高中函數(shù)參數(shù)問題的解題策略探究

鄭雨辰

【摘 要】本文是以新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)教材為參考點(diǎn)，通過幾個具有代表性的例題，根據(jù)目前高中教學(xué)大綱，探究并分析了高中函數(shù)參數(shù)問題的解體方法及策略。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；等價轉(zhuǎn)換；分情況分析；函數(shù)構(gòu)造法

縱觀目前高中數(shù)學(xué)的教學(xué)大綱以及歷年來高中數(shù)學(xué)的各種考題，函數(shù)與參數(shù)相結(jié)合的考察題型變得越來越常見，與此同時，這類題型也成為許多同學(xué)的頭疼點(diǎn)。函數(shù)之所以具有一定難度，主要是因?yàn)榫哂袇?shù)的函數(shù)的處理比較復(fù)雜。

下面筆者根據(jù)高中教學(xué)實(shí)際和自身多年探究，簡要分析了高中函數(shù)問題的解體策略及方法。

一、題型：參數(shù)的“恒成立”與“存在性”

（一）參數(shù)的“恒成立”問題

這一類問題一般分為兩種題型：一類是對于定義域X∈R上的恒成立問題；另一類是對于在R的某個子區(qū)間恒成立的兩種題型。例如：

例1：若aX2+3X-1<0在X∈R上恒成立，求a的取值范圍。

這道題是對于X∈R上的恒成立問題。

例2：X2+2X-a<0在X∈[0，2]上恒成立，求a的取值范圍。

這道題是對于在R的某個子區(qū)間上恒成立的問題。

（二）參數(shù)的“存在性”問題

例4：若存在X∈[-1，2]，使得X2+2X-a<0成立，求a的取值范圍。

這道題屬于存在性問題，常與恒成立問題混淆。

二、解題策略及方法

（一）數(shù)形結(jié)合法

在數(shù)學(xué)解題過程中，有許多題目解題過程復(fù)雜，僅靠列式理解困難。對于某些參數(shù)問題，采用數(shù)形結(jié)合的方法就會變得非常直觀易懂，并且很容易就可以分析出這道題存在的幾種情況.

例如例題4，這道題屬于存在性問題，首先我們可以對這道題目進(jìn)行一下變形，將原不等式轉(zhuǎn)變?yōu)閍>X2+2X，存在X∈[-1，2]。由于是存在性問題，只需要Y=a，的圖像出現(xiàn)高于函數(shù)Y=X2+2X的圖像的部分即可，所以只需a大于Y=X2+2X在[-1，2]區(qū)域上的最小值即可。所以這道題的答案便很容易求解出來a>-1。

在求解與參數(shù)有關(guān)的一系列函數(shù)問題時，利用數(shù)形結(jié)合法可以將問題更加直觀形象，甚至可以把一個非常復(fù)雜抽象的函數(shù)問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€或幾個式子求解出來。例如下面這個例題：若不等式|x-2a|≥1/2+a-1對X∈R恒成立，求a的取值范圍。這是一個恒成立問題，用數(shù)形結(jié)合的方法求解很簡單。作出y=|x-2a|和y=1/2+a-1的簡圖，按照題意應(yīng)有2a≤2-2a，所以a≤1/2。

（二）等價轉(zhuǎn)換法

在數(shù)學(xué)的解題中，常常會碰到一題多解，也就是說，一個題目可以有很多種解法，一部分題目運(yùn)用等價轉(zhuǎn)換的思想就可以輕松解得。的等價轉(zhuǎn)換的思想，就是將函數(shù)的參數(shù)問題轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪粋€函數(shù)的值域問題，即通過一系列的變形將原有的函數(shù)問題轉(zhuǎn)變?yōu)椤癮>f（x）”或“a

下面，我們就用等價轉(zhuǎn)換的思想對上文列舉出來的例題進(jìn)行求解。

對于例二：X2+2X<0在X∈[0，2]上恒成立，求a的取值范圍。將移到等式右邊即可轉(zhuǎn)換為aX2+2X>，因此本題就可以轉(zhuǎn)換為求函數(shù)Y=X2+2X在X∈[0，2]上的值域。由于是恒成立問題，a只需要大于函數(shù)Y在該值域上的最大值就可以了，因此a>8。

等價轉(zhuǎn)化法是有關(guān)參數(shù)的函數(shù)問題中最常用的方法之一，有的問題如果將等價轉(zhuǎn)換的思想與數(shù)形結(jié)合思想結(jié)合起來會使問題更加簡便。下面我們來探究一下

分情況分析以及函數(shù)構(gòu)造思想在函數(shù)解題中的應(yīng)用。

（三）分情況討論

在函數(shù)的一些題目中尤其是含參數(shù)時經(jīng)常需要分情況討論，分情況討論的基本原則就是條理、全面。下面我們通過例題1來簡單地對分情況討論進(jìn)一步的了解。

對于例1：若aX2+3X-1<0在X∈R上恒成立，求a的取值范圍。首先依然將帶有參數(shù)的項(xiàng)移到等式一邊，轉(zhuǎn)變?yōu)閍X2<-3X+1，因此這個題目就需要對最高次項(xiàng)的參數(shù)a的取值進(jìn)行討論，主要分為以下幾種情況：a=0，a>0以及a<0這三種情況，當(dāng)a=0時，則轉(zhuǎn)變?yōu)?3X+1>0在實(shí)數(shù)集上恒成立，顯然不滿足題意，故舍去，對于a>0及a<0兩種情況，則可以結(jié)合函數(shù)圖像中二次函數(shù)的開口及最值進(jìn)行求解。通過分情況討論，可以將負(fù)責(zé)的函數(shù)求解過程變得系統(tǒng)、條理、不重不漏。

（四）構(gòu)造函數(shù)法

構(gòu)造函數(shù)法是一種經(jīng)典的數(shù)學(xué)思想方法。通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)來解決與函數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，具有很強(qiáng)的靈活性和實(shí)效性。在函數(shù)的求解過程中，有時我們很難對原函數(shù)進(jìn)行直接求解，那么我們便可以提取其中的一部分構(gòu)造成性質(zhì)，結(jié)構(gòu)相對簡單的函數(shù)進(jìn)行分析，亦可以利用拼湊的方法構(gòu)造出性質(zhì)明顯，易于分析的函數(shù)。下面，我們通過一個例題簡要分析：

若a∈[-1，2]時函數(shù)f（x）=ax2+2x+a-1的值大于0，求x的取值范圍。

通過分析可以發(fā)現(xiàn)這個題目與我們之前求解的題目都不同，上文的題目都是給定自變的范圍，求解參數(shù)的范圍，而這道題恰恰相反，在之前的練習(xí)中，我們已經(jīng)對求解參數(shù)的問題的解決方法相對熟練，那么這道題是否可以轉(zhuǎn)變一下，構(gòu)造成上文題目的形式呢？答案是可以的。我們將原題進(jìn)行一下變換，轉(zhuǎn)變?yōu)閒（a）=（x2+1）a+2x-1這樣一來，我們就把原函數(shù)構(gòu)造成一個以a為自變量的簡單的一次函數(shù)，接下來我們就可以將a看作自變量，將x看作參數(shù)進(jìn)行求解。

結(jié)語

高中的函數(shù)題目是一種很抽象的題目，這也是函數(shù)題難做的主要原因，尤其是帶有參數(shù)就更加增大了解題的難度。因此高中生應(yīng)學(xué)會靈活的運(yùn)用各種方法，將函數(shù)題變得直觀，簡單。再此之前，牢固地掌握函數(shù)基礎(chǔ)知識和性質(zhì)實(shí)際靈活解決函數(shù)問題的前提。同時，高中生應(yīng)對函數(shù)題保持一種樂于挑戰(zhàn)的心態(tài)，碰到復(fù)雜的函數(shù)題不退縮，一些靈活地轉(zhuǎn)換就可以將復(fù)雜轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵巍?/p>

【參考文獻(xiàn)】

[1]蘇美俊.高中函數(shù)探究式教學(xué)研究[D].內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2014

[2]李瑛，郭嘯.高中函數(shù)問題的數(shù)學(xué)解題要素與解題能力探究[J].開封教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，（03）：212-213

[3]曲波.淺談高中函數(shù)參數(shù)問題的解題方法[J].現(xiàn)代交際，2012，（05）：162