公倍數(shù)與最大公倍數(shù)

張彤

應(yīng)用創(chuàng)新點(diǎn)

本節(jié)課圍繞著尾巴重新接回的5個(gè)動(dòng)畫(huà)游戲的情景，利用白板軟件強(qiáng)大的交互功能，解決“是什么”，“為什么”，“怎么求”3個(gè)數(shù)學(xué)大問(wèn)題。課堂容量大，效率高，抽象的數(shù)學(xué)概念變得清晰了。

學(xué)生在4個(gè)小動(dòng)畫(huà)游戲中猜測(cè)、驗(yàn)證、探究尾巴重新接回的次數(shù)的過(guò)程中，不是簡(jiǎn)單重復(fù)，尤其是第三次學(xué)生親手動(dòng)手操作交互軟件，提高了小組合作的效率，解決“是什么”大問(wèn)題，知道了尾巴重新接回的次數(shù)就是兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)和尾巴第一次重新接回的次數(shù)就是最小公倍數(shù)的概念。

面對(duì)4組數(shù)據(jù)，深入思考“圖形的邊數(shù)不相同，轉(zhuǎn)的次數(shù)滿足什么條件，尾巴就接回呢？”，體驗(yàn)到了探究的樂(lè)趣，解決了“為什么”的問(wèn)題。舉例說(shuō)明生活中應(yīng)用實(shí)例如澆花時(shí)間，幾種果樹(shù)結(jié)果時(shí)間，體會(huì)到了生活中到處都有數(shù)學(xué)。

在第5個(gè)動(dòng)畫(huà)闖關(guān)游戲中，掌握求兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的方法，找出兩個(gè)互質(zhì)數(shù)，倍數(shù)關(guān)系的最小公倍數(shù)的2種特殊類型規(guī)律，動(dòng)畫(huà)游戲“抗擊海盜”體會(huì)到了數(shù)學(xué)好玩。第2次的“闖關(guān)游戲反饋”主要體現(xiàn)了“及時(shí)學(xué)習(xí)”、“即求即應(yīng)”的互動(dòng)學(xué)習(xí)模式，“玩”游戲變成了“學(xué)”數(shù)學(xué)。

讓學(xué)生自主探究游戲活動(dòng)背后的數(shù)學(xué)原理，師生通過(guò)三次游戲活動(dòng)，得到四組數(shù)據(jù)，這時(shí)，學(xué)生隱約感覺(jué)游戲背后有規(guī)律、有訣竅、有奧秘，教師順勢(shì)讓學(xué)生以小組為單位去討論、交流、匯報(bào)、質(zhì)疑，最終找到奧秘。整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生真正地成為自主探究的實(shí)踐者、問(wèn)題發(fā)現(xiàn)和解決的學(xué)習(xí)者。

教材分析

教學(xué)內(nèi)容：人教版小學(xué)五年級(jí)下冊(cè)第四單元相關(guān)內(nèi)容（教科書(shū)P68-69）

教材對(duì)于理解公倍數(shù)與最小公倍數(shù)的意義尤其是對(duì)解決問(wèn)題的應(yīng)用，比較抽象，不利于建立對(duì)概念的理解。新課程標(biāo)準(zhǔn)要求教材選擇具有現(xiàn)實(shí)性和趣味性的素材，采取螺旋上升的方式，由淺入深地促使學(xué)生在探索與交流中建立公倍數(shù)與最小公倍數(shù)的概念。在此之前，學(xué)生已經(jīng)了解了整除、倍數(shù)、因數(shù)以及公因數(shù)和最大公因數(shù)。本節(jié)課的重點(diǎn)應(yīng)放在學(xué)生對(duì)公倍數(shù)的概念的認(rèn)識(shí)上也為今后的通分、約分學(xué)習(xí)打下的基礎(chǔ)，具有科學(xué)的、嚴(yán)密的邏輯性。

學(xué)情分析

本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)對(duì)因數(shù)、倍數(shù)和最大公因數(shù)有了較深的了解的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步來(lái)學(xué)習(xí)幾個(gè)數(shù)之間倍數(shù)的關(guān)系。確定教學(xué)重點(diǎn)“公倍數(shù)與最小公倍數(shù)的概念建立”的理由是：《標(biāo)準(zhǔn)》中要求4—6年級(jí)的學(xué)生能找出10以內(nèi)任意兩個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)與最小公倍數(shù)，因此，學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)該是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的；其次，有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上；再者，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容特征，創(chuàng)設(shè)富有生活情趣的問(wèn)題情境，利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)背景，鼓勵(lì)學(xué)生解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高解題技能。

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：

讓學(xué)生充分經(jīng)歷公倍數(shù)與最小公倍數(shù)概念的產(chǎn)生過(guò)程，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，建立概念，掌握找兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的基本方法，掌握求有特殊關(guān)系的兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法。

通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生初步了解兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。

過(guò)程與方法目標(biāo)

學(xué)生親歷猜想、動(dòng)手操作驗(yàn)證、記錄過(guò)程。學(xué)生根據(jù)觀察數(shù)據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，正確理解公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的概念，探究找公倍數(shù)的方法，會(huì)利用列舉法等基本方法找出兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)。

情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)

學(xué)生在充分經(jīng)歷公倍數(shù)概念的產(chǎn)生過(guò)程，感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂(lè)。學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，多角度的思考問(wèn)題。積極參與對(duì)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究過(guò)程，體驗(yàn)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)和價(jià)值。

教學(xué)環(huán)境與準(zhǔn)備*

微機(jī)教室，一人一機(jī) 準(zhǔn)備鴻合白板軟件、PPT、小動(dòng)畫(huà)、網(wǎng)頁(yè)

教學(xué)過(guò)程

一、游戲?qū)?，猜想、?yàn)證

（1）猜想

今年是雞年，有一個(gè)跟雞有關(guān)的游戲，想玩嗎？（白板演示播放小動(dòng)畫(huà)）

請(qǐng)看，這是一個(gè)正六邊形和一個(gè)正方形！正方形也可以說(shuō)是正四邊形。接下來(lái)我們就用這兩張圖片來(lái)玩游戲。我把正六邊形固定不動(dòng)，讓正四邊形繞正六邊形按一個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)。你們注意到?jīng)]有，當(dāng)正四邊形開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)候，里面這一只可愛(ài)的傲驕大公雞的尾巴——（斷開(kāi)了?。?/p>

我想請(qǐng)大家來(lái)猜一猜，從這個(gè)時(shí)候接著算，會(huì)不會(huì)有那么一個(gè)時(shí)刻，尾巴又能重新接來(lái)回了，你來(lái)猜一猜得轉(zhuǎn)動(dòng)幾次？

同學(xué)猜（6次，9，次，24次，12次，18次），到底是幾次？怎么才能知道？

我來(lái)轉(zhuǎn)，你們大聲數(shù)！

（2）驗(yàn)證 白板演示播放小動(dòng)畫(huà)1

師：剛才轉(zhuǎn)到第幾次重新接回？（12次。）

如果繼續(xù)轉(zhuǎn)，看看轉(zhuǎn)到第幾次，圖形才能恢復(fù)正常狀態(tài)，尾巴還能重新接回？（24））

只有這一種答案嗎？繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)下去到第多少次，尾巴還能重新接回？（36...）

我們把剛才的活動(dòng)記下來(lái)。

師板書(shū)：6、4：12 24 36 ...

這個(gè)游戲好玩嗎？

（設(shè)計(jì)部意圖：游戲情景導(dǎo)入，猜想公雞尾巴重新接回的次數(shù)，在播放動(dòng)畫(huà)驗(yàn)證中也為下面的幾個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行了鋪墊。通過(guò)做尾巴重新接回的游戲，把知識(shí)融進(jìn)生活，吸引學(xué)生?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中要求：“要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，數(shù)感中重要的一點(diǎn)就是能用數(shù)學(xué)思想、從數(shù)學(xué)的角度來(lái)解決生產(chǎn)、生活中的問(wèn)題。”在游戲中使學(xué)生考慮到這里面有數(shù)學(xué)因素，這就是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，通過(guò)這個(gè)游戲使學(xué)生感受到我要通過(guò)數(shù)學(xué)方法來(lái)解決問(wèn)題，我覺(jué)得這無(wú)形中提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。）

（3）學(xué)生操作親歷猜想、驗(yàn)證、記錄過(guò)程。

這么好玩的游戲，你們想不想自己來(lái)玩一玩？ 下發(fā)操作動(dòng)畫(huà)文件

請(qǐng)看屏幕。動(dòng)物變了，更重要的是——圖形也變了。

轉(zhuǎn)動(dòng)幾次，尾巴又能重新回復(fù)常態(tài)？ 來(lái)看看誰(shuí)猜對(duì)了？

你們以小組為單位，也像剛才那樣，先猜，再轉(zhuǎn)，最后將數(shù)據(jù)填在表格里。開(kāi)始！

設(shè)計(jì)意圖：

其實(shí)是齒輪的原理讓我想起了這個(gè)多邊形轉(zhuǎn)動(dòng)的游戲，，學(xué)生不知道用公倍數(shù)的知識(shí)來(lái)解決它，所以第一次很容易猜錯(cuò)，沒(méi)有關(guān)系，我想學(xué)生在課堂上沒(méi)有問(wèn)題，沒(méi)有矛盾那這堂課的價(jià)值又如何體現(xiàn)呢？通過(guò)孩子們的動(dòng)手操作、小組合作，他們慢慢的會(huì)發(fā)現(xiàn)，其實(shí)就是用最小公倍數(shù)的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。第一次猜錯(cuò)，很容易激起學(xué)生的強(qiáng)烈猜第二次的欲望，這次游戲不是簡(jiǎn)單的重復(fù)，從多邊形的邊數(shù)看，第一次選擇的是6和4，既不是倍數(shù)關(guān)系也不是互質(zhì)關(guān)系，第二次選擇的是8和5，是互質(zhì)的關(guān)系；重新接回的次數(shù)看，先是12次，比較小，后是40次，比較大；在電腦上操作節(jié)省時(shí)間。

（4）數(shù)據(jù)匯總

隨機(jī)展現(xiàn)學(xué)生小組的操作過(guò)程，教師監(jiān)控學(xué)習(xí)過(guò)程

操作結(jié)束，教師直接將數(shù)據(jù)分別展示在“教師機(jī)的桌面上” 播放學(xué)生的過(guò)程、動(dòng)畫(huà)4

6，4：12、24、36、……

8，5：40、80、120、……

8，4：8、16、24、……

5，4：20、40、60、……

（5）驗(yàn)證

師生共同驗(yàn)證，并記錄數(shù)據(jù)。白板演示播放小動(dòng)畫(huà)2

剛才認(rèn)真的看了同學(xué)們的記錄，我發(fā)現(xiàn)各小組數(shù)據(jù)都是一樣的，我已經(jīng)把它顯示出來(lái)。

設(shè)計(jì)意圖：這兩組多邊形的邊數(shù)，也是有意設(shè)計(jì)，一組是5和4，是互質(zhì)關(guān)系，一組是8和4，是倍數(shù)關(guān)系，看了前面教師作了兩次示范，并且對(duì)小組怎么玩作了比較細(xì)致的要求和說(shuō)明。第三次玩這個(gè)游戲是以小組的形式進(jìn)行的猜了，又親自動(dòng)手玩了！這樣有利于學(xué)生從多種不同情況的接回次數(shù)中去歸納發(fā)現(xiàn)奧秘。

二、操作中的新發(fā)現(xiàn)，引出公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的概念

1.提出問(wèn)題

我們總共玩了三次尾巴重新接回的游戲，得到了這樣一些數(shù)據(jù)。（師將數(shù)據(jù)整理到屏幕上。）

下面我們來(lái)研究研究，為什么轉(zhuǎn)動(dòng)這么多次，這是一種偶然的結(jié)果呢？還是一種有規(guī)律的結(jié)果？

2.小組討論

先請(qǐng)大家在小組內(nèi)說(shuō)一說(shuō)，我們?cè)僬?qǐng)小組代表來(lái)匯報(bào)。

學(xué)生小組討論，師時(shí)而巡視時(shí)而參與學(xué)生的討論。

3.匯報(bào)交流：

你能不能結(jié)合數(shù)據(jù)說(shuō)說(shuō)你們的發(fā)現(xiàn)？

師：你又有什么發(fā)現(xiàn)？

（兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)都是最小公倍數(shù)的倍數(shù)，沒(méi)有最大的公倍數(shù)...）

師：兩個(gè)數(shù)有這么多的公倍數(shù)，你覺(jué)得哪個(gè)最重要？為什么？

（最小公倍數(shù)，知道了最小公倍數(shù)就可以求出其他的公倍數(shù)。 ）

生舉例，師將學(xué)生舉例的數(shù)字圈起來(lái)。屏幕批注、漫游擴(kuò)大版面

生：兩個(gè)圖形邊數(shù)乘起來(lái)，能夠得到其中一個(gè)重新接回的數(shù)字。

師：你能不能也像剛才那位同學(xué)一樣，結(jié)合電腦的數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)明？（展示學(xué)生在桌面上的說(shuō)明過(guò)程）

生：比如說(shuō)12、24、36，都是尾巴重新接回的次數(shù)，然后呢，12既是6的倍數(shù)又是4的倍數(shù)，24是6的倍數(shù)，也是4的倍數(shù)，36也是6的倍數(shù)和4的倍數(shù)。

其它組數(shù)據(jù)也是一樣的，40是8的倍數(shù)也是5的倍數(shù)，80是8的倍數(shù)也是5的倍數(shù)，120是8的倍數(shù)也是5的倍數(shù)。

師：這是他們小組的發(fā)現(xiàn)，你們對(duì)他們的發(fā)現(xiàn)有什么看法？你還有什么疑問(wèn)嗎？

學(xué)生可能會(huì)問(wèn)：如果邊數(shù)多的圖形圍著邊數(shù)少的圖形轉(zhuǎn)，那也會(huì)是這樣的數(shù)據(jù)嗎？

（以公雞為例 演示反轉(zhuǎn)的動(dòng)畫(huà)）

4.引出公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的概念

同學(xué)們，通過(guò)剛才大家的討論和匯報(bào)，看來(lái)尾巴重新接回的次數(shù)與圖形的邊數(shù)有關(guān)。

同學(xué)們，像這樣的數(shù)，同時(shí)是兩個(gè)數(shù)公共的倍數(shù)，在數(shù)學(xué)上叫——公倍數(shù)！

那黑板上這么多的公倍數(shù)，你們覺(jué)得哪一個(gè)最重要？為什么？

（指著公倍數(shù)中最小的那些）像這樣的數(shù)，在公倍數(shù)中是最小的，它們就叫——最小公倍數(shù)。

師：原來(lái)，尾巴重新接回的次數(shù)就是多邊形邊數(shù)的邊數(shù)的公倍數(shù)，第一次接回就是邊數(shù)的最小公倍數(shù)！

師：原來(lái)尾巴重新接回有這樣數(shù)學(xué)奧妙！

設(shè)計(jì)意圖：用重復(fù)來(lái)突出教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)還是很有必要的。費(fèi)盡千辛萬(wàn)苦之力揭開(kāi)了尾巴重新接回的奧秘，同時(shí)也就引入了公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的兩個(gè)概念。讓學(xué)生用舉例的方式來(lái)作補(bǔ)充說(shuō)明，這種學(xué)法指導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生在表達(dá)自己的觀點(diǎn)的時(shí)候要盡量用舉例的形式來(lái)佐證 。小組討論后要選小組代表來(lái)匯報(bào)交流，先選一個(gè)典型錯(cuò)誤的小組代表來(lái)匯報(bào)，可以更多地展示知識(shí)的形成過(guò)程，更多地照顧到中后進(jìn)學(xué)生。

三、自主探究，嘗試求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

那如果現(xiàn)在還讓你們玩這個(gè)游戲，有把握嗎？

比如說(shuō)8邊形和6邊形，我們要知道8邊形和6邊形至少轉(zhuǎn)動(dòng)幾次尾巴重新接回，其實(shí)就是求8和6的——最小公倍數(shù)。

請(qǐng)?jiān)陔娔X中，把你們找8和6的最小公倍數(shù)的過(guò)程寫(xiě)下來(lái)。

學(xué)生在白板軟件上操作，

老師用電腦監(jiān)控學(xué)生的解答過(guò)程。

老師用電腦監(jiān)控學(xué)生的解答過(guò)程

交流時(shí)向全班同學(xué)轉(zhuǎn)播一學(xué)生的做法。

向全班同學(xué)轉(zhuǎn)播一學(xué)生的做法

師：你來(lái)說(shuō)說(shuō)你是怎么找8和6的最小公倍數(shù)的。

生：答……

師：為了讓大家看得更清楚，我把他的想法在屏幕上再演示一遍。

老師課件演示學(xué)生的做法。

剛才老師發(fā)現(xiàn)還有一種很特別的做法，老師在屏幕上展示，看看你們能不能看懂？）

PPT課件演示另一種做法

他的做法其實(shí)就是先依次將6的倍數(shù)寫(xiě)下來(lái)，看看它是不是同時(shí)也是8的倍數(shù)。6的第一個(gè)倍數(shù)6不是8的倍數(shù)，12不是8的倍數(shù)，18不是8的倍數(shù)，24是8的倍數(shù)。這樣24就是8和6的最小公倍數(shù)。

師：同學(xué)們真聰明！能夠積極思考，靈活變通，開(kāi)拓創(chuàng)新出這么多求最小公倍數(shù)的好方法，真是不簡(jiǎn)單哪！我們?cè)谟?jì)算的時(shí)候可以根據(jù)情況，靈活應(yīng)用。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生代表匯報(bào)后教師又作了課件演示，這是學(xué)生第一次學(xué)習(xí)找兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，有必要先學(xué)后教，但教師還得要教。教師用課件演示找最小公倍數(shù)的過(guò)程和方法，學(xué)生靜靜地看不說(shuō)話，過(guò)后再讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)是怎么找到的，能凝聚注意，提高效率。

四、鞏固提升

下發(fā)動(dòng)畫(huà)游戲

1.試著闖關(guān)，找到求最小公倍數(shù)規(guī)律是阻擊海盜強(qiáng)有力的武器，闖關(guān)開(kāi)始！

2.你能找出闖關(guān)武器——規(guī)律嗎？

第一次是闖3關(guān)。

每一關(guān)隨機(jī)出10道題，每關(guān)時(shí)間限制在1分鐘之內(nèi)。第一關(guān)是兩個(gè)大小數(shù)有倍數(shù)關(guān)系，第二關(guān)是互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)，要求學(xué)生輸入算式正確結(jié)果，電腦最終出示練習(xí)成績(jī)。

第三關(guān)是不互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)，快速解答較難，引起學(xué)生思考：“有沒(méi)有更簡(jiǎn)便的方法？”

3.1分鐘后統(tǒng)計(jì)第一關(guān)闖關(guān)結(jié)果，有闖關(guān)成功的嗎？你擁有的武器是什么？

如果沒(méi)成功，看第一組“海盜”有什么特點(diǎn)？ （兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系）

再闖一次，你肯定成功！

第二次闖關(guān)。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生與多媒體計(jì)算機(jī)的交互技術(shù)和實(shí)時(shí)作業(yè)反饋技術(shù)是整合的亮點(diǎn)，是表現(xiàn)在學(xué)生的“學(xué)”上，“闖關(guān)游戲反饋”主要體現(xiàn)了“及時(shí)學(xué)習(xí)”、“即求即應(yīng)”的互動(dòng)學(xué)習(xí)模式，這也是本課對(duì)信息化學(xué)習(xí)的一點(diǎn)探索和嘗試。

五、舉例聯(lián)系生活，幫助學(xué)生理解公倍數(shù)的概念

同學(xué)們，我們通過(guò)玩尾巴回復(fù)常態(tài)的游戲，認(rèn)識(shí)到了兩個(gè)新的概念，公倍數(shù)和最小公倍數(shù)。那么，你們能否用舉例的形式說(shuō)明什么樣的數(shù)是兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)？

生：24是6的倍數(shù)，24也是4的倍數(shù)，24是6和4的公倍數(shù)。

師：誰(shuí)還再來(lái)舉出生活中應(yīng)用最小公倍數(shù)的例子？

3路汽車：每隔6分鐘發(fā)一次車；5路汽車：每隔8分鐘發(fā)一次車，這兩路汽車同時(shí)發(fā)車后，過(guò)多少分鐘兩路汽車還會(huì)同時(shí)發(fā)車。

（2種澆花同時(shí)澆的時(shí)間、2種果樹(shù)同時(shí)結(jié)果的時(shí)間）

設(shè)計(jì)意圖：舉例是理解概念的一種基本方法！學(xué)生舉的都是數(shù)字例證時(shí)，老師舉了兩個(gè)生活實(shí)例作為補(bǔ)充。

六、總結(jié)全課

看來(lái)同學(xué)們掌握得不錯(cuò)。那么關(guān)于公倍數(shù)和最小公倍數(shù)，大家還有什么問(wèn)題想問(wèn)的嗎？

其實(shí)老師也有一個(gè)問(wèn)題。如果邊數(shù)多的圖形圍著邊數(shù)少的圖形轉(zhuǎn)，這個(gè)問(wèn)題，就請(qǐng)大家課后去思考、去討論、去探究！今天這節(jié)課就上到這里。下課！