后向預測高斯混合概率假設密度濾波算法

趙 凱，胡建旺，吉 兵

(解放軍軍械工程學院，河北 石家莊 050003)

后向預測高斯混合概率假設密度濾波算法

趙 凱，胡建旺，吉 兵

(解放軍軍械工程學院，河北 石家莊 050003)

針對單步延遲無序量測條件下多目標跟蹤中，概率假設密度濾波對目標數(shù)量與狀態(tài)估計誤差偏大問題，提出了后向預測高斯混合概率假設密度濾波算法(BP-GMPHD)。該算法在后向預測框架內(nèi)，以高斯混合概率假設密度濾波器為基礎濾波算法，計算各高斯分量的回溯狀態(tài)并進行再更新，經(jīng)剪枝與合并等步驟獲得最終的目標數(shù)量與狀態(tài)估計。仿真驗證表明，該算法在無序量測條件下保持了良好的濾波性能，能夠準確估計多目標數(shù)目和狀態(tài)。

多目標跟蹤；無序量測；單步延遲；高斯混合；后向預測

0 引言

2003年，Mahler[1]提出了基于隨機有限集(Random Finite Sets, RFS)的概率假設密度(Probability Hypothesis Density, PHD)濾波，以實現(xiàn)對多目標的跟蹤，即將目標的狀態(tài)和觀測看作隨機有限集，傳遞多目標全局后驗概率密度的一階統(tǒng)計矩，最終獲得多目標數(shù)量與狀態(tài)估計。該方法可以繞過復雜的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問題，適用于目標數(shù)量時變或未知的情形[2-3]。

目前，對于PHD的近似實現(xiàn)方法有兩種：序貫蒙特卡羅(Sequential Monte Carlo, SMC)方法與高斯混合(Gaussian Mixture, GM)方法[4-5]。由于高斯混合方法的計算量相對較小且精度較高，因此其被廣泛應用于求解PHD中。

在跟蹤過程中，傳感器量測或因隨機的通信延遲出現(xiàn)無序現(xiàn)象，即來自同一目標的較早時刻量測在較晚時刻量測之后到達融合中心[6]。Hilton[7]將這些量測命名為無序量測(Out-of-sequence Measurement, OOSM)，并針對線性高斯系統(tǒng)中單目標跟蹤問題，在后向預測框架內(nèi)提出了適用于單步延遲OOSM的B1算法，可有效降低OOSM的影響。而在多目標跟蹤中，標準的PHD濾波算法無法直接處理此類“負時間更新”問題，需進行改進。

針對上述問題，提出了后向預測高斯混合概率假設密度濾波(BP-GMPHD)算法。

1 RFS與PHD濾波原理

tk時刻的多目標狀態(tài)模型可用RFS描述為[9]：

(1)

式中，Xk-1為tk-1時刻的目標狀態(tài)RFS；Sk|k-1表示從tk-1到k時刻存活目標狀態(tài)RFS；Bk|k-1為tk-1到k時刻由Xk-1衍生的目標狀態(tài)RFS；Γk為tk時刻新生目標狀態(tài)RFS。

k時刻目標量測模型用RFS描述為[9]：

(2)

式中，Ck為雜波與虛警量測RFS；Θk為Xk的量測RFS。

根據(jù)經(jīng)典Bayes估計理論，基于RFS的多目標Bayes估計表示為：

(3)

(4)

式中，pk|k-1與pk為多目標先驗、后驗概率；fk|k-1為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率；gk為量測似然函數(shù)；μ為某一空間近似勒貝格測度。

(5)

PHD可濾波器主要通過預測過程與更新過程來實現(xiàn)遞推，其預測PHD可表示為：

(6)

式中，bk|k-1為存在目標所衍生的目標PHD；γk(xk)為新生目標的PHD；f(xk|xk-1)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率密度。

更新PHD可表示為：

(7)

2 多目標OOSM問題描述

假定目標i的狀態(tài)方程與量測方程為：

(8)

(9)

如圖1所示，假設tk時刻，已有目標i的狀態(tài)估計與誤差協(xié)方差矩陣：

(10)

隨后，來自t=td時刻的量測

(11)

3 基于后向預測的BP-GMPHD濾波算法

3.1GMPHD多目標濾波算法

文獻[11]給出了GMPHD濾波器具有強L1一致收斂性質(zhì)的證明。因此，高斯混合方法的引入，可避免PHD濾波問題中的復雜的積分運算。另外，應用GMPHD濾波算法時，除PHD濾波器常用假設之外，還需要滿足：

1)單目標的馬爾科夫轉(zhuǎn)移密度和似然函數(shù)都是線性高斯的；

2)目標的存活概率PS為常數(shù)；檢測概率PD為常數(shù)；

3)目標新生和衍生過程的PHD都是高斯混合形式；

(12)

式中，Jk-1為高斯混合分量個數(shù)。

3.1.1 預測步

tk時刻預測強度為：

Dk|k-1(x)=γk(x)+Ds,k|k-1(x)+Db,k|k-1(x)

(13)

式中，γk(x)、Ds,k|k-1(x)與Db,k|k-1(x)分別表示新生目標密度、存活目標和衍生目標的PHD，即

(14)

(15)

(16)

各分量具體形式可表示為：

更進一步地，預測步PHD可表示為：

(17)

式中，Jk|k-1=Jb,k|k-1+Jγ,k+Jk-1。

3.1.2 更新步

經(jīng)過更新，tk時刻后驗強度為：

(18)

(19)

3.2 后向預測濾波過程

Hilton提出的后向預測法，可解決卡爾曼濾波算法體系下單步延遲OOSM。其基本思想是：當系統(tǒng)接收到OOSM時，計算OOSM發(fā)生時刻的回溯狀態(tài)與協(xié)方差矩陣等，再利用滯后到達的量測對最新時刻狀態(tài)估計與協(xié)方差進行更新，可在過程噪聲連續(xù)離散化模型(Discrete Continuous-time Model, DCM)條件下達到最優(yōu)。具體過程如圖2中步驟①②所示。這一過程還可表述為：

(20)

卡爾曼濾波體系下后向預測的算法具體過程如下[12]：

tk到td時刻的回溯狀態(tài)為：

(21)

回溯相關(guān)的協(xié)方差矩陣為：

(22)

(23)

(24)

回溯量測值協(xié)方差為：

(25)

tk時刻的狀態(tài)和量測值之間的協(xié)方差：

(26)

濾波增益為：

改革開放后，我國農(nóng)村社會結(jié)構(gòu)發(fā)生了變遷：人口老齡化、村莊空心化、鄰里關(guān)系冷漠化。歷史遺留問題、自然災害、勞動力外流、生產(chǎn)生活方式突變等都容易造成農(nóng)村社會的不穩(wěn)定性。怎樣帶動鄰里交往、增強村民凝聚力？建筑師從不同的角度切入，提供了多種可行之路。

(27)

含zd的最新時刻狀態(tài)估計為：

(28)

最新時刻狀態(tài)估計協(xié)方差矩陣為：

(29)

3.3BP-GMPHD濾波算法

為解決線性系統(tǒng)無序量測條件下的GMPHD濾波問題，提出后向預測BP-GMPHD濾波算法。 將最新時刻每一個高斯分量納入后向預測框架內(nèi)，計算OOSM發(fā)生時刻的回溯狀態(tài)，并利用滯后到達的量測對其進行更新，最終通過剪枝與合并、狀態(tài)提取等步驟得到更新后的狀態(tài)估計與目標數(shù)量。圖3給出了算法流程圖。

另外設定門限Tmerg，當兩個分量合并距離小于此門限時，將會合并成單個分量。經(jīng)過此步，得到Jk個高斯分量。

4 仿真驗證

以二維平面內(nèi)多目標運動情形為例，通過仿真實驗綜合驗證BP-GMPHD算法在無序條件下的跟蹤性能，并忽略OOSM的處理方式，即丟棄滯后量測法與真實值做對比，以驗證算法的有效性。

4.1 參數(shù)設置

假設目標的監(jiān)測區(qū)域為[-100 m,100 m]×[-100 m,100 m]的二維平面，對應的目標狀態(tài)方程為

(30)

空間中有4個目標在運動，相繼出現(xiàn)或消失。傳感器對4個目標進行觀測，得到的量測為其位置的二維坐標。假設每次掃描的雜波數(shù)服從泊松分布，且該過程中忽略衍生目標出現(xiàn)，則傳感器量測方程可表示為

(31)

4.2 仿真一

在跟蹤過程的前10s，傳感器獲得10個量測。假設出現(xiàn)OOSM，融合中心最終收到的量測序列如表1所示。

表1 單步延遲無序量測時序表

首先對該量測序列應用GMPHD-A1算法。圖4為OOSM產(chǎn)生時刻的回溯狀態(tài)集與正常時序下該時刻的狀態(tài)集對比。由于算法假設回溯到OOSM產(chǎn)生時刻的高斯分量數(shù)量與最新時刻相同，故回溯狀態(tài)集中元素數(shù)量要遠少于正常時序處理的情形。圖5為更新后的最新時刻狀態(tài)集進行剪枝與合并前后對比，經(jīng)過此步驟后高斯分量數(shù)大幅減少。

再用丟棄滯后量測法對表1所示量測進行處理，將兩種算法在t=6與t=9時刻的位置分量均方根誤差(RMSE)及目標數(shù)量與真實值作比較，結(jié)果如表2、表3所示。表中括號內(nèi)數(shù)值是該指標相對于真實值的誤差，誤差越小，跟蹤精度越高?？梢钥闯?，BP-GMPHD的RMSE遠低于丟棄滯后量測法，即跟蹤精度較高；且丟棄滯后量測法在目標數(shù)量估計上出現(xiàn)了偏差，此項的RMSE數(shù)值忽略了誤差較大的目標。隨著濾波過程的進行，OOSM的影響下降，丟棄滯后量測法與BP-GMPHD精度的差距減小，這也符合文獻[9]的相關(guān)結(jié)論。

表2 t=6時刻結(jié)果

表3 t=9時刻結(jié)果

4.3 仿真二

現(xiàn)將跟蹤時間延長至35 s，即融合中心收到35個量測。假設每7個量測中包含一個單步延遲的OOSM。分別使用BP-GMPHD算法與丟棄滯后量測法處理上述量測，將濾波結(jié)果與目標真實運動軌跡、數(shù)量做比較，結(jié)果如圖6、圖7所示。

圖6表示多目標真實航跡與不同算法狀態(tài)估計的對比。由圖中可以看出，盡管多目標的量測數(shù)據(jù)中含有多個OOSM，但在使用BP-GMPHD算法濾波后，這些OOSM被應用到了狀態(tài)更新中，得到的多目標的狀態(tài)估計量可以很好地跟蹤目標的真實運動狀態(tài)，表明了該算法的有效性 。

圖7給出了在不同時刻量測數(shù)據(jù)經(jīng)過BP-GMPHD算法處理得到的目標數(shù)量與丟棄滯后量測法及真實值的對比，算法對目標數(shù)目的估計基本接近真實值，優(yōu)于丟棄滯后量測法，目標的數(shù)目估計更加準確。

5 結(jié)論

本文提出了BP-GMPHD濾波算法。該算法在后向預測框架內(nèi)，以高斯混合概率假設密度濾波器為基礎濾波算法，計算各高斯分量的回溯狀態(tài)并進行再更新，經(jīng)剪枝與合并等步驟獲得最終的目標數(shù)量與狀態(tài)估計。仿真結(jié)果表明， BP-GMPHD算法在無序量測條件下保持了良好的濾波性能，具有廣泛的應用價值。

需要注意的是，本文只能對單步延遲OOSM進行處理；當延遲步數(shù)多于一步時，對于回溯高斯分量的預測誤差偏大，導致整體濾波結(jié)果與真實值有較大差距。因此，如何將應用范圍推廣至多步延遲OOSM，還需要進一步研究。

[1]Mahler R P S. Multitarget Bayes Filtering via First-Order Multitarget Moments [J]. IEEE Transactions on Aerospace & Electronic Systems Aes, 2003, 39(4):1152-1178.

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[4]Vo B N, Singh S, Doucet A. Sequential Monte Carlo methods for multi-target filtering with random finite sets[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,2005,41(4): 1224-1245.

[5]Vo B N, Ma W K. The Gaussian mixture probability hypothesis density filter[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2006,54(11):4091-4104.

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BP-GMPHD Filter Algorithm with Single-step-lag Out-of-sequence Measurement

ZHAO Kai, HU Jianwang, JI Bing

(Ordnance Engineering College of PLA, Shijiazhuang 050003, China)

In multi-target tracking process with one-step-lag out-of-sequence measurement (OOSM), probability hypothesis density may cause low estimation precision for target number and state. To solve the problem, a backward prediction Gaussian mixture probability hypothesis density (BP-GMPHD) filtering was proposed. Within the backward prediction framework, taking Gaussian mixture probability hypothesis density as basis filtering algorithm, backtrack state of each Gaussian component was calculated to obtain target number and state estimation after pruning and merging，etc. Simulation results showed that the proposed algorithm could effectively keep a good filtering performance with OOSM and accurately estimated the multi-target number and state.

multi-target tracking; OOSM; one-step-lag; Gaussian mixture; backward prediction

2017-01-24

趙凱(1991—)，男，山東濟南人，博士研究生，研究方向：指揮信息系統(tǒng)與安全技術(shù)。E-mail:609587194@qq.com。

TP391

A

1008-1194(2017)03-0118-06