例談高考試題中的轉(zhuǎn)化與化歸思想

遼寧省實驗中學(xué)分校　毛洪

轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到解決的一種方法.一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題.

轉(zhuǎn)化與化歸的原則有：熟悉化原則、簡單化原則、直觀化原則、正難則反原則.轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法用在研究、解決數(shù)學(xué)問題時，可以將問題從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)化到另一種狀態(tài)，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境，從而使問題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略.

常見的轉(zhuǎn)化方法有：（1）直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題；（2）換元法：運用“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題；（3）數(shù)形結(jié)合法：研究原問題中數(shù)量關(guān)系（解析式）與空間形式（圖形）關(guān)系，通過互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑；（4）等價轉(zhuǎn)化法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題，達(dá)到化歸的目的；（5）構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個合適的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題；（6）坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計算方法解決幾何問題等.

本文僅以近些年的幾道高考數(shù)學(xué)題為例，剖析其中的轉(zhuǎn)化與化歸思想.

一、函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化與化歸

例1（2014年北京卷）已知函數(shù)f（x）=xcosxsinx，x∈

（1）求證：f（x）≤0；

【解析】此處僅對第（2）問作出分析.

（2）解法 1（參變量分離）：

解法2：（一端化零，分類討論）

【說明】函數(shù)、方程和不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程和不等式問題，需要函數(shù)的幫助，解決函數(shù)的問題需要方程和不等式的幫助.因此借助于函數(shù)、不等式和方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等式問題轉(zhuǎn)化為最值（值域）問題，從而求出參變量的范圍.解法1和解法2都是將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題。學(xué)生在面對不等式恒成立問題時，首先就會想到參變量分離，求函數(shù)最值，解法1中g(shù)（0）不存在會導(dǎo)致學(xué)生僅利用高中知識體系無法求出b的最小值.是否能在高中教學(xué)中滲透洛比達(dá)法則，可因?qū)W生理解和學(xué)習(xí)的能力不同，因人而異.

解法2中如何對參數(shù)進(jìn)行分類是學(xué)生運用分類討論思想解題時的一大難點，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注端點函數(shù)值是否為零以及導(dǎo)數(shù)的變號零點是分類的關(guān)鍵.其中當(dāng)0＜c＜1時，零點不可解出，為討論增加了難度.

二、數(shù)量關(guān)系與空間圖形之間的轉(zhuǎn)化與化歸

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”本題通過對不等式進(jìn)行適當(dāng)變形，從幾何角度剖析，直觀明了.

例1的解法3（幾何意義法）：

【說明】幾何意義法十分直觀清晰，體現(xiàn)了用數(shù)形結(jié)合思想解題.但筆者在實際教學(xué)中卻發(fā)現(xiàn)，學(xué)生面對函數(shù)問題時，較少聯(lián)想到它的幾何意義，從而錯失了一個如此簡潔的解題思路.這還需要一線教師在教學(xué)時，經(jīng)常挖掘題目的幾何直觀意義，并在教學(xué)中常常滲透數(shù)形結(jié)合思想.

無獨有偶，從幾何角度剖析高考試題，往往可以得出簡潔清晰的解答方法.

例 2（2013年江蘇卷）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中 a為實數(shù).

（1）若 f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，且 g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；

（2）若 g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，試求f（x）的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論.

【解析】此處僅對第（2）問作出分析.

（2）若 g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，則g′（x）=ex-a≥0在（-1，+∞）上恒成立

當(dāng) 0＜x＜e 時，h′（x）＞0，h′（x）單調(diào)遞增且連續(xù)不斷，

當(dāng) x＞e 時，h′（x）＜0，h′（x）單調(diào)遞減且連續(xù)不斷，

所以h（x）的圖像以x軸正半軸為漸近線.

據(jù)此作出 h（x）的簡圖如下，則 f（x）的零點個數(shù)就是直線y=a與函數(shù)h（x）圖像交點的個數(shù).

三、以換元為手段的轉(zhuǎn)化與化歸

例 3（2013 年陜西卷）已知函數(shù) f（x）=ex，x∈R.

（Ⅰ）若直線y=kx+1與f（x）的反函數(shù)的圖像相切，求實數(shù)k的值；

（Ⅱ）設(shè) x＞0，討論曲線 y=f（x）與曲線 y=mx2（m＞0）公共點的個數(shù)；

【解析】此處僅對第（Ⅲ）問作出分析.

所以 h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

故有 h（x）＞h（0）=0.

【說明】本題將二元不等式證明問題，通過適當(dāng)變形，轉(zhuǎn)化為以x=b-a為自變量的函數(shù)單調(diào)性問題.利用換元的手段將多元問題轉(zhuǎn)化為單變量問題.

例 4（2014 年天津卷）設(shè) f（x）=x-aex（a∈R），x∈R.已知函數(shù) y=f（x）有兩個零點 x1，x2，且 x1＜x2.

（Ⅰ）求a的取值范圍；

（Ⅲ）證明x1+x2隨著a的減小而增大.

【解析】此處僅對第（Ⅲ）問作出分析.

于是 x1+x2為 t的函數(shù) h（t）=（t＞1），至此，通過換元，令t=已將二元問題轉(zhuǎn)化成為一元問題.證明函數(shù)h（t）是增函數(shù)即可，過程略.

換元法可以將復(fù)雜多變量問題轉(zhuǎn)化為單一變量的函數(shù)性質(zhì)問題，再借助導(dǎo)數(shù)工具即可解決.

四、以構(gòu)造為手段的轉(zhuǎn)化與化歸

本文例1還可以轉(zhuǎn)化為定積分問題求解，具體如下：

解法4（定積分法）

【說明】此種解法簡潔新穎，其可行性依賴于題目區(qū)間端點的函數(shù)值恰好是不等式恒成立時的臨界值.通過構(gòu)造與原不等式等價的定積分，借助定積分的幾何意義將函數(shù)間的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為不同曲線圍成圖形面積間的大小關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為曲線和直線的位置關(guān)系是解題的核心，善于抓住圖形中的臨界位置和特殊點是解題的關(guān)鍵.

轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位，數(shù)學(xué)問題的解決，離不開轉(zhuǎn)化與化歸，如未知向已知的轉(zhuǎn)化、新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化，不同數(shù)學(xué)問題之間的互相轉(zhuǎn)化、實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化等.各種變換、具體解題方法都是轉(zhuǎn)化的手段，轉(zhuǎn)化的思想方法滲透到所有的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和解題過程中.

在轉(zhuǎn)化具體問題的教學(xué)中，我們應(yīng)該引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會把握轉(zhuǎn)化與化歸的指導(dǎo)思想：（1）把什么問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化歸對象；（2）化歸到何處去即化歸目標(biāo)；（3）如何進(jìn)行化歸，即化歸方法.化歸與轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中解決問題的重要思想方法.