用點的坐標與坐標法研究圖形

田載今

你知道如何表示點的位置嗎？下面跟著田老師看一看吧。

1.用坐標表示點的位置。

幾何學(xué)研究圖形的形狀、大小和位置。幾何圖形是按“點-線-面-體”的順序由簡單到復(fù)雜發(fā)展的。點是構(gòu)成圖形的最基本的元素，在研究它時，一般只考慮位置，不考慮大小。如何準確無誤地描述點的位置？這是幾何學(xué)中的一個基本問題。

如圖1，在線段AB上有點C，D，E，怎樣準確地說出它們的位置呢？我們可以量出點C，D，E到線段一端點A的距離，如果距離分別為C，d，e，那么可以說點C，D，E在線段AB上且到點A的距離分別為c，d，e。

我們知道數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)，所以要表示數(shù)軸上某個點的位置，只要說出這個點所對應(yīng)的實數(shù)即可。因此。要表示一條確定直線上的點的位置，只要在這條直線上建立數(shù)軸。即確定正方向、原點和單位長度。直線上的每一點就都有了對應(yīng)的數(shù)值。

如圖2，一張長方形紙上有點P，O，R，怎樣準確地說出它們的位置呢？這些點都在同一平面上，但不都在同一直線上，只用一條數(shù)軸已無法表示它們的位置。于是有了用兩條數(shù)軸解決問題的方法。

如圖3，以紙上某定點為原點O。先畫一條水平的數(shù)軸，取向右為正方向，記作x軸；過原點O再畫一條豎直的數(shù)軸，也以點O為原點，取向上為正方向，記作y軸。這就組成一個平面直角坐標系。從點P分別向x軸和y軸作垂線，垂足分別對應(yīng)x軸上的數(shù)a和y軸上的數(shù)b，這樣點P與有序?qū)崝?shù)對（a，b）對應(yīng)起來。（a，b）是點P的坐標，它以數(shù)量方式表示點P在紙上的位置。按照這種方法。點Q，R的位置也可表示出來。

在一個平面上，像上面那樣建立平面直角坐標系后。平面上任一點都有一個有序?qū)崝?shù)對（x，y）與之對應(yīng)，而且不同的點所對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對也不同；反過來，任一確定的有序?qū)崝?shù)對（x，y）在平面上只對應(yīng)唯一的點。因此，有序?qū)崝?shù)對與平面上的點一一對應(yīng)。

在教室里隨意選取點P，Q，R（它們可能在地面或墻壁或頂棚或空中），怎樣準確地說出它們的位置呢？這些點不一定都在同一直線或同一平面上，只用一條或兩條數(shù)軸已無法表示它們的位置，于是有了用三條數(shù)軸解決問題的方法。

如圖4，以教室內(nèi)某定點為公共原點O，畫三條兩兩垂直（如同長方體同一頂點處的三條棱）的數(shù)軸，分別記作x軸，y軸和x軸，這就組成一個空間直角坐標系。從點P分別向三條坐標軸作垂線，垂足分別對應(yīng)x軸上的數(shù)a，y軸上的數(shù)b和z軸上的數(shù)c，這樣點P與有序?qū)崝?shù)組（a，b，c）對應(yīng)起來。（a，b，c）是點P的坐標，它以數(shù)量方式表示點P在教室中的位置。按照這種方法，點Q，R的位置也可表示出來。

在空間中，像上面那樣建立空間直角坐標系后，空間中任一點都有一個有序?qū)崝?shù)組（x，y，zz）與之對應(yīng)，而且不同的點所對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組也不同；反過來，任一確定的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）在空間中只對應(yīng)唯一的點。因此，有序?qū)崝?shù)組與空間中的點一一對應(yīng)。

綜上可知，確定直線上點的位置時，用一條數(shù)軸組成的直線坐標系。點的坐標為一個實數(shù)，這叫作一維坐標。確定平面上點的位置時，用兩條數(shù)軸組成的平面坐標系，點的坐標為一個有序?qū)崝?shù)對，這叫作二維坐標。確定空間中點的位置時，用三條數(shù)軸組成的空間坐標系，點的坐標為一個包含三個實數(shù)的有序?qū)崝?shù)組，這叫作三維坐標?？傊c的坐標是以數(shù)量形式表示點的位置的方式。這種方式使用得很普遍，如電影票、火車票、飛機票等，都用這種方式來表示座位的位置。

2.用坐標法研究圖形。

坐標的產(chǎn)生起源于表示點的位置。但是坐標的作用并不局限于表示點的位置。數(shù)學(xué)研究的主要對象是數(shù)量關(guān)系（簡稱“數(shù)”）和空間形式（簡稱“形”），兩者密切相關(guān)。用坐標表示點的位置，為將“數(shù)”與“形”互相轉(zhuǎn)化開辟了道路。

笛卡兒是17世紀時法國的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家，他創(chuàng)立了一種研究數(shù)學(xué)的新方法——坐標法。這種方法可以使幾何問題代數(shù)化，即用坐標表示點，用關(guān)于坐標的方程表示曲線。坐標法開創(chuàng)了解析幾何這個數(shù)學(xué)分支。也為微積分的誕生創(chuàng)造了條件。有人曾這樣評價：笛卡兒坐標的出現(xiàn)，是數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點。從此運動和辯證法進入了數(shù)學(xué)。微積分的出現(xiàn)也成為必然結(jié)果。

如何用方程表示曲線（包括直線）呢？我們看個簡單的例子。如圖5，∠AOB=90°。OC是LA OB的平分線，我們要用方程表示它。以點D為原點，OA，OB所在的直線為坐標軸，建立平面直角坐標系。設(shè)射線OC上任一點P的坐標為（x，y），因為點P在∠AOB的平分線上，所以它到x軸和y軸的距離相等，并且橫、縱坐標都不會是負數(shù)。于是點P的坐標（x，y）應(yīng)滿足x=y（x≥0，y≥10）。反過來，凡是坐標（x，y）滿足方程x=y（x≥0，y≥0）的點都在射線OC上。這就是說，方程x=y（x≥0，y≥0）的解與射線OC上的點一一對應(yīng)，它們是同一對象的兩種不同的表現(xiàn)形式。