實(shí)數(shù)完備性定理之間的一個(gè)循環(huán)推導(dǎo)

周偉松　李小柳

【摘 要】極限理論是數(shù)學(xué)分析的基石，而實(shí)數(shù)完備性定理又是極限理論的基本理論[1-2]。本文給出了實(shí)數(shù)完備性六個(gè)基本定理的一個(gè)循環(huán)證明，通過對(duì)這六個(gè)基本定理的推導(dǎo)可以啟發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)分析的理解和提高學(xué)習(xí)興趣。

【關(guān)鍵詞】實(shí)數(shù)；確界；完備性；柯西收斂

1 實(shí)數(shù)完備性定理[1-2]

實(shí)數(shù)完備性的表述通常有六個(gè)定理，本文將給出這六個(gè)定理之間的一個(gè)循環(huán)推導(dǎo)。六個(gè)命題表述如下：

命題1（確界存在定理）設(shè)S為非空數(shù)集。若S有上（下）界，則S必有上（下）確界。

命題2（單調(diào)有界定理）在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限。

命題3（區(qū)間套定理）若{[an，bn]}是一區(qū)間套，則存在唯一點(diǎn)ξ，使得

ξ∈[an，bn]，n=1，2，…

命題4（有限覆蓋定理）設(shè)H為閉區(qū)間[a，b]的一個(gè)開覆蓋， 則在H中必存在有限個(gè)開區(qū)間來覆蓋[a，b]。

命題5（聚點(diǎn)定理）實(shí)軸上的任一有界無限點(diǎn)集S至少有一個(gè)聚點(diǎn)。

命題6（柯西收斂準(zhǔn)則）數(shù)列{an}收斂的充要條件是：對(duì)任給的ε>0，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n，m>N時(shí)有|an-am|<ε。

2 一個(gè)循環(huán)證明[3]

命題1

證明：詳見文獻(xiàn)[1]中第二章定理2.9（第35頁）。

命題2？圯命題3

證明：由于a1≤a2≤…≤an≤…≤bn≤…≤b2≤b1而且{an}為單調(diào)遞增的有界數(shù)列，依據(jù)命題2，{an}有極限ξ，且有

an≤ξ，n=1，2，….（1）

同理，單調(diào)遞減的有界數(shù)列{bn}也有極限，并且根據(jù)區(qū)間套的條件 （bn-an）=0有 b = a =ξ，且

bn≥ξ，n=1，2，….（2）

聯(lián)合（1-2）式，即得an≤ξ≤bn，n=1，2，….

最后證明ξ是唯一的。不妨設(shè)ξ'也滿足

an≤ξ≤bn，n=1，2，….

則有

|ξ-ξ'|≤bn-an，n=1，2，….

由區(qū)間套的定義得

|ξ-ξ'|≤ （bn-an）=0，

故有ξ'=ξ。

命題3

證明：可參見文獻(xiàn)[1]中第七章定理7.3（第165頁）。

命題4

證明：設(shè)E為有界無窮點(diǎn)集，因此存在M>0，使得E？奐[-M，+M]。由閉區(qū)間的聚點(diǎn)均含于該閉區(qū)間，故若有聚點(diǎn)，必含于[-M，+M]。

反證法：若E無聚點(diǎn)，即[-M，+M]中任何一點(diǎn)都不是E的聚點(diǎn)，則對(duì)于？坌x∈[-M，+M]，必有相應(yīng)的δx>0，使得U（x；δx）內(nèi)至少只有點(diǎn)x∈E（若x？埸E，則U（x；δx）中不含E中之點(diǎn)）。所有這些領(lǐng)域的全體形成[-M，+M]的一個(gè)無限開覆蓋：

H={（x-δx，x+δx）|x∈[-M，+M]}.

由命題4知，H中可以找到有限個(gè)開區(qū)間來覆蓋[-M，+M]。記

為[-M，+M]的一個(gè)有限開覆蓋，則 也能覆蓋E。由U（x；δx）的構(gòu)造含意知， 中N個(gè)領(lǐng)域至多有N個(gè)點(diǎn)屬于E，這與E為無窮點(diǎn)集相矛盾。因此，在[-M，+M]內(nèi)一定有E的聚點(diǎn)。證畢。

命題5

證明：必要性：若數(shù)列{an}收斂，則對(duì)任給的ε>0，存在N>0，使得對(duì)m，n>N有|am-an|<ε。

設(shè) an=A，由數(shù)列極限定義知，對(duì)？坌ε>0，？堝N>0，當(dāng)m，n>N時(shí)，有

|am-A|< ，|an-A|< ，

因而|am-an|≤|am-A|+|an-A|< + =ε。

充分性：若對(duì)任給的ε>0，存在N>0，使得對(duì)m，n>N有|am-an|<ε，則 an=A。

（i）對(duì)于ε0=1，存在N0>0，使得對(duì)m，n>N0時(shí)，有

|am-an|<ε0=1，即am-1

取m=N0+1，n>N0則

a -1

記M=max{|a1|，|a2|，…，|a |，|a -1|，|a +1|}，

則對(duì)于？坌n∈N+，有|an|≤M，即{an}為有界數(shù)列。

（ii）由命題5推論知，有界數(shù)列必含有收斂子列，故{an}必有收斂子列{a }。記 a =A.

（iii）由柯西條件知，對(duì)于？坌ε>0，？堝N1>0，當(dāng)m，n>N1時(shí)，有

|am-an|< .

而由于 a =A，？堝N2>0，當(dāng)m，n>N2時(shí)，有

|a -A|< .

取N=max{N1，N2}，擇當(dāng)m，n，k>N時(shí)，有

|am-an|< ，|a -A|< .

故|an-A|=|an-a +a -an|≤|an-a |+|a -an|< + =ε.

即有 an=A。證畢。

命題6

證明：可以參見文獻(xiàn)[1]中第七章第一節(jié)例題1（第167頁）。

3 小結(jié)

上述實(shí)數(shù)完備性六個(gè)基本定理的一個(gè)循環(huán)證明，是根據(jù)筆者根據(jù)文獻(xiàn)[1]中給出的思路而整理歸納的。并且據(jù)我們所知，這七個(gè)基本定理（再加上致密性定理）是彼此等價(jià)的，因?yàn)閺钠渲械娜魏我粋€(gè)均可推導(dǎo)出其余六個(gè)，此處僅是其中的一種證法。

【參考文獻(xiàn)】

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)，第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系陳傳璋等，數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)，第二版）[M].北京：高等教育出版社，1987.

[3]謝惠民，等，數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[責(zé)任編輯：朱麗娜]