一種求解Sylvester矩陣方程的松弛梯度迭代方法

王大寬

（山西藥科職業(yè)學(xué)院，山西 太原 030031）

一種求解Sylvester矩陣方程的松弛梯度迭代方法

王大寬

（山西藥科職業(yè)學(xué)院，山西 太原 030031）

本論文提出了一種求解Sylvester矩陣方程的松弛梯度迭代法，并分析了這種迭代方法的收斂性。與已知的梯度迭代方法相比，松弛梯度迭代法提高了梯度迭代方法收斂速度，減少了運(yùn)算時間。數(shù)值例子驗證了松弛梯度迭代方法的有效性。

Sylvester矩陣方程；梯度迭代法；收斂性

考慮下面的Sylvester矩陣方程

其中A∈Rm×m，B∈Rn×n，C∈Rm×n是常數(shù)矩陣。當(dāng)B=AT，方程（1）就是所謂的Lyapunov矩陣方程。這些矩陣方程在控制和系統(tǒng)理論中經(jīng)常出現(xiàn)，并在系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中扮演著重要角色[1-4]，Ding和Chen[5]利用辨識原理得到了一種求解方程（1）的迭代方法―梯度迭代（GI）方法。Wang等[6]提出了一種改進(jìn)的梯度迭代（MGI）方法。

本文根據(jù)GI方法和MGI方法，給出了一種松弛的梯度迭代方法，并分析了算法的收斂性。我們分別用WT，||W||和t（rW）表示矩陣W的轉(zhuǎn)置、F-范數(shù)和跡。對任意的兩個矩陣A和B，〈A，B〉=t（rBTA）定義為兩個矩陣的內(nèi)積，并且||A||2=t（rATA）。

1 梯度迭代（GI）方法和改進(jìn)的梯度迭代（MGI）方法

1.1 梯度迭代（GI）方法

首先我們簡單介紹一下求解方程（1）的GI方法，利用辨識原理，定義兩個矩陣S1和S2：

分別用X（1k）和X（2k）表示迭代至第k步的近似解,并對這兩個迭代值取算數(shù)平均，便得到GI算法：

定理1[5]如果Sylvester方程（1）有唯一解X，則由方法（4）得到X（k）的收斂到X，即對任意的初值X（0），都有。

1.2 改進(jìn)的梯度迭代（MGI）方法

在GI方法中，如果在每一步迭代中利用X（1k）更新X（k-1），便可以得到文獻(xiàn)[5]中的MGI方法:

定理2[6]如果Sylvester方程（1）有唯一解X，并且，則由（5）得到的X（k）收斂到X，即對任意的初值X（0），都有。

2 松弛梯度迭代（RGI）方法

在算法（5）中，我們利用X（k-1）和X（1k）來得到新的X（k-1）的值，并引入兩個松弛因子ω1和ω2，便得到下面的RGI方法：

定理3 如果Sylvester方程（1）有唯一解X，并且，則由（6）得到的X（k）收斂到X，即對任意的初值X（0），都有。

3 數(shù)值例子

我們通過一個數(shù)值例子說明RGI方法的有效性，并分別同GI方法、MGI方法和AGBI[7]方法進(jìn)行比較。

例1 考慮矩陣方程AX+XB=C，其中A,B,C是的60×60矩陣，這些矩陣通過下面的Matlab程序產(chǎn)生：

這里取α=6，這時矩陣方程（1）是很病態(tài)的。從圖1和表1的數(shù)值結(jié)果可以看到，RGI方法優(yōu)于其它三種方法，在收斂速度和運(yùn)行時間方面比GI方法、MGI方法和AGBI方法更有優(yōu)勢。

圖1 四種方法的收斂圖像比較

表1 數(shù)值結(jié)果

參考文獻(xiàn)

［1］B itmead R,Explicit solutions of the discrete-time Lyapunov matrix equation and Kalman C Ya kubovich equations［J］.IEEE Trans Autom Control，1981,（26）：1291-1294.

［2］B itmead R,W eiss H,On the solution of the discrete-time Lyapunov matrix equation in controllable canonical form［J］.IEEE Trans Autom Control,1979,（24）：481-482.

［3］丁鋒,蕭德云，多變量系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的遞階辨識［J］.控制與決策，2005,（20）：848-859.

［4］張凱院，Lyapunov型矩陣方程的迭代-校正解法［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，1996,（12）：104-108.

［5］Ding F,Chen T W,Gradient based iterative algorithms for solving a class of matrix equations［J］.IEEE Trans A utom Control,2005,（50）：1216-1221.

［6］Wang X,Dai L,Liao D,A modified gradient based algorithm for solving Sylvester e q uations［J］.Appl Math Comput.2012,（218）：5620-5628.

［7］Xie Y J,Ma C F,The accelerated gradient based iterative algorithm for solving a class of generalized Sylvester-transpose matrix equation［J］.A ppl Math Comput,2015,000:1-13.

（責(zé)任編輯 趙巨濤）

O13

A

1673-2014（2017）02-0050-03

2017—02—06

王大寬（1969— ），男，山西平遙人，講師，主要從事高職數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。