàn)有壓縮感知的TV模型。因此，如將式(6)中的圖像，測量數(shù)據(jù)都一維化，那么式(6)就等價轉(zhuǎn)化為式(7)。式(6)和式(7)的目標函數(shù)盡管寫法不一樣，但本質(zhì)上是完全等價的，都包含了圖像橫向和縱向的全部梯度信息；約束函數(shù)在數(shù)學(xué)上也是完全等價的，并沒有導(dǎo)致信息的丟失和減少。

min‖x‖TVs.t.y=ΦDIGx

(7)

3 實驗結(jié)果分析和驗證

所有的實驗采用Matlab在普通臺式機上完成，CPU主頻3.1 GHz，4核，內(nèi)存1 GB。Matlab的操作界面如圖2所示。用灰度圖表示的子塊矩陣Φ、分塊對角矩陣ΦDIG和稠密矩陣ΦDEN如圖3所示。子塊矩陣Φ的矩陣規(guī)模為M×N；分塊對角矩陣ΦDIG的矩陣規(guī)模為ML×NL，其中包含L個子塊矩陣Φ；稠密矩陣ΦDEN的矩陣規(guī)模為ML×NL，其大小是子塊矩陣Φ的L2倍。子塊矩陣Φ和稠密矩陣ΦDEN都是服從N(0，1/M)分布的高斯測量矩陣，兩者的區(qū)別只在于矩陣大小規(guī)模的不同。

基于子塊矩陣Φ的重構(gòu)算法流程，就是通過Φxj逐列采集測量數(shù)據(jù)yj；然后，基于式(5)，通過TV算法逐列重構(gòu)xj；最后，將逐列重構(gòu)得到的所有xj，排列組合成二維圖像X。

基于分塊對角矩陣ΦDIG的重構(gòu)算法流程，就是通過如圖1所示的算法流程圖重構(gòu)得到二維圖像X。

基于稠密矩陣ΦDEN的重構(gòu)算法流程，就是通過稠密矩陣ΦDEN直接采集二維圖像X的一維化數(shù)據(jù)x，ΦDENx；然后，基于min‖x‖0s.t.y=ΦDENx，通過TV算法重構(gòu)得到x；最后將x二維化成二維圖像X。

圖4和表1是基于子塊矩陣Φ、分塊對角矩陣ΦDIG和稠密矩陣ΦDEN對Boats、Cameraman、Lena和遙感影像Mulargia lake以及墨西哥森林5幅圖像采用TV算法的重構(gòu)結(jié)果。Mulargia lake是意大利撒丁島Mulargia湖的兩個時相遙感影像的差值圖，由Landsat-5衛(wèi)星在波段4分別拍攝于1995年09月和1996年07月。該圖像反映了Mulargia湖水位上升而造成的陸地淹沒情況。為滿足定向遙感的稀疏條件，對兩個時相的原始遙感影像做簡單處理，使其差值圖中未變化區(qū)域的灰度值都為0。墨西哥森林是拍攝于某時刻的遙感圖像，背景與目標灰度非常相近，幾乎無法區(qū)分目標和背景。圖4中，除Mulargia Lake外的其他4幅圖都是可壓縮的。Mulargia Lake圖中的黑色區(qū)域的像素灰度都為0。除此之外的其他區(qū)域也是可壓縮的。表1中，包含橫向灰度梯度信息的目標函數(shù)值用TV表示，橫向灰度梯度信息用TVx表示，TV和TVx的值×104后才是其真實值。

子塊矩陣基于式(5)逐列重構(gòu)，分塊對角矩陣基于式(7)重構(gòu)。稠密矩陣也基于式(7)重構(gòu)，不過這時式(7)中的約束函數(shù)的分塊對角矩陣用稠密矩陣替換。子塊矩陣和稠密矩陣都是高斯矩陣。

圖4中自左向右依次是基于子塊矩陣、分塊對角矩陣和稠密矩陣的重構(gòu)結(jié)果，最右側(cè)是原始圖像。對比左側(cè)的兩列圖像可以發(fā)現(xiàn)，基于TV算法的分塊對角矩陣的重構(gòu)效果遠遠好于子塊矩陣逐列重構(gòu)的效果。由表1可見，前4幅圖的SNR提高約8 dB，計算時間最大約增加22倍(通過Matlab中的tic和toc命令統(tǒng)計計算時間)。而對于背景與目標灰度非常相近的墨西哥森林，SNR僅提高約2.5 dB，計算時間約增加14倍。包含橫向灰度梯度信息的最終目標函數(shù)數(shù)值(TV)和橫向灰度梯度值(TVx)都小于子塊矩陣，更接近于稠密矩陣。

SNR計算公式如式(8)所示：

(8)

式中，x是真實信號，x∈RN；‖·‖2表示向量的模；xR表示x的重構(gòu)結(jié)果。

對比左側(cè)的兩幅Lena圖可以發(fā)現(xiàn)，Lena圖中左側(cè)立柱的重構(gòu)效果，分塊對角矩陣劣于子塊矩陣。這說明，逐列重構(gòu)的子塊矩陣更適用于灰度梯度縱向變化平緩的圖像局部區(qū)域。對比左側(cè)的兩幅Cameraman圖可以發(fā)現(xiàn)，在頭部附近的縱向區(qū)域，逐列重構(gòu)的子塊矩陣的重構(gòu)效果也劣于分塊對角矩，這是因為該區(qū)域的縱向灰度梯度變化大。分塊對角矩陣更適用于灰度梯度橫向變化平緩的圖像局部區(qū)域；例如，Boats圖的橫向灰度梯度變化較小，縱向灰度梯度變化大，所以子塊矩陣逐列重構(gòu)得到的左側(cè)Boats圖的所有區(qū)域都很模糊。

表1 3類矩陣的SNR和計算時間

如果將逐列重構(gòu)的子塊矩陣和分塊對角矩陣相結(jié)合，在縱向灰度梯度變化平緩的區(qū)域采用逐列重構(gòu)的子塊矩陣，在其他區(qū)域使用分塊對角矩陣就能取得更好的重構(gòu)效果。

由圖4和表1可見，稠密矩陣的重構(gòu)效果和SNR盡管都好于分塊對角矩陣，但是稠密矩陣這種矩陣形式并不能應(yīng)用于基于線陣推掃的遙感數(shù)據(jù)采集模式中。由表1可見，分塊對角矩陣和稠密矩陣的計算速度幾乎相當，遠遠慢于子塊矩陣。這是因為子塊矩陣的矩陣規(guī)模遠遠小于分塊對角矩陣和稠密矩陣。

由于在TV算法中， 3類矩陣的目標函數(shù)包含信息量的不同，導(dǎo)致無法準確測試3類矩陣的性能和效果，因此，基于OMP和BP算法測試3類矩陣的性能。基于不同稀疏度的高斯信號，各實驗64次，計算精確重構(gòu)概率。圖5和表2是基于子塊矩陣、分塊對角矩陣和稠密矩陣對同一套測試數(shù)據(jù)分別采用OMP和BP算法的重構(gòu)結(jié)果。由圖5中OMP和BP可見，稠密矩陣在稀疏度較小時重構(gòu)效果好于子塊矩陣；當稀疏度較大時反之；分塊對角矩陣的重構(gòu)效果最差。

由表2可見，OMP算法，子塊矩陣的計算速度最快。分塊對角矩陣和稠密矩陣的計算速度相近，都遠遠慢于子塊矩陣。BP算法，稠密矩陣的計算速度最慢。子塊矩陣和分塊對角矩陣的計算速度相近，都遠遠快于稠密矩陣。

時間/s子塊矩陣分塊對角矩陣稠密矩陣OMP算法0 090215 382224 746BP算法4 4693 5644236 520

在TV算法中，分塊對角矩陣和稠密矩陣的目標函數(shù)不但包含原始圖像的縱向灰度梯度信息，而且還包含橫向的灰度梯度信息；但是子塊矩陣只包含原始圖像的縱向灰度梯度信息。OMP和BP算法表明，分塊對角矩陣性能劣于子塊矩陣和稠密矩陣。但是在TV算法中，包含橫向灰度梯度信息的目標函數(shù)彌補，并遠遠超過了分塊對角矩陣性能的不足。

文獻[9]說明TV算法只適用于可壓縮信號，對于稀疏信號，使用其他算法可取的更好的重構(gòu)效果。因此，在定向遙感的實際使用中，對稀疏區(qū)域使用其他重構(gòu)算法重構(gòu)，對于可壓縮區(qū)域中縱向灰度梯度變化平緩的使用逐列重構(gòu)的子塊矩陣；對于可壓縮區(qū)域中縱向灰度梯度變化不平緩區(qū)域的使用分塊對角矩陣重構(gòu)。

4 結(jié)論

本文提出了基于分塊對角矩陣和TV算法的二維壓縮感知模型和方法。該方法能夠使壓縮感知的約束函數(shù)和目標函數(shù)同時包含完整的圖像二維信息，是真正完全意義上的二維壓縮感知。實驗結(jié)果表明，由于目標函數(shù)中包含了圖像的二維梯度信息，該方法使圖像的重構(gòu)效果獲得極大改善，SNR提高約8 dB，但是該方法不適用于OMP和BP算法。這是因為它們的目標函數(shù)中并不包含圖像的二維梯度信息，本質(zhì)上依然是一維壓縮感知。利用更多圖像像素相關(guān)信息的目標函數(shù)能改善重構(gòu)效果。該方法促進了定向遙感的發(fā)展，擬結(jié)合其他模型和方法，進一步提高重構(gòu)效果。

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Two-dimensional Compressive Sensing Data Acquisition and Reconstruction Based on Block Diagonal Matrix

CHENG Tao1,2,3

(1.Key Laboratory of Optoelectronic Devices and Systems, Shenzhen University, Shenzhen 518060, China; 2.Automotive & Transportation Engineering Institute，Guangxi University of Science and Technology, Liuzhou 545006, China; 3.Shenzhen Key Laboratory of Micro-Nano Measuring and Imaging in Biomedical Optics, Shenzhen University, Shenzhen, 518060, China)

For the data acquisition modes of linear array push-broom in remote sensing and deficiencies of existing methods for data reconstruction, the two-dimensional compressive sensing models and methods based on a block diagonal matrix and TV (Total Variation) algorithm were proposed in this paper. This method enabled the constraint and objective functions of compressive sensing to contain the completed two-dimensional image information. And it was totally real two-dimensional compressive sensing. On the basis of the traditional data acquisition mode, the two dimensional compressive sensing was realized by the post processing of the block diagonal matrix. Experimental results showed that the image reconstruction effect was improved greatly, and the SNR increased by about 8dB. However, this method was not suitable for OMP (Orthogonal Matching Pursuit) and BP (Basis Pursuit).

two-dimensional compressive sensing; directional remote sensing; linear array push-broom; block diagonal matrix; TV(total variation)

2017-01-10

國家自然科學(xué)基金項目資助(41461082,81660296); 中國博士后科學(xué)基金項目資助(2016M592525);廣西自然科學(xué)基金項目資助(2014GXNSFAA118285);廣西高?？茖W(xué)技術(shù)研究項目資助(YB2014212);廣西科技大學(xué)博士基金項目資助(校科博13Z12)

程濤(1976—)，男，廣西柳州人，博士，副教授，研究方向：壓縮感知和遙感研究。E-mail:ctnp@163.com。

TP391

A

1008-1194(2017)03-0060-06