二次函數(shù)綜合復習教學設計

江蘇省啟東折桂中學(226200) 顧向紅

二次函數(shù)綜合復習教學設計

江蘇省啟東折桂中學(226200) 顧向紅

初中數(shù)學教學中,二次函數(shù)的重要性不言而喻,鑒于中考復習時間緊迫,內(nèi)容繁雜,設計出典型而又高效的案例往往是教師的首要任務.作為拋磚引玉,筆者奉上二次函數(shù)綜合復習教學設計,本設計共兩課時,針對城鎮(zhèn)中學,學習基礎相對較好.若用在鄉(xiāng)村中學可適當調(diào)整.

1 知識復活

下面一段拋物線函數(shù)圖像,一:你能寫出它的解析式嗎?你用什么方法求的?和大家分享一下,說出你的理由?

(2)補全函數(shù)圖像,說出他的性質(zhì)?什么時候y＞0,Y＜0?

教學目標:掌握二次函數(shù)的表達式,體會二次函數(shù)的意義.

圖1

設計意圖:通過熟悉的基礎題幫助學生建立簡單的知識結(jié)構(gòu),呈現(xiàn)方式清新自然,不陌生,已接受,好生成,易發(fā)展.

2 經(jīng)典再現(xiàn)

(2016達州)如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a/=0)的圖象與x軸交于點A(-1,0),與y軸的交點B在(0,-2)和(0,-1)之間(不包括這兩點),對稱軸為直線x=1.下列結(jié)論:1

圖2

①abc＞0

②4a+2b+c＞0

③4ac-b2＜8a

⑤b＞c.

其中含所有正確結(jié)論的選項是( )

A.①③B.①③④

C.②④⑤D.①③④⑤

教學目標:會用數(shù)表、圖像和表達式三種表示方法來表示二次函數(shù),并會相互轉(zhuǎn)化;會畫二次函數(shù).

設計意圖:考察學生對函數(shù)圖像性質(zhì)的理解.主要針對問題有:如何選擇適當?shù)膾佄锞€以簡化計算.如何將交點B在(0,-2)和(0,-1)之間轉(zhuǎn)化為代數(shù)式.

3 求解析式

(2016無錫)已知二次函數(shù)y=ax2-2ax+c(a＞0)的圖象與x軸的負半軸和正半軸分別交于A、B兩點,與y軸交于點C,它的頂點為P,直線CP與過點B且垂直于x軸的直線交于點D,且CP:PD=2:3

圖3

圖4

教學目標:利用二次函數(shù)的圖像解決問題,體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學方法.

設計意圖:讓學生熟悉數(shù)形結(jié)合法解題,能把幾何點的意義(A,B,P)用代數(shù)坐標等價表述,解題思路略述:(1)由二次函數(shù)的解析式可求出對稱軸為x=1,過點P作PE⊥x軸于點E,所以OE:EB=CP:PD;

(2)過點C作CF⊥BD于點F,交PE于點G,構(gòu)造直角三角形CDF,利用tan∠PDB=即可求出FD,由于

(1)求A、B兩點的坐標;△CPG～△CDF,所以可求出PG的長度,進而求出a的值,最后將A(或B)的坐標代入解析式即可求出c的值.

4 經(jīng)典求面積問題

y=x2-2x-3于x軸交于AB兩點,與y軸交于C點,對稱軸交拋物線于點D,求OCDA的面積?P在AC下方拋物線的點求三角形ACP的面積?P若在BC段拋物線上的點上求面積S△BCP?

變式一:求何時P到AC距離最大?

變式二:P在x軸下方的拋物線,三角形PAC面積取何值有兩點,三點,四點?

變式三: p在拋物線上何時S△ABP=S△ABC,S△ABP=2S△ABC

圖5

圖6

圖7

教學目標:通過利用二次函數(shù)的圖像解決問題,體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學方法;樹立主動參與積極探索嘗試、猜想和發(fā)現(xiàn)的精神.

設計意圖:通過第一個求梯形面積詮釋求面積通解方法,放入梯形通過適當?shù)母钛a解決問題,同時把握核心思想割補化成直底,引入多種解法.通過合成題目進一步鞏固函數(shù)性質(zhì)如何看圖像,利用函數(shù)建模及分類討論思想滲入其中.

5 動態(tài)圖像問題組

(2015?常州)已知二次函數(shù)y=x2+(m-1)x+1,當x＞1時,y隨x的增大而增大,而m的取值范圍是( )

A.m=-1 B.m=3

C.m≤-1 D.m≥-1

(2014淄博)已知二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a＞0)其圖像過點(0,2)(8,3)則h的值可以是?

A.6 B. 5 C.4 D. 3

(2014嘉興)當-2≤x≤1時,二次函數(shù)y=-(xm)2+m2+1有最大值4,則實數(shù)m的值?

教學目標:逐步體會和認識二次函數(shù);體會從特殊函數(shù)到一般函數(shù)的過渡,注意找函數(shù)之間的聯(lián)系和區(qū)別.

設計意圖:這是有梯度學習型的題組,針對學生對動態(tài)的圖像本身的認識較為膚淺的問題,便于學生的自然理解和逐漸領悟,完成一個從靜態(tài)到動態(tài),單純到復合的知識體系,促使知識模塊化.

6 二次函數(shù)實際應用

(2016?福建龍巖)某網(wǎng)店嘗試用單價隨天數(shù)而變化的銷售模式銷售一種商品,利用30天的時間銷售一種成本為10元/件的商品售后,經(jīng)過統(tǒng)計得到此商品單價在第x天(x為正整數(shù))銷售的相關信息,如表所示:

___銷售量n(件)n=50-x___________銷售單價m(元/件)__當1≤x≤20時,m=20+1 2x__當21≤x≤30時,m=10+420 x__

(1)請計算第幾天該商品單價為25元/件?

(2)求網(wǎng)店銷售該商品30天里所獲利潤y(元)關于x(天)的函數(shù)關系式;

(3)這30天中第幾天獲得的利潤最大?最大利潤是多少?

教學目標: 利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)解決相關實際問題,靈活應用二次函數(shù).

設計意圖:考察學生對二次函數(shù)的應用;一元一次不等式的應用,同時也考察學生計算能力.

解:(1)分兩種情況

經(jīng)檢驗x=28是方程的解∴x=28

答:第10天或第28天時該商品為25元/件.

(2)分兩種情況

7 課后作業(yè)

(1)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖8所示,且P=|2a+b|+|3b-2c|,Q=|2a-b|-|3b+2c|,則P,Q的大小關系是___.

(2)(2014嘉興)當-2≤ x≤ 1時,二次函數(shù)y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,球?qū)崝?shù)m的值?

(3)(2015?天津)已知二次函數(shù)y=x2+bx+c(b,c為常數(shù)).

(I)當b=2,c=-3時,求二次函數(shù)的最小值;

(II)當c=5時,若在函數(shù)值y=l的怙況下,只有一個自變量x的值與其對應,求此時二次函數(shù)的解析式;

(III)當c=b2時,若在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下,與其對應的函數(shù)值y的最小值為21,求此時二次函數(shù)的解析式.

解: (I)當b=2,c=-3時,二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x-3=(x+1)2-4,∴當x=-1時,二次函數(shù)取得最小值-4;

(II)當c=5時,二次函數(shù)的解析式為y=x2+bx+5,由題意得,x2+bx+5=1有兩個相等是實數(shù)根,∴△ =b2-16=0,解得,b1=4,b2=-4,∴次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x2+4x+5,y=x2-4x+5;

(III)當c=b2時,二次函數(shù)解析式為y=x2+bx+b2,圖象開口向上,對稱軸為直線

圖9

(4)如圖,拋物線y=ax2+bx-5(a/=0)經(jīng)過點A(4,-5),與x軸的負半軸交于點B,與y軸交于點C,且OC=5OB,拋物線的頂點為點D.

(1)求這條拋物線的表達式;

(2)聯(lián)結(jié) AB、BC、CD、DA,求四邊形ABCD的面積;

(3)如果點E在y軸的正半軸上,且∠BEO=∠ABC,求點E的坐標.

圖10

解: (1)∵ 拋 物 線 y =ax2+bx-5與y軸交于點C,∴ C(0,-5),∴ OC = 5.∵OC=5OB,∴OB=1,又點B在x軸的負半軸上,∴ B(-1,0).∵拋物線經(jīng)過點A(4,-5)和點B(-1,0),∴,解得,∴這條拋物線的表達式為y=x2-4x-5.

(2)由y=x2-4x-5,得頂點D的坐標為(2,-9).連接AC,∵點A的坐標是(4,-5),點C的坐標是(0,-5),又 S△ABC=×4×5=10,S△ACD=×4×4=8,∴ S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=18.(3)過點C作CH⊥AB,垂足為點H.∵S△ABC=×AB×CH=10,AB=,∴ CH=在 Rt△BCH中,∠BHC=90°,BC=3,∴ tan∠CBH=.∵ 在 Rt△BOE 中,∠BOE=90°,tan∠BEO=∵ ∠BEO= ∠ABC,得,∴點E的坐標為

(5)(2016?湖北隨州?9分)九年級(3)班數(shù)學興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查整理出某種商品在第x天(1≤x≤90,且x為整數(shù))的售價與銷售量的相關信息如下.已知商品的進價為30元/件,設該商品的售價為y(單位:元/件),每天的銷售量為p(單位:件),每天的銷售利潤為w(單位:元).

____時間x(天)1____30___60__90__每天銷售量p(件)___198__140__80__20_

(1)求出w與x的函數(shù)關系式;

(2)問銷售該商品第幾天時,當天的銷售利潤最大?并求出最大利潤;

(3)該商品在銷售過程中,共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元?請直接寫出結(jié)果.

二次函數(shù)的應用;一元一次不等式的應用.

解: (1)當0≤ x≤ 50時,設商品的售價y與時間x的函數(shù)關系式為y=kx+b(k、b為常數(shù)且k/=0),∵ y=kx+b經(jīng)過點 (0,40)、(50,90),∴解得:,∴售價y與時間x的函數(shù)關系式為y=x+40;當50＜x≤90時,∴售價y與時間x的函數(shù)關系式為y=.由書記可知每天的銷售量p與時間x成一次函數(shù)關系,設每天的銷售量p與時間x的函數(shù)關系式為p=mx+n(m、n為常數(shù),且m/=0),∵p=mx+n 過點 (60,80)、(30,140),∴解得:且 x為整數(shù)),當 0≤ x≤ 50時,w=(y-30)·p=(x+40-30)(-2x+200)=-2x2+180x+2000;當50＜x≤90時,w=(90-30)(-2x+200)=-120x+12000.綜上所示,每天的銷售利潤w與時間x的函數(shù)關系式是

(2)當0≤x≤50時,w=-2x2+180x+2000=-2(x-45)2+6050,∵a=-2＜0且0≤x≤50,∴當x=45時,w取最大值,最大值為6050元.當50＜x≤90時,w=-120x+12000,∵k=-120＜0,w隨x增大而減小,∴當x=50時,w取最大值,最大值為6000元.∵6050＞6000,∴當x=45時,w最大,最大值為6050元.即銷售第45天時,當天獲得的銷售利潤最大,最大利潤是6050元.

(3)當0≤ x≤ 50時,令w=-2x2+180x+2000≥5600,即-2x2+180x-3600≥ 0,解得:30≤ x≤ 50,50-30+1=21(天);當50 ＜ x ≤ 90時,令w=-120x+12000≥ 5600,即-120x+6400≥ 0,解得:50＜x≤53,∵x為整數(shù),∴50＜x≤53,53-50=3(天).綜上可知:21+3=24(天),故該商品在銷售過程中,共有24天每天的銷售利潤不低于5600元.