數(shù)學(xué)建模在應(yīng)用型本科“線性代數(shù)”教學(xué)中的應(yīng)用探索

魯 鑫

（營口理工學(xué)院電氣工程系 遼寧·營口 115014）

數(shù)學(xué)建模在應(yīng)用型本科“線性代數(shù)”教學(xué)中的應(yīng)用探索

魯 鑫

（營口理工學(xué)院電氣工程系 遼寧·營口 115014）

2014年我國提出將50%左右的高校轉(zhuǎn)型為培養(yǎng)應(yīng)用型人才的高校，應(yīng)用型高校以教學(xué)為主，培養(yǎng)的是社會(huì)急需的專業(yè)型技術(shù)人才。本文從應(yīng)用技術(shù)型高校的線性代數(shù)的教學(xué)現(xiàn)狀出發(fā),探討將數(shù)學(xué)建模思想方法融入線性代數(shù)課堂教學(xué)，介紹數(shù)學(xué)建模在應(yīng)用技術(shù)型高校線性代數(shù)教學(xué)中的作用及經(jīng)典的數(shù)學(xué)建模應(yīng)用于線性代數(shù)教學(xué)的例子，為線性代數(shù)的課程改革提供思路。

數(shù)學(xué)建模；線性代數(shù)；數(shù)學(xué)建模案例

1 數(shù)學(xué)建模

人們學(xué)習(xí)知識(shí)的本質(zhì)是為了解決工作、生活中的實(shí)際問題，數(shù)學(xué)建模正是這樣一個(gè)非常好的工具，它首先將工作、生活中的實(shí)際問題進(jìn)行抽象、簡化，然后利用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)語言將實(shí)際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)式子，也就建立了數(shù)學(xué)模型，然后再利用數(shù)學(xué)知識(shí)，以及應(yīng)用一些數(shù)學(xué)軟件如MATLAB,SPSS, LINGO等對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，解決后用生活的語言對(duì)所求得的結(jié)果進(jìn)行總結(jié)，并在實(shí)踐中對(duì)所得的結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)，如果合理即證明所建立的數(shù)學(xué)模型是正確的，如果與實(shí)際偏差較大，則說明對(duì)模型的簡化不合理，要對(duì)模型進(jìn)行修改，直到建立模型所得的結(jié)論能夠通過實(shí)踐檢驗(yàn)為止。

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽創(chuàng)辦于1992年，每年一屆。它的發(fā)展速度非常迅猛，到2016年，來自全國33個(gè)省/市/區(qū)(包括香港和澳門)及新加坡的1367所院校、31199個(gè)隊(duì) （本科28046隊(duì)、?？?153隊(duì)）、93000多名大學(xué)生報(bào)名參加該項(xiàng)競賽。中國高等教育學(xué)會(huì)會(huì)長周遠(yuǎn)清教授對(duì)該競賽給予非常高的評(píng)價(jià)，稱其是“成功的高等教育改革實(shí)踐”[1]。李大潛院士在2005年呼吁在數(shù)學(xué)類課程中融入數(shù)學(xué)建模的思想和方法[2]。全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的賽題一般來源于工程技術(shù)和管理科學(xué)等方面的經(jīng)典問題，再將其經(jīng)過適當(dāng)簡化加工成競賽試題，參賽者是不同專業(yè)的學(xué)生，所以很多題目是學(xué)生沒有接觸過的問題，這就需要參賽者有很強(qiáng)的自學(xué)能力，通過查閱資料了解賽題的相關(guān)知識(shí)，能夠有效提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和獲得新知識(shí)的能力。數(shù)學(xué)建模競賽要求學(xué)生根據(jù)問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型。這樣能夠培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)造力。另外建模要求學(xué)生要將問題的建模過程、求解過程、模型解釋用論文的形式提交，這可以大大提高學(xué)生科技論文的寫作能力。

如果能夠?qū)?shù)學(xué)建模的思想和方法融入到線性代數(shù)的教學(xué)課堂，不僅能夠提高線性代數(shù)的教學(xué)質(zhì)量、提高學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性和學(xué)習(xí)興趣，而且對(duì)數(shù)學(xué)建模本身也有很好的促進(jìn)作用。因此，研究如何將數(shù)學(xué)建模思想方法融入線性代數(shù)課堂教學(xué)以及建模內(nèi)容融入線性代數(shù)課堂具有重要意義，其融入的方式方法是本文的主要研究內(nèi)容。

2 應(yīng)用型本科“線性代數(shù)”教學(xué)的現(xiàn)狀

線性代數(shù)課程是目前我國高等院校是一門是非常重要的基礎(chǔ)理論課，它在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、解決抽象問題的能力、計(jì)算能力方面有非常重要的作用，同時(shí)，線性代數(shù)的知識(shí)在學(xué)生今后學(xué)習(xí)、工作的諸多方面包括在經(jīng)濟(jì)管理、線性規(guī)劃、圖論、圖像處理技術(shù)等有廣泛的應(yīng)用。但線性代數(shù)大多數(shù)院校規(guī)定的學(xué)時(shí)非常少（只有32學(xué)時(shí)），因此，大部分院校的線性代數(shù)課堂只能夠完成教學(xué)任務(wù)，教學(xué)內(nèi)容以及教學(xué)形式都是一成不變的。教學(xué)上基本都是教師講解抽象的理論知識(shí)，很難涉及到知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用。又由于應(yīng)用型本科院校所招的學(xué)生以二本生為主，學(xué)生的整體學(xué)習(xí)素質(zhì)不高，學(xué)習(xí)基礎(chǔ)不牢固，學(xué)習(xí)主動(dòng)性不強(qiáng)，對(duì)于線性代數(shù)一類的基礎(chǔ)課學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力不足。

目前，國內(nèi)大部分線性代數(shù)的教材注重理論知識(shí)的傳授，教材的主要內(nèi)容包括行列式、矩陣、方程組、向量、特征值、特征向量、二次型等幾個(gè)部分。課本中關(guān)于線性代數(shù)的理論及其推導(dǎo)都介紹的非常詳細(xì)，具有非常強(qiáng)的邏輯性，但缺少線性代數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中的案例。大多數(shù)院校的線性代數(shù)教學(xué)也是以理論性教學(xué)為主，線性代數(shù)的教學(xué)課堂上，教師占主導(dǎo)地位，課堂“滿堂灌”，教師按照大綱要求講解抽象的數(shù)學(xué)定義、引理和定理，以及抽象的題目，全是數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授及其邏輯推導(dǎo)，這樣的教學(xué)方法使得學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)只是機(jī)械、枯燥的計(jì)算，很難和知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用結(jié)合起來，對(duì)知識(shí)單純的死記硬背，不能深刻理解知識(shí)的內(nèi)涵達(dá)不到融會(huì)貫通的學(xué)習(xí)目地，更找不到學(xué)習(xí)的樂趣，導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)為該門課堂沒有用，只為是為完成學(xué)分而學(xué)，不考研根本用不上。為改變這種“教”與“學(xué)”得不到很好配合，教學(xué)效果不佳的教學(xué)現(xiàn)狀，需要對(duì)現(xiàn)行的線性代數(shù)課堂教學(xué)進(jìn)行改革。

3 數(shù)學(xué)建模對(duì)應(yīng)用型本科“線性代數(shù)”的教學(xué)的促進(jìn)作用

3.1 將數(shù)學(xué)建模引入課堂能夠促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)“線性代數(shù)”的興趣

歷年的數(shù)學(xué)建模的試題都來源于實(shí)際生活，例如“最優(yōu)化問題”人們在實(shí)際生活中都有一種優(yōu)化思想，例如，外出辦事選擇一條最短的路線，再如，一個(gè)企業(yè)要投資生產(chǎn)一種新的產(chǎn)品，如何規(guī)劃才以最小的投入獲取最大的利潤呢？類似的問題還有很多，而要求解此類問題,就要用到線性代數(shù),線性規(guī)劃和最優(yōu)化等數(shù)學(xué)知識(shí),這種與生活和今后工作密切相關(guān)的問題同時(shí)還能夠引起學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和學(xué)習(xí)的興趣。

例如，在講解矩陣乘法和逆矩陣知識(shí)時(shí)可以給學(xué)生講解密碼問題如下：

26個(gè)字母與數(shù)字1～26建立1-1順序?qū)?yīng)的編碼規(guī)則如下：A-1,B-2,C-3,…,Z-26.想要發(fā)送信息ANSWER，按照編碼規(guī)則，只需發(fā)送代碼1、14、19、23、5、18共6個(gè)代碼即可.接收信息的人按照已知的編碼規(guī)則，就可以根據(jù)代碼的內(nèi)容譯出發(fā)送過來的信息.但是，這種做法已經(jīng)不能保證信息的安全性了，在一個(gè)長消息中，密碼破譯者根據(jù)數(shù)字出現(xiàn)的頻率，來估計(jì)它所代表的字母，很容易破譯這樣的信息.這樣，我們可以利用矩陣乘法對(duì)所要傳送的消息進(jìn)一步加密.例如,按上面確定的編碼規(guī)則，發(fā)送信息ON TIME.

首先將要發(fā)送的信息按照字母的順序兩兩分成一組，即

根據(jù)編碼規(guī)則，每組字母都對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，即

其次任取一個(gè)二階可逆矩陣，如選取，

下面用矩陣A左乘上面每一組列向量，即

因此只要發(fā)送代碼：44、29、49、29、31、18即可.收信息者只要將收到的信息按照原來的順序兩兩組成一個(gè)列向量，再分別左乘以A-1，即

最后再根據(jù)編碼規(guī)則，重新調(diào)整字母的順序，就可以知道發(fā)送過來的信息的內(nèi)容。

通過經(jīng)典例子的講解，可以使學(xué)生更容易體會(huì)線性代數(shù)知識(shí)在解決實(shí)際問題中的用途。增加了學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也消除了數(shù)學(xué)知識(shí)無用的觀點(diǎn)。下表中列出了一些將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)的經(jīng)典例子。

表1 在線性代數(shù)中融入數(shù)學(xué)建模的經(jīng)典例子

3.2 將數(shù)學(xué)建模引入課堂能夠培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精神和合作意識(shí)

數(shù)學(xué)建模的參賽是以3人小組組成一隊(duì)的模式參賽，想要在建模競賽中取得良好的表現(xiàn)，這三個(gè)人分工和合作是非常重要的，在整體建模以及形成作品的過程中需要3個(gè)人分工明確且通力合作。通過建模的過程能夠培養(yǎng)學(xué)生明確分工、通力合作的團(tuán)隊(duì)精神，這種精神在未來的學(xué)習(xí)甚至工作中都是非常重要的。

3.3 將數(shù)學(xué)建模引入“線性代數(shù)”課題能夠促進(jìn)任課教師的自我提升

要將數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入到線性代數(shù)的課堂中，不僅要求任課教師對(duì)課程的理論知識(shí)能夠熟練掌握、良好講授、更要了解線性代數(shù)解決工作、生活中實(shí)際問題的精典例子，這就要求教師要不斷的自我提升、進(jìn)行科學(xué)和教學(xué)的研究，了解最新的技術(shù)和新應(yīng)用，把知識(shí)更新傳授給學(xué)生。

結(jié)束語：

將數(shù)學(xué)建模思想方法融入到線性代數(shù)教學(xué)，能夠培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，同時(shí)還能夠提高學(xué)習(xí)興趣、增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，顯然是線性代數(shù)教學(xué)改革行之有效的方法。同時(shí)，也要注意到，如何將數(shù)學(xué)建模思想方法與線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)有機(jī)的融合，這種融合應(yīng)當(dāng)循序漸近，同時(shí)還要注意融合的結(jié)合點(diǎn)要恰如其分，這都需要不斷的摸索和積累，仍需要廣大數(shù)學(xué)教師的共同努力。

[1]袁紅.嘗試數(shù)學(xué)建模發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力——從西方國家小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的一則案例談起 [J].外國中小學(xué)教育,2009 (5)：56-61.

[2]李大潛.將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)類主干課程[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2005,22(8)：3-7．

[3]魯鑫等.技術(shù)應(yīng)用型高?！熬€性代數(shù)”課程改革與探索[J].中國冶金教育,2015,6：1-3.

[4]David C Lay.線性代數(shù)及其應(yīng)用[M].沈復(fù)興,傅鶯鶯,莫單玉等譯,北京：人民郵電出版社,2009．

[5]劉國志等.線性代數(shù)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)[M].同濟(jì)大學(xué)出版社,2016.

責(zé)任編輯：張克柱

審 稿 人：程家超

G642;O151.2-4

A

1009-8534（2017）03-0148-02

魯鑫，營口理工學(xué)院講師，理學(xué)碩士，研究方向：高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革研究。