一族新的離散可積雙哈密頓系統(tǒng)

吳迪

【摘 要】數(shù)年來(lái)，科學(xué)界對(duì)孤立子的研究呈不斷發(fā)展進(jìn)步趨勢(shì)，許多領(lǐng)域中都存在孤立子現(xiàn)象以及與孤立子密切相關(guān)的問(wèn)題，比如，在對(duì)無(wú)中心Virasoro對(duì)稱代數(shù)或孤立子方程進(jìn)行研究時(shí)產(chǎn)生的可積耦合系統(tǒng)。目前，學(xué)術(shù)界已找到多種求解可積耦合的方法：1，攝動(dòng)；2，拓展相應(yīng)的Lax對(duì)；3，拓展新的Loop代數(shù)； 4，運(yùn)用半直和李代數(shù)。首先通過(guò)離散零曲率方程得到一族新的可積晶格方程，再由跡-恒等式建立一個(gè)雙-哈密頓結(jié)構(gòu)，最后，證明了該方程族是Liouville可積的。

【關(guān)鍵詞】可積晶格方程；雙-哈密頓結(jié)構(gòu)； Liouville可積

A novel family of discrete bi-Hamiltonian systems

WU Di

（College of Mathematics and Systems Science， Shandong University of Science and Technology， Qingdao Shandong 266590，China）

【Abstract】Soliton theory research is developing in many scientific fields and there exists soliton and soliton theory closely related problems， integrable coupling system is in the center of the study without Virasoro algebra or symmetrically soliton equation. Scientists have found many integrable coupling methods： one， the perturbation method； two， expand the corresponding method of Lax on； three， extend new Loop algebra of the method； four， the use of a half straight and lie algebra method. A novel family of integrable lattice equation is derived from the discrete zero curvature equations. A bi-Hamiltonian structure of obtained family is established by discrete trace identity. Then， Liouville integrability for the obtained family is demonstrated.

【Key words】Integrable lattice equation； Bi-Hamiltonian structure； Liouville integrable

1 研究背景

自然界中有很多復(fù)雜的現(xiàn)象可以用可積晶格方程來(lái)描述，比如，晶體中的質(zhì)子振動(dòng)，自然界中的脈沖現(xiàn)象，電子網(wǎng)絡(luò)分布以及電流等等。至此，科學(xué)家們已經(jīng)從多種角度對(duì)可積晶格方程進(jìn)行了系統(tǒng)化的研究，如逆-散射轉(zhuǎn)換[1-2]，對(duì)稱和主對(duì)稱[3-4]，連續(xù)-極限和r-矩陣結(jié)構(gòu)[5]，哈密頓和雙-哈密頓結(jié)構(gòu)[6-9]，可積耦合系統(tǒng)[10-11]，由Casorati行列式建立復(fù)合解[12]，達(dá)布變換[13-14]等等。

如果一個(gè)方程族

能夠作為譜問(wèn)題（3）和（4）的相容性條件

那么，方程族（1）是拉克斯可積的。

其中，離散的空間譜問(wèn)題如下所示

以及如下的相應(yīng)時(shí)間譜問(wèn)題

其中un=u（n，t），n是離散變量，t是連續(xù)變量，n∈Z，t∈R。

晶格函數(shù)f（n）的位移算子E及其逆算子的定義為

Efn=fn+1=f（n+1），E-1fn=fn-1=f（n-1），n∈Z（5）

空間譜問(wèn)題（3）和時(shí)間譜問(wèn)題（4）是方程族（1）的拉克斯對(duì)，顯然，尋找適合空間譜問(wèn)題（3）的新的可積晶格方程仍然是十分復(fù)雜的。此外，雙-哈密頓結(jié)構(gòu)[8-9]的存在性問(wèn)題是可積晶格方程的特征之一。若一族可積晶格方程具有雙-哈密頓結(jié)構(gòu)，那么可以找出一個(gè)繼承算子，通過(guò)計(jì)算得到相應(yīng)方程族的守恒泛函和對(duì)稱性。 跡-恒等式是建立可積晶格方程族的雙-哈密頓結(jié)構(gòu)的有效方法之一[6-7]。

文章結(jié)構(gòu)如下，第一節(jié)，介紹孤立子的研究背景。第二節(jié)中，我們引入一個(gè)離散的空間譜問(wèn)題：

上面公式中的un= 是位勢(shì)向量，φn= 是特征函數(shù)向量，λ是譜參數(shù)并且λt=0。

第一步，選取一個(gè)合適的時(shí)間譜問(wèn)題（4），第二步，運(yùn)用離散零曲率方程導(dǎo)出一族可積晶格方程。第3節(jié)中，建立導(dǎo)出的可積晶格方程族的雙-哈密頓結(jié)構(gòu)，然后由跡-恒等式導(dǎo)出其相應(yīng)的守恒泛函，因此可積晶格方程族的劉維爾可積性得到證明。最后，第4節(jié)中，有一些相關(guān)的結(jié)論和評(píng)價(jià)。

2 一族新的可積晶格方程

這一節(jié)中，我們將推導(dǎo)出一族新的可積晶格方程。首先，求解駐定離散零曲率方程

（EΓn）Un-UnΓn=Γn+1Un-Un-UnΓn=0（7）

這里

方程族（7）的具體形式為

運(yùn)用Laurent級(jí)數(shù)展開(kāi)式

然后將（9）代入（8）中，得到初始條件如下所示

a -a =0，b =0，c =0

以及相應(yīng)遞推關(guān)系：

根據(jù)命題[7]得知a ，b ，c ，m≥1是局部的。若取a = ，且用差分算子（E-1）的逆運(yùn)算求解a ，m≥1時(shí)，我們?nèi)〕?shù)為0，因此遞推關(guān)系（10）唯一的決定了a ，b ，c ，m≥1。

經(jīng)過(guò)計(jì)算得到前兩個(gè)集合如下：

假定

由（10）直接進(jìn)行計(jì)算，得到

顯然，方程族（11）與（Un） 不耦合，所以選取一個(gè)修正項(xiàng)

假定

，m≥0

經(jīng)過(guò)計(jì)算得到如下方程

顯然，修改過(guò)的方程與（Un） 耦合。

下面介紹一個(gè)適合譜問(wèn)題（6）的時(shí)間譜問(wèn)題：

所以，空間譜問(wèn)題（6）與時(shí)間譜問(wèn)題（12）的相容性條件為：

該相容性條件等價(jià)于離散零曲率方程：

因此，（13）給出了微分-差分方程族的一族可積晶格方程，如下所示

所以，方程族（14）的拉克斯對(duì)由（6）和（12）構(gòu)成，因而，（14）是拉克斯可積的。

m=0時(shí)，（14）是一個(gè)平凡的線性系統(tǒng)

m=1時(shí)，方程族（14）首個(gè)非平凡可積晶格方程，如下所示

3 方程族（14）的雙-哈密頓結(jié)構(gòu)

這一節(jié)中，任務(wù)是建立方程族（14）的雙-哈密頓結(jié)構(gòu)。為了更好的進(jìn)行下一步以及更深入的討論，這里介紹一些概念。

首先，（f ，g ） 表示fn與gn的標(biāo)準(zhǔn)積，R2表示二維歐式空間

值得注意的是fn，gn于無(wú)窮大處趨于0，亦即fn→0，gn→0，n→∞。

然后

表示Gateaux導(dǎo)數(shù)定義。

接著，等式=

若J為斜對(duì)稱算子且滿足Jacobi恒等式，則稱線性算子J為哈密頓算子。

根據(jù)參考文獻(xiàn)[7]，記

以及= Tr（XY），和為同階矩陣。易知

運(yùn)用參考文獻(xiàn)【7】中的跡-恒等式

（16）

將拓展式

代入（16），并且平衡方程（16）中等式兩端的λ-2m-1系數(shù)，結(jié)果如下

（17）

一個(gè)特殊情況考慮如下，在（17）中令m=0時(shí)，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到ε=0。 因此，（17）可以寫(xiě)成

- =（ε-2m）- ，

假定 = （ ），m>0

我們有 =- ，m>0，

通過(guò)計(jì)算，進(jìn)一步得到

其中J=

利用方程（10）經(jīng)過(guò)一定計(jì)算，得到如下遞推關(guān)系

=ψ ，m>0

這里ψ是一個(gè)2×2階矩陣。

= E 定義了變分導(dǎo)數(shù)。

因此可以用如下的雙-哈密頓結(jié)構(gòu)重寫(xiě)方程（14），如下所示

u = =J =Jψ =Jψ ，m≥1.（18）

因?yàn)榉匠蹋?5）屬于方程族（14），所以，（15）具有雙-哈密頓結(jié)構(gòu)：

u = =J ， = （19）

為了證明離散雙哈密頓系統(tǒng)（18）是劉維爾可積的，

下面引入泊松括號(hào)：

{f ，g } =< ，J >= ，J （20）

證明極大冪守恒泛函的存在是十分重要的， 為了得到結(jié)果，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到

同理得到

{ ， } =-{ ， }

由于李括號(hào)具有自反性，容易得到

{ ， } =-{ ， }

所以

{ ， } =0，m，l≥1（21）

以及

（ ）t =< ，un >=< ，J >={ ， } =0，m，l≥1（22）

由上述結(jié)論， 我們得到如下定理。

定理1

（1）{ } 是方程族（14）（或（18））的守恒泛函。在與泊松括號(hào)（20）相關(guān)的對(duì)合中成對(duì)的進(jìn)行變化。

（2）方程族（14）中的方程都是Liouville可積的并且具有離散雙-哈密頓結(jié)構(gòu)。

4 結(jié)論與評(píng)價(jià)

在這篇文章中，首先引入了一個(gè)離散譜問(wèn)題，然后由離散零曲率方程推導(dǎo)出一族離散的可積微分-差分方程。通過(guò)跡-恒等式，為得到的方程族建立一個(gè)雙-哈密頓結(jié)構(gòu)。然后，提出一些常見(jiàn)的守恒泛函，這暗指獲得的離散雙-哈密頓系統(tǒng)是劉維爾可積的。此外，還有其他的可積性問(wèn)題值得進(jìn)一步研究，例如達(dá)布變換、對(duì)稱與主對(duì)稱、可積耦合系統(tǒng)、半直和李代數(shù)等等。

【參考文獻(xiàn)】

[1]ABLOWITZ M J， SEGUR H. Solitons and the inverse scattering transform[M]. Philadelphia：Siam，1981.

[2]NEWELL A C.Solitons in Mathematics and Physics[J].1985.

[3]ZHANG H W， TU G Z， OEVEL W， et al. Symmetries， conserved quantities， and hierarchies for some lattice systems with soliton structure[J].Journal of mathematical physics，1991，32（7）：1908-1918.

[4]FUCHSSTEINER B，MA W X. An approach to master symmetries of lattice equations[J].Cambridge University Press.，1999.

[5]MEROLA I，RAGNISCO O， T G Z. A novel hierarchy of integrable lattices[J].Inverse Problems，1994，10（6）：1315.

[6]TU G Z.The trace identity， a powerful tool for constructing the Hamiltonian structure of integrable systems[J].Journal of Mathematical Physics，1989，30（2）：330-338.

[7]TU G Z. A trace identity and its applications to the theory of discrete integrable systems[J]. Journal of Physics A： Mathematical and General，1990，23（17）：3903.

[8]MA W X，XU X X.A modified Toda spectral problem and its hierarchy of bi-Hamiltonian lattice equations[J].Journal of Physics A：Mathematical and General， 2004，37（4）：1323.

[9]MA W X，XU X X.Positive and negative hierarchies of integrable lattice models associated with a Hamiltonian pair[J].International Journal of Theoretical Physics， 2004，43（1）：219-235.

[10]MA W X，XU X X，ZHANG Y F. Semi direct sums of Lie algebras and discrete integrable couplings[J]. Journal of Mathematical Physics，2006，47（5）：053501.

[11]MA W X. A discrete variational identity on semi-direct sums of Lie algebras[J]. Journal of Physics A：Mathematical and Theoretical，2007，40（50）：15055.

[12]MA W X，MARUNO K. Complexiton solutions of the Toda lattice equation[J].Physica A：Statistical Mechanics and its Applications，2004，343：219-237.

[13]WU Y T，Geng X G. A new integrable symplectic map associated with lattice soliton equations[J].Journal of Mathematical Physics，1996，37（5）：2338-2345.

[14]XU X X.Darboux transformation of a coupled lattice soliton equation[J].Physics Letters A，2007，362（2）：205-211.

[責(zé)任編輯：朱麗娜]