縱橫聯(lián)系，滲透數(shù)學(xué)思想方法

王丙誠

新課改以來，廣大數(shù)學(xué)教育工作者對于數(shù)學(xué)教學(xué)的目的、思想、方法形成了很多共識，普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識，更重要的是發(fā)展學(xué)生的能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。從國家課程設(shè)置來看，語文、數(shù)學(xué)共同作為學(xué)習(xí)其他學(xué)科的兩門基礎(chǔ)學(xué)科是不無道理的。數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)不僅在它本身的知識內(nèi)容上，更在于數(shù)學(xué)思想方法具有極大的普遍性，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)的遷移，從而可以極大地提高學(xué)習(xí)質(zhì)量和學(xué)習(xí)能力。因此，數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中是至關(guān)重要的，對于中學(xué)生，不管他們將來從事什么工作，唯有深入腦海中的數(shù)學(xué)思想方法將隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終生。

中學(xué)數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容是由具體的數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法組成的有機(jī)整體，現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材的編排一般是沿知識的縱方向展開的，大量的數(shù)學(xué)思想方法只是蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識的體系之中，并沒有明確的揭示和總結(jié)。這樣就產(chǎn)生了如何處理數(shù)學(xué)思想這個教學(xué)問題。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，根據(jù)教材內(nèi)容，結(jié)合學(xué)生實際，適當(dāng)進(jìn)行跨章節(jié)的縱橫聯(lián)系，揭示數(shù)學(xué)思想方法的普遍性是十分重要的。在日常教學(xué)中，我們應(yīng)該在學(xué)好基礎(chǔ)知識的前提下，有機(jī)地結(jié)合各方面的數(shù)學(xué)知識，有意識地向?qū)W生滲透如分類、化歸、反證法等數(shù)學(xué)思想方法。本文就根據(jù)初中階段學(xué)生的思維規(guī)律，結(jié)合具體的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，對教學(xué)中如何縱橫聯(lián)系相關(guān)知識，滲透數(shù)學(xué)思想方法作一簡單小結(jié)。

一、從初一年級起，滲透反證法原理

反證法是高中階段常用的證法之一，是逆向思維的具體體現(xiàn)。初中學(xué)生的思維方式是以順向思維為主，他們習(xí)慣于用直接說理的方法去推理、論證數(shù)學(xué)命題，一般無逆向思維的意識。因此，“反證法”原理及其應(yīng)用是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個難點，我們在平時課堂教學(xué)中，特別是學(xué)習(xí)概念、定理時，應(yīng)及時滲透反證法原理，為以后提高數(shù)學(xué)綜合能力打下基礎(chǔ)。反證法原理可從初一年級就開始滲透。由于初一學(xué)生這一方面能力和意識十分薄弱，教師要更多地從多問“為什么不……”、“假如不……那么……”等反面設(shè)問入手，幫助學(xué)生反向思考。例如，初一學(xué)生學(xué)完有理數(shù)這一節(jié)內(nèi)容后，數(shù)的范圍已擴(kuò)充到有理數(shù)范圍，除了少數(shù)學(xué)生有可能誤以為0還是最小數(shù)，更多的學(xué)生對“有理數(shù)中是否有最小數(shù)”都能回答“沒有”。這時，教師應(yīng)該抓住機(jī)會追問，“為什么不能有最小數(shù)？”“假如有理數(shù)有最小數(shù)，那應(yīng)該是多少？”用此通俗易懂的實例讓學(xué)生初步體驗到反面說理的思想。只要細(xì)心研究教材，不難發(fā)現(xiàn)這樣的例子在教材中比比皆是。例如：1.兩數(shù)相乘，如果積為0，則這兩數(shù)中必有一個為0。兩數(shù)都不為0為什么不可以？2.如果兩個有理數(shù)的絕對值的和為零，那么這兩個有理數(shù)一定都是零。如果有一個不等于0，是否可以？3.三角形的三個內(nèi)角中至少有一個內(nèi)角小于或等于60。?？梢远即笥?0。嗎？等等，不一一列舉。通過經(jīng)常性的反面設(shè)問，使學(xué)生的逆向推理能力得到鍛煉，在較為復(fù)雜的情境中也能較為熟練地運(yùn)用反證法的原理解決問題。

二、代數(shù)幾何交融，滲透數(shù)形結(jié)合思想

初中階段，數(shù)形結(jié)合中的“數(shù)”泛指通常所見的數(shù)、代數(shù)式、方程式、不等式、函數(shù)表達(dá)式、定理的公式等等，它們一般較為抽象?！靶巍笨梢钥闯蓴?shù)軸、函數(shù)的圖象、幾何圖形等，具有形象、直觀的特征。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想可以在抽象思維和形象思維間架起橋梁，使兩者之間相互滲透、相互促進(jìn)，更好地完善學(xué)生的思維體系。要使學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的思想心領(lǐng)神會，掌握數(shù)形結(jié)合的方法，教師應(yīng)立足于課堂，有計劃地使用數(shù)形結(jié)合的思想解決一些教材中的重點和難點，同時，在習(xí)題教學(xué)中要注意滲透數(shù)形結(jié)合的思想解決實際問題。例如，初一的有理數(shù)運(yùn)算、大小比較，就應(yīng)當(dāng)隨時借助于數(shù)軸，幫助學(xué)生直觀理解；代數(shù)式運(yùn)算，其中的分配律、乘法公式等，也可以畫出相應(yīng)的圖形；初二教材中的勾股定理的證明就是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的一個范例，用圖形來證明公式，以形思數(shù)，直觀、簡潔、明了，使學(xué)生對勾股定理的認(rèn)識更深刻和完整；反過來，結(jié)合勾股定理的運(yùn)用，可以把代數(shù)式的運(yùn)算、方程等代數(shù)知識融入其中，認(rèn)識勾股定理在周長、面積等度量中的重要應(yīng)用價值。

數(shù)與形是中學(xué)數(shù)學(xué)研究的兩類基本對象。相互獨立，又互相滲透。華羅庚先生說過，“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”。尤其在坐標(biāo)系建立以后，數(shù)與形的結(jié)合更加緊密。但不應(yīng)把數(shù)形結(jié)合思想局限于函數(shù)、解析幾何，而應(yīng)是處處可以見數(shù)想形，見形想數(shù)，讓數(shù)形結(jié)合思想內(nèi)化為學(xué)生的自覺意識，隨時應(yīng)用。

三、善于比較歸納，滲透分類思想

人們的思維活動一般是從觀察事物開始，形成初步認(rèn)識，再通過比較，歸納出事物的本質(zhì)屬性，從而形成基本概念，對事物進(jìn)行分類。一般來說，分類就是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，把研究對象分成幾個部分，這在數(shù)學(xué)教學(xué)中十分重要。相對于小學(xué)數(shù)學(xué)而言，初中數(shù)學(xué)的內(nèi)容范圍大，學(xué)習(xí)能力要求高，這在各地中考卷上已有充分體現(xiàn)。中學(xué)生如何利用分類掌握知識點，發(fā)展技能，在具體的試題中考慮分類思想解決問題尤為重要。

首先，教師在教學(xué)過程中要幫助學(xué)生學(xué)會用比較的方法進(jìn)行分類，例如學(xué)了實數(shù)后，可以引導(dǎo)學(xué)生從比較有理數(shù)、無理數(shù)的特征或本質(zhì)屬性入手，將數(shù)粗分為有理數(shù)和無理數(shù)；繼而細(xì)分有理數(shù)，可以引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的正負(fù)性特征比較入手，也可以從判別有理數(shù)是否為分?jǐn)?shù)人手進(jìn)行分類，而不是由教師進(jìn)行包辦代替。其次，教師應(yīng)該在具體的習(xí)題中指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類思想解決實際問題，在潛移默化中養(yǎng)成分類討論的意識，這是比較困難的，必須長時間地努力才能有收獲。

四、學(xué)會縱橫溝通，滲透化歸思想

通常來看，化歸思想就是解決數(shù)學(xué)問題中各知識點的縱橫聯(lián)系，通過各種變換化未知為已知，化復(fù)雜問題為簡單問題，化非基本問題為基本問題，化不熟悉問題為熟悉的問題或已經(jīng)解決的問題?！盎瘹w思想”也就成了常用的數(shù)學(xué)思想方法之一。

在初中階段，應(yīng)及早滲透這種化歸思想。比如在講解“合并同類項”的法則時，“把同類項的系數(shù)相加，所得的和作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變”，對于剛接觸代數(shù)的初一學(xué)生來說，單從課本文字的敘述來理解是比較困難的，若用有理數(shù)的分配律來解釋是很容易理解的。同時在例題的講解中，也應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生合理地運(yùn)用化歸思想溝通各部分知識間的橫向聯(lián)系，優(yōu)化解題過程。

化歸是處理數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，有些錯綜復(fù)雜的問題經(jīng)過巧妙的化歸或轉(zhuǎn)化，往往變得豁然開朗。如利用相反數(shù)將減法化歸為加法，利用倒數(shù)把除法化歸為乘法。再如把二元一次方程組通過代入或加減消元化歸為一元一次方程，應(yīng)用題中將實際問題化歸為數(shù)學(xué)模型，把“一般問題”化歸為“特殊問題”，將幾何問題化歸為代數(shù)問題，等等。以此引導(dǎo)學(xué)生去探求知識，使他們感受到如何把握問題知識間的縱橫聯(lián)系，化繁為簡，解決問題。

數(shù)學(xué)思想的滲透必須是在數(shù)學(xué)問題的思維分析過程中去實現(xiàn)。心理學(xué)認(rèn)為：學(xué)習(xí)是認(rèn)識結(jié)構(gòu)的組織和重新組織，是把內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)的教材與學(xué)生原有的知識結(jié)構(gòu)結(jié)合起來，新舊知識發(fā)生相互作用，使新材料在學(xué)生頭腦中產(chǎn)生新的認(rèn)識。數(shù)學(xué)思想并不是一個抽象的概念，而是建立在眾多數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本方法這一基礎(chǔ)上的。它具有實實在在的基礎(chǔ)和內(nèi)容，同時又是千千萬萬具體例子的總結(jié)和概括，數(shù)學(xué)思想的滲透必須也只可能在具體知識的運(yùn)用和聯(lián)系中，在具體數(shù)學(xué)問題的分析與綜合過程中得以體現(xiàn)。