探析數(shù)形結(jié)合在初中函數(shù)中的巧妙應(yīng)用

廣東省珠海市文園中學(xué)(519000) 趙瑩瑩

探析數(shù)形結(jié)合在初中函數(shù)中的巧妙應(yīng)用

廣東省珠海市文園中學(xué)(519000) 趙瑩瑩

著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò):“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué),形缺數(shù)時(shí)難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬(wàn)事非”.寥寥數(shù)語(yǔ)把“數(shù)形結(jié)合”說(shuō)的淋漓盡致.“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)研究的一種重要的思想方法,是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的優(yōu)質(zhì)素材.不難發(fā)現(xiàn)在歷年各地中考中考中函數(shù)的題目均占有較大的比例,從簡(jiǎn)單的選擇填空到較為復(fù)雜的中考?jí)狠S題甚至競(jìng)賽中的壓軸題,出題范圍極廣,難易程度差距較大,對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)的綜和運(yùn)用能力考查較多.

在我們的實(shí)際教學(xué)中會(huì)經(jīng)常發(fā)現(xiàn),學(xué)生往往不能全面而靈活的應(yīng)用函數(shù)的不同表征方式,使得“數(shù)”與“形”轉(zhuǎn)化通道阻塞,很難實(shí)現(xiàn)把抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)圖象,從圖象的直觀特征發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的聯(lián)系,使得問(wèn)題得以解決.為了幫助學(xué)生將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化,以及擺脫題海戰(zhàn)術(shù)的局面,引導(dǎo)學(xué)生注重“數(shù)與形”表征之間的轉(zhuǎn)化,鼓勵(lì)學(xué)生利用直觀圖形輔助解題,做到從“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個(gè)方面解決問(wèn)題,基于此,本人主要通過(guò)對(duì)近年全國(guó)各地中考的實(shí)例探究數(shù)形結(jié)合在初中函數(shù)中的巧妙應(yīng)用.

一、“以形助數(shù)”,借助形的直觀性解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

例1 (2015,青島)如圖,正比例函數(shù)y1=k1x的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2,當(dāng)y1＞y2時(shí),x的取值范圍是( )

圖1

A.x＜-2或x＞2 B.x＜-2或0＜x＜2

C. -2＜x＜0或0＜x＜2 D.-2＜x＜0或x＞2

分析:根據(jù)已知條件可以知道點(diǎn)A,B是正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn),因此這兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是-2,由函數(shù)圖象易知,當(dāng)-2＜x＜0或x＞2時(shí),正比例函數(shù)圖象比反比例函數(shù)圖象高(上),即是y1＞y2,故選D;

本題巧妙的利用“數(shù)形結(jié)合”思想,把握函數(shù)圖象越高(上),函數(shù)值越大這一規(guī)律,便可快捷而準(zhǔn)確的解決問(wèn)題.在教學(xué)中應(yīng)該把函數(shù)“圖象”與“解析式”結(jié)合起來(lái),必須強(qiáng)調(diào)“數(shù)”與“形”的關(guān)系以利于更好的探究函數(shù)之間的規(guī)律性.

圖2

例2 (2015,廣西南寧)如圖,已知經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a/=0)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=-1,下列結(jié)論中:①ab＞0,②a+b+c＞0,③當(dāng)-2＜x＜0時(shí),y＜0,正確的個(gè)數(shù)是( )

A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)

分析:本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.根據(jù)圖象可知,對(duì)稱(chēng)軸為＜0,得到ab＞0;觀察圖象知;當(dāng)x=1時(shí)y=a+b+c＞0,②正確;根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸和拋物線(xiàn)與x軸的一個(gè)交點(diǎn),得到另一個(gè)交點(diǎn)為(-2,0),當(dāng)-2＜x＜0時(shí),圖象在x軸的下方,即y＜0;故③正確;故選D.

本題中先“由形到數(shù)”,再“由數(shù)到形”,用運(yùn)動(dòng)變化的思想進(jìn)行觀察分析和化歸,巧妙地運(yùn)用圖象特征觀察圖形的變化規(guī)律,解答十分的巧妙,充分體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”的解題思想.

圖3

(1)判斷該函數(shù)圖象的另一支所在的象限,并求m的取值范圍;

(2)如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在該反比例函數(shù)位于第一象限的圖象上,點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),若△OAB的面積為6,求m的值.

分析: 本題主要考察反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì),(1)結(jié)合圖形知,反比例函數(shù)的圖象的一支位于第一象限,則另一支位于第三象限,由于該反比例函數(shù)位于第一、三象限,因此m-7＞ 0,即m ＞ 7.(2)依題意,令A(yù)(x,y),則B(x,-y),有“形”的關(guān)系:AC=BC,列出“數(shù)”的等式:S△AOB=2S△AOC,則 xy=6,即是因此m=13.

從本題中,需要注意在處理“數(shù)”的問(wèn)題時(shí),要有從“形”著手的意識(shí),直觀引發(fā)直覺(jué)促進(jìn)數(shù)學(xué)解題思路的拓展與提升,從而定位解題方向,降低問(wèn)題的難度.

二、以數(shù)助形,“數(shù)”與“形”和諧統(tǒng)一,使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)

例4 ((2013廣東))已知k1＜ 0＜ k2,則是函數(shù)y=k1x-1和y=的圖象大致是( )

分析: 對(duì)于本題,很多學(xué)生無(wú)從下手,其實(shí)老師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)k的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)考慮,當(dāng)k1＜0時(shí),一次函數(shù)經(jīng)過(guò)二、三、四象限,當(dāng)k2＞0時(shí),反比例函數(shù)過(guò)一、三象限,從而得出正確答案A.

例5 (2012江蘇揚(yáng)州市)已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn),直線(xiàn)l是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸.

(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式;

(2)設(shè)點(diǎn)P是直線(xiàn)l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);

分析: 本題為函數(shù)與平面幾何的綜合題,(1)要確定二次函數(shù)的解析式,需要構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)a,b,c的方程組:將 A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入拋物線(xiàn) y=ax2+bx+c中,得:,解得:∴拋物線(xiàn)的解析式y(tǒng)=-x2+2x+3.

圖4

(2)“以數(shù)助形,以形判數(shù)”,由圖知:A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng),那么根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性以及兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知:若連接BC,那么BC與直線(xiàn)l的交點(diǎn)即為符合條件的P點(diǎn).

如圖所示,連接BC,直線(xiàn)BC與直線(xiàn)l的交點(diǎn)為P;設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+b,將B(3,0),C(0,3)代入上式,得:解得:∴直線(xiàn)BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x+3;當(dāng)x=1時(shí),y=2,即P的坐標(biāo)(1,2).

新課程改革倡導(dǎo)學(xué)生自主探究性學(xué)習(xí),把“數(shù)形結(jié)合”落實(shí)到自主探究性學(xué)習(xí)中,能夠有效的提高學(xué)生的解題能力,達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.事實(shí)上,函數(shù)在初中階段的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是對(duì)其圖象和性質(zhì)的理解與掌握,并要求學(xué)生熟練繪制函數(shù)的圖象,學(xué)會(huì)觀察、讀取圖象中隱含的信息,來(lái)研究函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用,顯而易見(jiàn),函數(shù)圖象的分析即“數(shù)形結(jié)合”便是為已知和結(jié)論“牽線(xiàn)搭橋”,從而使得分散的條件集中化,隱含條件明顯化,難點(diǎn)分散簡(jiǎn)易化,實(shí)現(xiàn)優(yōu)質(zhì)解決問(wèn)題的目的.