不動(dòng)點(diǎn)和一類(lèi)非線性隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性

王春生，丁 紅

(1.廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院 管理系，廣東 廣州 510990;2.廣州大學(xué) 公共管理學(xué)院，廣東 廣州 510006)

不動(dòng)點(diǎn)和一類(lèi)非線性隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性

王春生1，丁 紅2

(1.廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院 管理系，廣東 廣州 510990;2.廣州大學(xué) 公共管理學(xué)院，廣東 廣州 510006)

考慮了一類(lèi)變時(shí)滯非線性中立型隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)，給出了確保其零解均方漸近穩(wěn)定性條件.這些條件不需要時(shí)滯有界，也不要求系統(tǒng)的系數(shù)函數(shù)符號(hào)固定.給出的均方漸進(jìn)穩(wěn)定性定理一定程度上推廣和改進(jìn)了相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果.

非線性中立型隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)；不動(dòng)點(diǎn); 變時(shí)滯;均方漸近穩(wěn)定

目前很多專(zhuān)家和學(xué)者都選擇采用不動(dòng)點(diǎn)方法研究隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性，得到了很優(yōu)異的結(jié)果.如文獻(xiàn)[1-6]利用不動(dòng)點(diǎn)方法研究過(guò)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)零解的存在性、周期性、有界性和穩(wěn)定性，文獻(xiàn)[7-12]也采用不動(dòng)點(diǎn)方法研究過(guò)多種類(lèi)型的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性.作為此項(xiàng)研究的推廣，本文將研究具有變時(shí)滯非線性中立型隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的均方漸近穩(wěn)定性，以期推廣和改進(jìn)相關(guān)文獻(xiàn)結(jié)果.

1 主要結(jié)果

考慮以下變時(shí)滯非線性中立型隨機(jī)系統(tǒng)

d[x(t)-G(t,x(t-τ(t))]=[a(t)x(t)+f(t,x(t-τ(t)))]dt+g(t,x(t),x(t-δ(t)))dw(t)

(1)

其中當(dāng)s∈[m(0),0]時(shí)，x(s)=φ(s)，φ∈C([m(0),0],R),a(t)∈C(R+,R),τ(t),δ(t)∈C(R+,R+) 滿足：當(dāng)t→時(shí)，t-τ(t)→和t-δ(t)→.m(0)=min{inf(s-τ(s),s≥0), inf(s-δ(s),s≥0)}.

同時(shí)，G(t,x)∈C(R+×R,R)，f(x)∈C(R+×R,R)，g(x,y)∈C(R+×R×R,R)和存在一個(gè)q(t),c(t),e(t)∈C(R+,R) 使得

定理1 假設(shè)τ(t) 可導(dǎo)且存在常數(shù)α∈(0,1)和連續(xù)函數(shù)h(t):[0,)→R,使得當(dāng)t≥0時(shí),

(i) liminft→h(s)ds>-;

則，系統(tǒng)(1) 的零解均方漸進(jìn)穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)t→時(shí),

證明 定義S為所有F-適應(yīng)過(guò)程φ(t,ω):[m(0),)×Ω→R所構(gòu)成的Banach 空間，且對(duì)固定的ω∈Ω，φ(t,ω)關(guān)于t幾乎處處連續(xù)，其初值ψ(s,ω)=φ(s).我們定義當(dāng)t→時(shí),

定義算子π:S→S滿足：當(dāng)t∈[m(0),0]時(shí)，(πx)(t)=φ(t).當(dāng)t≥0時(shí)

(1)π在[0,)上均方連續(xù).

易證當(dāng)

(2)π(S)? S.

當(dāng)t→時(shí)，t-δ(t)→且E|x(t)|2→0，E|x(t-δ(t))|2→0.對(duì)任意ε>0，存在T1>0使得當(dāng)t≥T1時(shí)，E|x(s)|2<ε和E|x(s-δ(s))|2<ε.所以有

類(lèi)似可證當(dāng)t→時(shí)所以有π(S)?S.

(3)π是壓縮映射.

由條件(ii)可知，存在常數(shù)L>0和β滿足α2<β<1使得

(3)

對(duì)任意x,y∈S有

為了證明漸近穩(wěn)定性，需要證明方程(1)的零解是均方穩(wěn)定的.假設(shè)任意的ε>0 和δ>0 (δ<ε) 滿足

其中L來(lái)自公式(3).如果x(t)=x(t,0,φ(0))是方程(1)的解，滿足： E|φ|2<δ且x(t)=(πx)(t).下面證明對(duì)所有的t≥0有E|x(t)|2<ε.

這與t*的定義相違背.這說(shuō)明，如果條件(iii)成立，方程 (1)的零解均方漸近穩(wěn)定.

由公式 (2) 和x(t)=(πx)(t)知，對(duì)所有的t≥tk,

然而，

(4)

另一方面，如果方程(1)的零解均方漸近穩(wěn)定，則當(dāng)t→時(shí)，E|x(t)|2=E|x(t,tk,φ)|2→0.

因?yàn)楫?dāng)n→時(shí)，tn-τ(tn)→，由條件(ii)知，當(dāng)n→時(shí)，

這與公式(4)相違背.所以條件(iii)是方程(1)零解均方漸近穩(wěn)定的必要條件.故得證.

2 實(shí)例

d[x(t)-0.1x(t-τ)]=-x(t)dt+ex(t-τ)dω(t)

(5)

很顯然，在定理1中可取q(t)=0.1,a(t)=-1,b(t)=0,e(t)=1，如果選擇h(t)≡1，

則由定理1可知，系統(tǒng) (5) 的零解均方漸進(jìn)穩(wěn)定.

[1]BURTON T A. Fixed points and stability of a nonconvolution equation[J].Proceedings of the American Mathematical Society,2004,132:3 679-3 687.

[2] BURTON T A , FURUMOCHI T. A note on stability by Schauder's theorem[J].Funkcialaj Ekvacioj,2001,44:73-82.

[3] BURTON T A , FURUMOCHI T. Fixed points and problems in stability theory[J].Dynamical Systems and Applications, 2001,10:89-116.

[4] RAFFOUL Y N. Stability in neutral nonlinear differential equations with functional delays using fixed point theory[J].Mathematical and Computer Modelling,2004,40:691-700.

[5] LUO J W. Fixed points and stability of neutral stochastic delay differential equations[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2007,334:431-440.

[6] MAO X R. Exponential stability for stochastic differential delay equations in Hilbert spaces[J]. Quarterly J.Math, Oxford(2), 1991,42：77-85.

[7] 王春生. Fixed points and stability of stochastic integro-differential equations(英文版)[J]. 廣州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,8(2):49-52.

[8] 王春生，李永明.中立型多變時(shí)滯隨機(jī)微分方程的穩(wěn)定性[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2015, 50(5):82-87.

[9]王春生. 中立型隨機(jī)積分微分方程的穩(wěn)定性[J].四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011，24(1)：81-84.

[10]王春生.隨機(jī)微分方程穩(wěn)定性的兩種不動(dòng)點(diǎn)方法的比較[J].四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012，25(4)：81-84.

[11] 王春生. 不動(dòng)點(diǎn)與非卷積型隨機(jī)Vollterra微分方程的穩(wěn)定性[J].荊楚理工學(xué)院學(xué)報(bào),2011，26(2)：30-33.

[12]王春生. Volterra型積分微分動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性 [J].湖北文理學(xué)院學(xué)報(bào),2016，37(8)：5-7.

(編輯：郝秀清)

Fixed point and stability of a kind of stochastic nonlinear system

WANG Chun-sheng1,DING Hong2

(1.Management Department,South China Institute of Software Engineering, Guangzhou University, Guangzhou 510990,China;2.School of Public Administration,Guangzhou University,Guangzhou 510006,China)

In this paper，we consider a nonlinear neutral stochastic system with variable delays and give conditions to ensure that the zero solution is asymptotically mean square stable by means of fixed point theory. These conditions do not require time delays, and do not require the system to be fixed. An asymptotically mean square stable theorem with necessary and sufficient condition is proved. Some well-known results are improved and generalized.

nonlinear neutral stochastic system; fixed point; variable delays; mean square stable

2016-07-02

廣東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2016A030313542)；廣東省普通高校青年創(chuàng)新人才項(xiàng)目(自然科學(xué))(2015KQNCX200)；廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院教學(xué)、科學(xué)研究項(xiàng)目(ky201402)

王春生,男，paperspring@163.com； 通信作者: 丁紅，女，182377757@163.com

1672-6197(2017)05-0024-05

O231.3

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