基于混合模式的BA無標度網(wǎng)絡(luò)同步研究

李 云，宋運忠

(河南理工大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院，河南 焦作 454000)

0 引言

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)廣泛存在于自然界和社會中，物流網(wǎng)絡(luò)、交通運輸網(wǎng)、電力傳輸網(wǎng)、基因網(wǎng)絡(luò)、互聯(lián)網(wǎng)以及通信網(wǎng)絡(luò)等都屬于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[1-6]?，F(xiàn)實中，許多復(fù)雜系統(tǒng)可以看作是由多個相互作用的節(jié)點構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是復(fù)雜系統(tǒng)的一種抽象，以抽象的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來研究復(fù)雜系統(tǒng)，不僅可以深入了解復(fù)雜系統(tǒng)的拓撲結(jié)構(gòu)，還可以深入研究復(fù)雜系統(tǒng)的集體動力學(xué)行為，這對認識以及研究社會和自然界中的各種復(fù)雜系統(tǒng)具有非常重要的意義。同步現(xiàn)象作為復(fù)雜系統(tǒng)集體動力學(xué)行為中一種特殊的表現(xiàn)形式，廣泛存在于各類復(fù)雜系統(tǒng)中[7-8]，而且系統(tǒng)不同，同步的意義也會有所不同，有的同步對系統(tǒng)產(chǎn)生積極的影響，而有的同步則對系統(tǒng)產(chǎn)生消極的影響。網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)對同步特性有很大的影響[9-16]，所以復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步特性與拓撲結(jié)構(gòu)關(guān)系的研究也引起了廣大學(xué)者的關(guān)注。

研究發(fā)現(xiàn)許多實際網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點度分布函數(shù)具有冪律形式，這類網(wǎng)絡(luò)被稱為無標度網(wǎng)絡(luò)。因為BA無標度網(wǎng)絡(luò)的泛在性，它的同步現(xiàn)象引起學(xué)者們極大的興趣[17-23]。文獻[24]基于同步判據(jù)研究了BBV加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的度分布異質(zhì)性、連接密度和網(wǎng)絡(luò)同步能力之間的關(guān)系，給出了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)新的測度——連接密度。文獻[25]運用非線性系統(tǒng)理論、穩(wěn)定性理論等研究了無標度網(wǎng)絡(luò)的同步過程，在網(wǎng)絡(luò)的每個節(jié)點上引入非線性動態(tài)方程，從而判斷節(jié)點是否能同步，研究結(jié)果表明，度的不均勻分布性不僅導(dǎo)致無標度網(wǎng)絡(luò)的同步性能下降，而且使得它的同步過程具有分層過渡的特點。文獻[26]研究了連續(xù)時間動態(tài)無標度網(wǎng)絡(luò)的同步問題，提出了最優(yōu)同步的拓撲模型。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步研究和多智能體系統(tǒng)一致性研究幾乎同步開展，兩者相互促進。文獻[27]引入了一個新的概念，以統(tǒng)一的方式解決了多智能體系統(tǒng)的一致性和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題。文獻[28]研究了集群網(wǎng)絡(luò)的一致性問題，運用圖論，線性矩陣不等式，李雅普諾夫函數(shù)討論了系統(tǒng)的線性一致協(xié)議，給出了系統(tǒng)達到一致的充要條件，并分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，收斂速度，衰減率。文獻[29]研究了一類多智能體系統(tǒng)在牽制控制下的群一致性問題，提出了融合群內(nèi)信息交互、群間信息交互和牽制控制器的一致性協(xié)議。對固定拓撲下的二群組智能體系統(tǒng)和切換拓撲下的多群組智能體系統(tǒng)，利用穩(wěn)定性理論和圖論分別給出了適用于任意拓撲結(jié)構(gòu)的充要條件，使得智能體系統(tǒng)在所提協(xié)議和牽制控制器的聯(lián)合作用下實現(xiàn)預(yù)期的群一致。受以上文獻的啟發(fā)，本文擬將文獻[28]中多智能體的復(fù)位算法用于BA無標度網(wǎng)絡(luò)的同步研究。在本文中把BA無標度網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點分成多個集群，每個集群中都有一個特殊的節(jié)點，被稱作領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點，其它節(jié)點均為跟隨節(jié)點。定義第一個集群內(nèi)有且僅有一個節(jié)點，且只與其它集群的領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點進行群間信息交互，故稱其為虛擬領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點，命名為0號虛擬領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點；除第一個集群外，其它集群內(nèi)均包含多個節(jié)點，每個集群的領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點不僅與其它集群的領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點進行群間信息交互還與該集群的跟隨節(jié)點進行群內(nèi)信息交互，故稱之為實體領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點。也就是說，我們設(shè)計了混合模式的領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點來共同解決BA無標度網(wǎng)絡(luò)的同步問題。假設(shè)該BA無標度網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)是固定不變的(至少BA無標度網(wǎng)絡(luò)會在一個確定的時間段內(nèi)保持一定的拓撲結(jié)構(gòu)，進而對應(yīng)確定的功能，故該種假設(shè)是有意義的)，用實數(shù)值表示每個節(jié)點的狀態(tài)，每個集群內(nèi)部的節(jié)點之間以相同的權(quán)重相互作用，每個節(jié)點的狀態(tài)值連續(xù)不斷地變化，設(shè)計準周期的離散控制器對所有的領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點進行復(fù)位，并假設(shè)復(fù)位行為發(fā)生在特殊的時刻，多個時刻則構(gòu)成了準周期復(fù)位序列。在復(fù)位時刻，由領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點完成群間信息交互，并更新各領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點的狀態(tài)值；在非復(fù)位時刻，同一個集群內(nèi)的節(jié)點進行群內(nèi)信息交互，并逐漸達到集群內(nèi)部的同步，不斷重復(fù)這個過程，最終BA無標度網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點達到同步，且網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點同步后的狀態(tài)值只與各個節(jié)點的初始狀態(tài)值和網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)有關(guān)。本文中的準周期離散控制器與文獻[29]中的牽制控制器是不同的，本文中對領(lǐng)導(dǎo)者的復(fù)位作用只發(fā)生在復(fù)位時刻瞬間，該作用是準周期離散的，而文獻[29]中對部分節(jié)點施加的控制作用持續(xù)在整個一致性過程中。相較于文獻[29]，本文中控制器的優(yōu)點在于：可以更加節(jié)約網(wǎng)絡(luò)資源以及能量；同時，由于減少了一部分節(jié)點之間的通訊量，所以在一定程度上提高了網(wǎng)絡(luò)的安全性。

BA無標度網(wǎng)絡(luò)廣泛存在于社會和自然界中，其拓撲結(jié)構(gòu)的嚴重不均勻分布性影響著整個網(wǎng)絡(luò)的集體動力學(xué)行為。有很多實際的網(wǎng)絡(luò)背景與BA無標度網(wǎng)絡(luò)相對應(yīng)，因此對它的研究具有重要的理論意義和現(xiàn)實意義。

1 問題描述

用有向圖G=(V,E)描述BA無標度網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)，頂點集V表示一組節(jié)點，邊集E?V×V表示它們之間的相互作用關(guān)系。如果圖G中任意兩個節(jié)點之間至少存在一條路徑，那么就稱該圖是強連通圖。

本文主要研究基于混合模式的BA無標度網(wǎng)絡(luò)的同步問題。把BA無標度網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點分成m+1個強連通集群β0,β1，…βm，并假設(shè)集群β0中有且僅有一個節(jié)點，且定義為0號領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點l0。每個集群都有一個特殊的節(jié)點，被稱作領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點，在下文中用li∈βi,?i∈{0,1,…,m}表示，剩余的節(jié)點稱作跟隨節(jié)點，用fj表示。領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點的集合為L={l0,l1,…,lm}，其中l(wèi)0只與其它的領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點之間有信息交互，故稱其為虛擬領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點；tk,k≥1不僅與集群的領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點之間有信息交互，還與該集群的跟隨節(jié)點有信息交互，故稱之為實體領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點；即運用了混合模式的領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點研究了無標度網(wǎng)絡(luò)的同步問題。在規(guī)定的時刻瞬間tk,k≥1(稱之為復(fù)位時刻)，多個領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點按照預(yù)先設(shè)定的相互關(guān)系圖El?L×L相互作用。為了表達簡潔清晰，我們認為領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點是集群的第一個元素，具體表示方法如下：

β0={l0}

βi={li,fmi-1+2,…,fmi},?i∈{1,…,m}

(1)

其中，m0=0,mm=n。上述的表示方法可以簡潔明了地看出該網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點總數(shù)為n+1。

例1 舉例說明式(1)，一個簡單BA無標度網(wǎng)絡(luò)有4個節(jié)點，其網(wǎng)絡(luò)拓撲圖如圖1所示，從圖中可以看出β0中有且只有一個節(jié)點，β1中有3個節(jié)點，表示為：β0={l0},β1={l1,f2,f3}。其中l(wèi)0、l1為領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點，f2、f3為跟隨節(jié)點，具體分類如表1所示。由圖1可看出群內(nèi)信息交互和群間信息交互的方式是不同的，在非復(fù)位時刻，集群β1，…βm內(nèi)的節(jié)點在拉普拉斯矩陣L的作用下進行群內(nèi)信息交互，并逐漸達到集群內(nèi)部的同步，在復(fù)位時刻，隨機矩陣Pl對所有的領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點復(fù)位，以此來完成群間信息交互。

圖1 示例網(wǎng)絡(luò)拓撲圖

虛擬領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點實體領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點跟隨節(jié)點l0l1f2 f3

用線性復(fù)位系統(tǒng)描述全部的網(wǎng)絡(luò)動態(tài)：

(2)

(3)

(4)

其中，L(i,j)用來表示集群內(nèi)部的節(jié)點之間相互作用時，節(jié)點i狀態(tài)修正過程中對節(jié)點j的狀態(tài)作用的權(quán)重。Pl (i,j)用來表示所有的領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點之間相互作用時，節(jié)點i狀態(tài)修正過程中對節(jié)點j的狀態(tài)作用的權(quán)重。

而且拉普拉斯矩陣L具有以下對角矩陣的結(jié)構(gòu)：

(5)

其中，Li1(n+1)i=0(n+1)i且Pl1m+1=1m+1。由于βi,i=0,1,…,m和Gl是強連通的，0和1分別是每一個Li和Pl的簡單特征值。

2 同步行為

假設(shè)該類BA無標度網(wǎng)絡(luò)中拓撲結(jié)構(gòu)固定不變，且集群內(nèi)部的節(jié)點之間相互作用的權(quán)值固定為1，用一個實數(shù)值表示網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點的狀態(tài)，設(shè)計合理的控制法則，使BA網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點狀態(tài)都達到同步。

介紹以下兩個向量：

(6)

(7)

其中，x*(t)是時變的階躍函數(shù)，x*(t)=x*(k) ?t∈(tk,tk+1)。

命題1系統(tǒng)(2)的L和pl分別由(3)(4)定義，故：

uTx*(t)=uTx*(0)， ?t∈R+

(8)

說明：

x*(t)=Wx(t) ?t∈R+Τ。

(9)

既然wi=(wil,wif)，在此定義一個置換矩陣T,且WTT=U=(U1,U2)。矩陣U1是相當于領(lǐng)導(dǎo)者wi,l的對角矩陣，矩陣U2是相當于跟隨節(jié)點wi,f的塊對角矩陣，即：

(10)

(11)

故式(9)可以寫成

x*(t)=WTTx(t)=U·(xl(t),xf(t))

(12)

故

(13)

公式(13)左右兩邊同時乘t∈(tk,tk+1)，由uTU1=vT和vTPl=vT得到：

(14)

由注釋1可知對?t∈(tk,tk+1)，x*(t)都保持穩(wěn)定，有：

uTx*(t)=uTx*(0) ?t∈R+

(15)

推論1系統(tǒng)(2)的L和Pl分別由(3)、(4)定義，假設(shè)BA網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點的狀態(tài)都達到同步，且所有節(jié)點同步后的最終狀態(tài)是：

(16)

注釋2網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點同步后的最終狀態(tài)僅與系統(tǒng)矩陣的L，Pl相關(guān)，與復(fù)位序列Τ無關(guān)。

3 仿真結(jié)果與分析

假設(shè)一個BA無標度網(wǎng)絡(luò)，共有11個節(jié)點，分為兩個集群β0、β1，集群β0內(nèi)有且僅有一個節(jié)點，集群β1中有十個節(jié)點。根據(jù)節(jié)點的度，可以把集群β1中的節(jié)點分為4類：度為1的節(jié)點：①；度為3的節(jié)點：⑧、⑨、⑩；度為4的節(jié)點：②、③、⑥、⑦；度為8的節(jié)點：④、⑤。其網(wǎng)絡(luò)拓撲圖如圖2所示，其中圖a中假設(shè)①號節(jié)點為集群β1的領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點且其度為1；圖b中假設(shè)⑧號節(jié)點為集群β1的領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點且其度為3；圖c中假設(shè)②號節(jié)點為集群β1的領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點且其度為4；圖d中假設(shè)④號節(jié)點為集群β1的領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點且其度為8。圖2中四種情況對應(yīng)的節(jié)點分類如表2所示。

復(fù)位序列由δ= 0.5,δ'k在Δ=[0,0.2]上任意選取給定。網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的初始條件為x(0)=[2,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14]。

圖2 11個節(jié)點的BA無標度網(wǎng)絡(luò)拓撲圖

虛擬領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點實體領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點跟隨節(jié)點012 3 4 5 6 7 8 9 10

b 實體領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點為⑧號節(jié)點

c 實體領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點為②號節(jié)點

d 實體領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點為④號節(jié)點

由于BA無標度網(wǎng)絡(luò)中拓撲結(jié)構(gòu)固定不變，且集群內(nèi)部節(jié)點之間相互作用的權(quán)值相同，所以定義系統(tǒng)(2)中的L、Pl為以下值：

(17)

圖3 BA無標度網(wǎng)絡(luò)同步過程圖

網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點的同步過程如圖3所示，領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點分為虛擬領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點(Virtual Leader)和實體領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點(Entity Leader)，由圖中可以看出在復(fù)位時刻，虛擬領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點和實體領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點進行群間信息交互，領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點的狀態(tài)均發(fā)生了狀態(tài)轉(zhuǎn)移即進行了復(fù)位，且該行為是間斷的；當不在復(fù)位時刻時，集群內(nèi)部節(jié)點進行群內(nèi)信息交互，且該行為是持續(xù)的。其中圖3a中①號節(jié)點為集群β1的實體領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點，該節(jié)點的度為1；圖3b中⑧號節(jié)點為集群β1的實體領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點，該節(jié)點的度為3；圖3c中②號節(jié)點為集群β1的實體領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點，該節(jié)點的度為4；圖3d中④號節(jié)點為集群β1的實體領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點，該節(jié)點的度為8；對比以上4張圖可以看出，BA無標度網(wǎng)絡(luò)的同步速度與實體領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點的度有關(guān)，從仿真結(jié)果來看，實體領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點的度越高其同步速度越快。

4 結(jié)論

本文根據(jù)代數(shù)圖論和控制理論研究了基于混合模式的BA無標度網(wǎng)絡(luò)的同步問題。首先，用集群網(wǎng)絡(luò)表示BA無標度網(wǎng)絡(luò)，把BA無標度網(wǎng)絡(luò)劃分成幾個相互之間不連通的集群，每個集群內(nèi)部都有一個受外界控制的節(jié)點，被稱為領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點，領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點從形式上分為虛擬領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點和實體領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點，提出了混合模式領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點的概念。然后，運用圖論中的有向圖描述了BA無標度網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)，用實數(shù)值表示網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點的狀態(tài)，并給出了網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的一階動力學(xué)模型，設(shè)計了準周期的離散控制器，控制BA無標度網(wǎng)絡(luò)的同步過程。最后，用11個節(jié)點組成的BA無標度網(wǎng)絡(luò)進行計算機仿真，闡釋了同步理論的正確性，并分析了網(wǎng)絡(luò)的同步速度與實體領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點度之間的關(guān)系，從仿真結(jié)果來看，實體領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點的度越高其同步速度越快。

[1]李靖,張永安. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論在物流網(wǎng)絡(luò)研究中的應(yīng)用[J]. 中國流通經(jīng)濟,2011,25(5):38-42.

Li Jing, Zhang Yongan. The Consideration on quantitative positioning of performance evaluation and the choice [J]. China Business and Market, 2011, 25(5):38-42.

[2]徐鳳,朱金福,楊文東. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在交通運輸網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用研究綜述[J]. 復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué),2013,2(1):18-25.

Xu Feng, Zhu Jinfu, Yang Wendong. The complex networks application in transportation networks: a survey [J]. Complex Systems and Complexity Science, 2013, 2(1):18-25.

[3]蔡澤祥,王星華,任曉娜. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論及其在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用研究綜述[J]. 電網(wǎng)技術(shù),2012,36(11):114-121.

Cai Zexiang, Wang Xinghua, Ren Xiaona. A review of complex network theory and its application in power systems [J]. Power System Technology, 2012, 36(11):114-121.

[4]王歡. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論在疾病研究中的應(yīng)用[J]. 高教學(xué)刊,2015,(20):36-38.

Wang Huan. The complex networks application in disease research [J].Journal of Higher Education, 2015, (20):36-38.

[5]許丹,李翔,汪小帆. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論在互聯(lián)網(wǎng)病毒傳播研究中的應(yīng)用[J]. 復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué),2004,1(3):10-26.

Xu Dan, Li Xiang, Wang Xiaofan. Application of complex network theory to the study of virus spreading on the internet [J]. Complex Systems and Complexity Science, 2004, 1(3):10-26.

[6]徐玉章,朱磊,張力. 基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的軍事通信網(wǎng)信息傳播模型[J]. 軍事通信技術(shù),2015,8(2):40-44.

Xu Yuzhang, Zhu Lei, Zhang Li. Information diffusion model of military communication network based on complex network theory [J]. Journal of Military Communications Technology, 2015, 8(2):40-44.

[7]豐俊妍,李文學(xué),王克. 網(wǎng)絡(luò)上復(fù)雜耦合系統(tǒng)的同步[J]. 黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報,2014,31(3):281-286.

Feng Junyan, Li Wenxue, Wang Ke. The synchronization of complex coupled systems on networks [J]. Journal of Natural Science of Hei long jiang University, 2014, 31(3):281-286.

[8]蔣國平,樊春霞,宋玉蓉,等. 復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步控制及其在信息物理系統(tǒng)中的應(yīng)用[J]. 南京郵電大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2010,30(4):41-51.

Jiang Guoping, Fan Chunxia, Song Yurong, et al. Synchronization and control of complex dynamical networks with applications in cyber-phy-sical systems [J]. Journal of Nanjing University of Posts and Telecommunications (Natural Science), 2010, 30(4):41-51.

[9]陳姚, 呂金虎. 復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步[J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué), 2009, 29(10):1419-1430.

Chen Yao, Lv Jinhu. Finite time synchronization of complex dynamical networks [J]. Journal of Systems Science and Mathematical Sciences, 2009, 29(10):1419-1430.

[10] Xu Y H, Zhou W N, Zhang J C, et al. Topology identification of complex delayed dynamical networks with multiple response systems [J]. Nonlinear Dynamics, 2017, 88(4):2969-2981.

[11] Khanzadeh A, Pourgholi M. Fixed-time sliding mode controller design for synchronization of complex dynamical networks [J]. Nonlinear Dynamics, 2017, 88(4):2637-2649.

[12] Dai H, Chen W, Jia J, et al. Exponential synchronization of complex dynamical networks with time-varying inner coupling via event-triggered communication[J]. Neurocomputing, 2017, 245(5):124-132.

[13] 張崢,朱炫穎. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步控制的研究進展[J]. 信息與控制,2017,46(1):103-112.

Zhang Zheng, Zhu Xuanying. Recent progress in the synchronous control of complex networks [J]. Information and Control, 2017, 46(1):103-112.

[14] 劉洲洲,王福豹. 一種能耗均衡的無線傳感器網(wǎng)絡(luò)加權(quán)無標度拓撲研究[J]. 物理學(xué)報, 2014, 63(19):51-58.

Liu Zhouzhou, Wang Fubao. Research on weighted scale-free topology with balancing energy consumption characteristics in wireless sensor networks [J]. Acta Phys Sin, 2014, 63(19):51-58.

[15] 鄧宏鐘,吳俊,李勇,等. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)抗毀性影響研究[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2008,30(12):2425-2428.

Deng Hongzhong, Wu Jun, Li Yong, et al. Influence of complex network topologic structure on system invulnerability [J]. Systems Engineering and Electronics, 2008, 30(12):2425-2428.

[16] 趙永毅, 史定華. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的特征譜及其應(yīng)用[J]. 復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué), 2006, 3(1):1-12.

Zhao Yongyi, Shi Dinghua. Spectra of complex networks and its applications [J]. Complex Systems and Complexity Science, 2006, 3(1):1-12.

[17] 章忠志,周水庚,方錦清. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)確定性模型研究的最新進展[J]. 復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué),2008,5(4):29-46.

Zhang Zhongzhi, Zhou Shuigeng, Fang Jinqing. Recent progress of deterministic models for complex networks [J]. Complex Systems and Complexity Science, 2008, 5(4):29-46.

[18] 王筱莉,趙來軍,謝婉林. 無標度網(wǎng)絡(luò)中遺忘率變化的謠言傳播模型研究[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐,2015,35(2):458-465.

Wang Xiaoli, Zhao Laijun, Xie Wanlin. Rumor spreading model with variable forgetting rate in scale-free network [J]. Systems Engineering Theory & Practice, 2015, 35(2):458-465.

[19] 何敏華,張端明,王海艷,等. 基于無標度網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)變化的輿論演化模型[J]. 物理學(xué)報,2010,59(8):5175-5181.

He Minhua, Zhang Ruiming, Wang Haiyan, et al. Public opinion evolution model with the variable topology structure based on scale free network [J]. Acta Phys Sin, 2010, 59(8):5175-5181.

[20] 焦長義,穆華平,李靜. 基于高聚集性無標度網(wǎng)絡(luò)模型的微粒群算法[J]. 復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué),2010,07(1):82-87.

Jiao Changyi, Mu Huaping, Li Jing. Particle swarm optimization with highly-clustered scale-free network model [J]. Complex Systems and Complexity Science, 2010, 07(1):82-87.

[21] 潘灶烽,汪小帆. 一種可大范圍調(diào)節(jié)聚類系數(shù)的加權(quán)無標度網(wǎng)絡(luò)模型[J]. 物理學(xué)報,2006,55(8):4058-4064.

Pan Zhaofeng, Wang Xiaofan. A weighted scale-free network model with large-scale tunable clustering [J]. Acta Phys. Sin, 2006, 55(8):4058-4064.

[22] 李增揚,韓秀萍,陸君安,等. 內(nèi)部演化的BA無標度網(wǎng)絡(luò)模型[J]. 復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué),2005,2(2):1-6.

Li Zengyang, Han Xiuping, Lu Junan, et al. A BA scale free network model with inner evolving [J]. Complex Systems and Complexity Science, 2005, 2(2):1-6.

[23] 陳禹,宗驍,郝杰,等. BA模型的三種擴展[J]. 系統(tǒng)工程學(xué)報, 2005, 20(2):120-127.

Chen Yu, Zong Xiao, Hao Jie, et al. Three extensions for BA model [J]. Journal of Systems Engineering, 2005, 20(2):120-127.

[24] 郝彬彬,井元偉, 張嗣瀛. 加權(quán)無標度網(wǎng)絡(luò)中連接密度與同步能力的關(guān)系[J]. 系統(tǒng)工程學(xué)報, 2010, 25(3):6-11.

Hao Binbin, Jing Yuanwei, Zhang Siying. Relations between link density and synchronizability in weighted scale-free networks [J]. Journal of Systems Engineering, 2010, 25(3):6-11.

[25] 孫宗海, 李德裕. 無標度網(wǎng)絡(luò)同步過程研究[J]. 計算機與數(shù)字工程, 2013, 41(7):1137-1138.

Sun Zonghai, Li Deyu. Synchronization process in scale-free networks [J]. Computer Digital Engineering, 2013, 41(7):1137-1138.

[26] Fan J, Wang X F. Synchronization in scale-free dynamical networks [J]. Physica A Statistical Mechanics & Its Applications, 2001, 349(3):443-451.

[27] Li Z K, Duan Z S, Chen G R, et al. Consensus of multi-agent systems and synchronization of complex networks: a unified viewpoint [J]. IEEE Transactions on Circuits & Systems Part I Regular Papers, 2010, 57(1):213-224.

[28] Bragagnolo M C, Rescu I C, Daafouz J, et al. Reset strategy for consensus in networks of clusters [J]. Automatica, 2016, 65(3):53-63.

[29] 宋海裕, 俞立, 胡鴻翔. 牽制控制下的多智能體系統(tǒng)群一致性[J]. 控制理論與應(yīng)用, 2012, 29(6):765-772.

Song Haiyu, Yu Li, Hu Hongxiang. Group consensus in multi-agent systems via pinning control [J]. Control Theory & Applications, 2012, 29(6):765-772.