探索規(guī)律：知其然并知其所以然

吳文娟，江蘇省宜興市第二實驗小學(xué)辦公室主任，中學(xué)高級教師，江蘇省數(shù)學(xué)教育學(xué)會會員，江蘇省特級教師“后備班”學(xué)員，曾先后被評為無錫市優(yōu)秀教育工作者、無錫市教育系統(tǒng)優(yōu)秀共產(chǎn)黨員、無錫市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。曾獲得無錫市優(yōu)質(zhì)課評比一等獎、江蘇省優(yōu)質(zhì)課評比一等獎等獎項；參與了4項省、市級課題研究，有30余篇論文在省級以上刊物公開發(fā)表。

數(shù)學(xué)是研究模式和規(guī)律的科學(xué)。小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”中有大量的規(guī)律、公式和算法，有助于學(xué)生逐步養(yǎng)成從數(shù)學(xué)角度探索身邊事物之間的關(guān)系及變化規(guī)律，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)量關(guān)系表達(dá)出來。新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，要讓學(xué)生經(jīng)歷探索過程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，探索規(guī)律的教學(xué)過程比結(jié)果更重要。目前，讓探索規(guī)律的重點落在“探索的過程”之中已是大家的共識，那探索規(guī)律是不是僅限于“經(jīng)歷過程，獲得結(jié)果”呢？筆者認(rèn)為，知其然，還應(yīng)知其所以然，即獲得規(guī)律的同時，還要了解規(guī)律背后蘊藏的數(shù)學(xué)道理。

一、尋因：找規(guī)律為何要講“理”

一是講“理”能積累活動經(jīng)驗。探索規(guī)律要講“理”，就必須讓學(xué)生經(jīng)歷從具體現(xiàn)象進(jìn)行抽象、猜想，并對猜想進(jìn)行多方驗證的過程。在豐富多樣的探索活動中，學(xué)生積累觀察、試驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。例如，三角形的內(nèi)角和是180度，如果能夠展開探究過程，讓學(xué)生在面對已知“直角三角形內(nèi)角和是180度”的情況下大膽猜測任意三角形內(nèi)角和，再通過量一量、折一折、拼一拼、轉(zhuǎn)化成長方形、分一分等活動驗證，學(xué)生不僅能獲得三角形內(nèi)角和是180度的“理”，也從中積累了觀察、實驗、猜想驗證等重要的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

二是講“理”能溝通知識聯(lián)系。規(guī)律背后的“理”常常是以前學(xué)過的知識、定理、方法等，如果在獲得規(guī)律的同時能講明其中的道理，就會溝通知識間的聯(lián)系，將所獲規(guī)律順利納入學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如在探索小數(shù)的性質(zhì)時，教師可引導(dǎo)學(xué)生從小數(shù)的數(shù)位及計數(shù)單位來觀察小數(shù)的性質(zhì)。經(jīng)過觀察，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)：在小數(shù)的末尾添上0或去掉0，并不會改變小數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字，因而小數(shù)的大小不變。這樣說的“理”，不僅道明了知識間的聯(lián)系，而且讓學(xué)生更容易理解和接納新的規(guī)律。

三是講“理”能養(yǎng)成理性思維。數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)、嚴(yán)密的學(xué)科，它要求有條有理、有根有據(jù)地思考，注重對學(xué)生演繹推理能力的培養(yǎng)。新課改后，學(xué)生推理能力的培養(yǎng)得到了加強(qiáng)，他們經(jīng)常要經(jīng)過猜想去尋找規(guī)律，但要確認(rèn)它的真實可信就必須進(jìn)行驗證。小學(xué)階段雖然還不能用嚴(yán)格的演繹推理來證明，但培養(yǎng)學(xué)生的證明意識和理性思維習(xí)慣，與初中教學(xué)很好地接軌卻是非常重要的。因此，找規(guī)律的同時要講“理”，讓學(xué)生嘗試用舉例、實驗、推理等多種方式來驗證規(guī)律的正確或錯誤，才能使學(xué)生從小養(yǎng)成良好的理性思維習(xí)慣。

二、索果：找規(guī)律如何講“理”

1.把握最恰當(dāng)?shù)臅r機(jī)，提升探索規(guī)律的深度

（1）理為先導(dǎo)，化繁為簡。有些規(guī)律比較繁難，但背后的道理卻非常簡單。如果以“理”為魂，串成一條線，學(xué)生就能很容易地理解規(guī)律，從而起到化繁為簡的效果。例如教師在完成“一一間隔的規(guī)律”教學(xué)后，讓學(xué)生記住三種情況：兩端事物一樣，兩端事物不一樣，在封閉圖形上間隔排列。其實，有很多學(xué)生難以記住這三種不同的情況。鑒于此，教師可出示摩托車和小汽車雜亂擺放的圖片，引導(dǎo)學(xué)生利用已有的經(jīng)驗：一組組圈一圈、一一間隔排一排，比較兩種玩具的多少，自然引入“一一對應(yīng)”的比較方法，悄無聲息地滲透了這種數(shù)學(xué)思想。這樣，在接下來的探索規(guī)律中，學(xué)生就會主動利用對應(yīng)思想來理解“間隔排列”規(guī)律。

（2）術(shù)理同行，步步為營。有時探索的過程和道理的理解要同步進(jìn)行，在逐步深入的探索進(jìn)程中，對“理”的理解會越來越“明”、越來越“深”。如搭配規(guī)律背后的道理是乘法的意義，所以在每次獲得搭配結(jié)果時都要圍繞乘法的意義來理解算式的含義，為最后深刻理解字母表達(dá)式積累認(rèn)識。首先，出示三種點心和兩種飲料，如果選一種點心和一種飲料配成早餐，有多少種不同的搭配方式？教師要引導(dǎo)學(xué)生借助連線理解為什么是3×2，它表示3個2種或2個3種的意思。當(dāng)飲料增加一種時，同樣要理解3×3的意義；點心再增加一種時，要理解4×3的意義；最后如果點心有10種，飲料有8種時，不連線而引導(dǎo)學(xué)生通過意義理解列出算式，總結(jié)出搭配規(guī)律的算法。一次次溝通乘法意義和搭配規(guī)律之間的聯(lián)系，使學(xué)生在探究規(guī)律的過程中對“理”的認(rèn)識不斷加強(qiáng)，直至在對“理”完全理解的基礎(chǔ)上得出最終的規(guī)律。

（3）因術(shù)溯理，溝通聯(lián)系。有時也會在規(guī)律探究之后，通過驗證和追問“為什么”來反思和追溯規(guī)律背后隱藏的道理，這往往會將規(guī)律與以前學(xué)過的知識或經(jīng)驗聯(lián)系起來，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。例如，探索完“3的倍數(shù)的特征”后，學(xué)生都會產(chǎn)生一種疑惑：為什么2和5的倍數(shù)只要看末尾，而3的倍數(shù)卻要看各數(shù)位上數(shù)字之和呢？雖然經(jīng)歷了探究過程，但學(xué)生卻無法解開這個謎。這時，教師可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生研究“為什么”，既是順應(yīng)學(xué)生此時的疑惑心理，也是溝通3的倍數(shù)特征和除法意義最好的時機(jī)。可以出示一個具體的題目：現(xiàn)在有342個蘋果，每3個分一份，看看能不能分得正好。借助圖引導(dǎo)學(xué)生分一分，第一個1百，除以3還余1個，第2個1百除以3余1個……即百位除以3余下3個；同理，十位上除以3余下4個，個位上除以3余下5個。而342除以3是不是正好，現(xiàn)在只要看百位、十位、個位余下的蘋果總和，也就是3+4+2是不是3的倍數(shù)，即各數(shù)位上的數(shù)字之和是不是3的倍數(shù)。結(jié)合除法的意義，從分東西的角度來思考，原來復(fù)雜的道理也會讓學(xué)生有感性的認(rèn)識。

2.尋找最恰當(dāng)?shù)男问?，適應(yīng)兒童認(rèn)知水平

（1）幾何直觀，讓理可視。幾何直觀是具體、生動、看得見的，它能讓學(xué)生更容易接受和理解。如通過“和的奇偶性”一課的學(xué)習(xí)，學(xué)生知道了“偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)”“奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)”“奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”，為什么會有這樣的規(guī)律呢？教師可先出示并解釋華羅庚說過的一段話：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”，引導(dǎo)學(xué)生用畫圖來表示這三個規(guī)律。通過合作交流后獲得三幅圖（見圖1、圖2、圖3），直觀形象地說明了以上三個結(jié)論。

通過“數(shù)形結(jié)合”，使原本抽象的規(guī)律變得生動、形象了，背后隱藏的道理也變得“看得見、摸得著”了。

（2）演繹推理，讓理可證。探索規(guī)律常常起始于對現(xiàn)象的觀察、比較、歸納、類比，通過合情推理提出猜想，再通過演繹推理驗證猜想。在這里，演繹推理不僅可以證明規(guī)律是否正確，也可以揭示“為什么有這樣的規(guī)律”。例如，六年級下冊探究“面積的變化規(guī)律”一課，學(xué)生通過畫圖、舉例、計算，發(fā)現(xiàn)無論是長方形、正方形、平行四邊形、梯形、三角形還是圓，若圖形按3∶1放大，那放大后圖形的面積與原圖形面積的比就是9∶1，于是猜想圖形按n∶1放大，那放大后圖形的面積與原來圖形的面積比是n2∶1。為什么會有這樣的規(guī)律，可以引導(dǎo)學(xué)生通過演繹推理來證明。如長方形放大前：a×b，放大后：na×nb，放大后與放大前的面積比是■=■=■。

按教材要求只需用具體的數(shù)計算得出規(guī)律，這樣學(xué)生就看不到1的實質(zhì)是1的平方。用演繹推理來證明其中的道理，不僅讓結(jié)論變得更可信，也為結(jié)論的推廣提供了有力的經(jīng)驗支撐。

（3）實驗操作，讓理可信。數(shù)學(xué)實驗是為了檢驗數(shù)學(xué)事實或驗證數(shù)學(xué)猜想而進(jìn)行的一系列數(shù)學(xué)操作或數(shù)學(xué)活動。有些規(guī)律之“理”很難證明，或證明所用知識超出了學(xué)生的認(rèn)知水平，而數(shù)學(xué)實驗恰好是一種可信的說理方法。如探索“三角形內(nèi)角和”時，首先讓學(xué)生計算三角板的內(nèi)角和，初步得到猜想：等腰直角三角形三個內(nèi)角和是180度，那其他直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和呢？學(xué)生首先想到了測量，結(jié)果發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)均不相同，但接近180度。鑒于測量方法有誤差，不夠嚴(yán)謹(jǐn)，故教師可引導(dǎo)學(xué)生用撕角拼一拼、折角拼一拼的辦法。但撕、拼的過程中仍會不準(zhǔn)確，這時學(xué)生一時難以想到，教師意在引導(dǎo)學(xué)生借助長方形，將長方形分成兩個完全相同的直角三角形。反之，任意兩個完全相同的直角三角形可以拼成一個長方形，這可以證明每個直角三角形的內(nèi)角和就是“360÷2=180”度；任意一個銳角三角形、鈍角三角形也可以分成兩個直角三角形。

在一個比一個精確的數(shù)學(xué)實驗中，學(xué)生越發(fā)確信結(jié)論的正確，同時也體會到數(shù)學(xué)實驗也是要講究科學(xué)性和精確性的。

三、結(jié)束語

綜上所述，新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)探索規(guī)律要讓學(xué)生親自經(jīng)歷探索的過程，對是否揭示規(guī)律背后的“理”不作要求，但教師不能對隱藏在規(guī)律背后的“理”視而不見，而應(yīng)利用恰當(dāng)?shù)姆绞?，在合適的時機(jī)揭示規(guī)律背后的基本概念、原理、方法、思想，讓學(xué)生知其然并知其所以然。這既是數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的要求，也是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展的要求，更是追求有深度的課堂的要求。

參考文獻(xiàn)（編者略）

（責(zé)任編輯 郭向和）