改進的洛侖茲曲線模型

莊小紅，盛世明

(上饒師范學院 經(jīng)濟與管理學院，江西 上饒 334001)

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改進的洛侖茲曲線模型

莊小紅，盛世明

(上饒師范學院 經(jīng)濟與管理學院，江西 上饒 334001)

洛侖茲曲線方程；收入分配；數(shù)值擬合

1 洛侖茲曲線的描述

1905年，美國統(tǒng)計學家M.O.洛侖茲按收入從低到高對全國人口進行排序，并依次計算出占該序列人口向上累計百分比對應的收入百分比。例如，某國家按收入從低到高排序后20%人口，40%人口，60%人口……對應的收入百分比分別是0.5%，6%，20%……，并將二者的對應關(guān)系繪制到圖形上，所得曲線即為洛侖茲曲線[1]。將按收入從低到高排序后的人口向上累計頻率繪制成橫軸OH，對應的收入累計頻率繪制成縱軸OM，繪制后圖形一般為一條下凸曲線，如圖1中曲線a、b所示。觀察兩條曲線，我們發(fā)現(xiàn)二者的彎曲程度明顯不一樣——b曲線較a曲線而言更彎曲，具體可描述為：對于同一人口累計頻率，a曲線上對應的收入百分比大于該人口累計頻率在b曲線上對應的收入百分比，即a曲線較b曲線具有更均等的收入分配。由此我們可知，彎曲程度越大的洛侖茲曲線，其所表示的收入分配情況越不均等。圖示上還有兩條更為極端的曲線：OL直線和OHL折線。直線OL表示收入分配完全均等，國民享有完全一樣的收入；折線OHL表示收入分配完全不平等，資本完全集中在一人手中。

圖1 洛侖茲曲線圖

2 洛侖茲曲線方程

設經(jīng)濟系統(tǒng)中的人口按收入從高到低進行了排序，記p∈[0,1]是低收入端的累計人口比例，記

L(p)∈[0.1]為該人口擁有的總收入比例，稱由此定義的函數(shù)：

L(p):[0,1]→[0,1]

為洛侖茲曲線[2]。

記函數(shù)f(x)為收入分配的密度函數(shù)，其中x>0表示正收入。由收入分配經(jīng)驗分析可知，收入分配曲線一般是正偏的，即峰值點向左偏，右端拖一個長尾巴。記收入分配密度函數(shù)f(x)對應的分布函數(shù)為F(x)，則有p=F(x)，其表示收入不超過x的人口比例。由定義可知，設u為平均收入，L(p)表示收入不高于x的人口所擁有的收入比例，則

由上論述，我們可以得到，從收入分配的統(tǒng)計分布出發(fā)可以得到相應的洛侖茲曲線，反之，若洛侖茲曲線已知且二次可微，則可以得到其對應的收入分配統(tǒng)計分布。由此我們可以得到曲線L(p)是洛侖茲曲線的充分必要條件為：

L(0)=0，L(1)=1，L'(p)≥0，L''(p)≥0

即洛侖茲曲線L(p)在單位正方形內(nèi)為凸增曲線。

利用洛侖茲曲線可以對收入分配的均等程度進行直觀的分析，即洛侖茲曲線的位置越高，其對應的收入分配越平等。在洛侖茲曲線的基礎上，意大利統(tǒng)計學家基尼1912年提出基尼系數(shù)，該系數(shù)是用于判斷收入分配的差異狀況，用符號G表示，其定義為：

到目前為止，主要通過三種方法來確定洛侖茲曲線方程：幾何計算法，間接擬合法和曲線擬合法。實際上，不論利用哪種方法去計算洛侖茲曲線都是不易的。幾何計算法是根據(jù)數(shù)據(jù)資料所顯示的特征去選擇適當?shù)膸缀螆D形(主要是矩陣)去近似逼近計算p在各個點處L(p)的值，因此它無法獲取洛侖茲曲線方程。但可以利用幾何計算法計算求解基尼系數(shù)，但由于逼近過程中圖形的割舍會導致所計算出的基尼系數(shù)比實際數(shù)值要小，這一情況在數(shù)據(jù)量較少的時候尤為明顯。間接擬合法是利用數(shù)據(jù)資料首先擬合求解出收入分配的密度函數(shù)，再根據(jù)洛侖茲曲線方程L(p)的計算方程式求解出來。這一方法在理論上是成立的，但由于密度函數(shù)計算的復雜性而在實際操作中很少用到。間接擬合法是根據(jù)數(shù)據(jù)資料所描繪的圖像特征選擇適當?shù)暮瘮?shù)曲線(如二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)等)去直接擬合洛侖茲曲線。由于該方法在實際操作中簡便易行，所以被廣泛使用，但在計算過程中要考慮擬合精度的要求。

查閱相關(guān)文獻可以知道利用第三種方法，學者們已獲取得到基本的洛侖茲曲線模型有[2-5]：

L1(p)=p；

3 改進的洛侖茲曲線模型

在構(gòu)造新的洛侖茲曲線之前，我們先來看洛侖茲曲線滿足的基本性質(zhì)。

定理3.1 構(gòu)造如下函數(shù)：

且因為L(p)滿足L'(p)≥0，則

又L''(p)≥0且β∈(0，1]，則β-1≤0，故有

綜上，定理得證。

下面定理3.2將證明該模型Lλ1，λ2(p)滿足洛侖茲曲線的條件。

定理3.2 函數(shù)模型Lλ1，λ2(p)為洛侖茲曲線當且僅當λ1>0，λ2>0且λ2+λ1λ2pλ2-1≥0。

證明：模型Lλ1，λ2(p)為洛侖茲曲線的充分必要條件為：

其次，對模型Lλ1，λ2(p)求解一階偏導數(shù)為：

則要使曲線Lλ1，λ2(p)的一階及二階偏導數(shù)均大于或等于零的充分必要條件是：

λ1>0，λ2>0且λ2+λ1λ2pλ2-1≥0

定理得證。

注記3.1 當λ2=1時，Lλ1，λ2(p)退化為曲線Lλ(p)。

注記3.2 當λ1→0，λ2=1時，Lλ1，λ2(p)→L1(p)=p。

定理3.3 結(jié)合定理3.1和定理3.2，我們易得到如下函數(shù)也滿足洛侖茲條件：

即曲線L(p)為洛侖茲曲線。

4 數(shù)值模擬

在上一節(jié)中我們確定了本文所要研究的洛侖茲曲線L(p)，下面我們將通過對比該洛侖茲曲線與原有10種洛侖茲曲線的均方誤差、平均絕對誤差以及最大絕對誤差等來分析該洛侖茲曲線的準確性和科學性。下面我們先給出均方誤差、平均絕對誤差、最大絕對誤差的公式，并稱其為判定洛侖茲曲線擬合精度的“三個標準”。

(1)均方誤差(MSE，mean squared error)：

(2)平均絕對誤差(MAE，mean absolute error)：

(3)最大絕對誤差(MAS，maximum absolute error)：

對新構(gòu)造的洛侖茲曲線L(p)以及第2部分所提及的洛侖茲曲線，對表1數(shù)據(jù)采用最小二乘法對曲線中的參數(shù)進行估計，并分別對所有曲線的擬合效果進行分析，將所得結(jié)果列于表2。

表1 收入分配分組數(shù)據(jù)

表2 洛侖茲曲線擬合精度的“三標準”

[1] 張奎,王原君,SARABIA J.洛侖茲曲線模型的推廣[J].應用數(shù)學,2010,23(3):501-507.

[2] FOSTER J,WOLFSON M.Polarization and the decline of the middle class[J].Canada and the U S Journal of Economic Inequality,2009,8(2):247-273.

[3] WANG Z X,SMYTH R.A hybrid method for creating Lorenz curves with an application to measuring world income inequality[J].Business and Economics,2013,46(13):4-21.

[4] WANG Z X,SMYTH R.A general method for creating Lorenz curves[J].The Review of Income and Wealth,2011,57(3):561-582.

[5] BLACKBURN M L,BLOOM D E.What is happening to the middle class?[J].American Demographics,1969,7(1):19-25.

The Improvement Model of Lorenz Curve

ZHUANG Xiaohong, SHENG Shiming

(School of Economics and Business Management,Shangrao Normal University, Shangrao Jiangxi 334001, China)

Lorenz curve equation; income distribution; numerical simulation

2016-11-16

上饒師范學院青年科研基金項目(2014-11-14)

莊小紅(1987-)，女，福建泉州人，助教，碩士，主要從事統(tǒng)計學研究。E-mail:304623577@qq.com

TU352.11

A

1004-2237(2017)03-0039-05

10.3969/j.issn.1004-2237.2017.03.008