一類(lèi)依測(cè)度收斂而處處不收斂的函數(shù)列

韓凱凱

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

一類(lèi)依測(cè)度收斂而處處不收斂的函數(shù)列

韓凱凱

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

文獻(xiàn)[1]中構(gòu)造了一個(gè)依測(cè)度收斂而處處不收斂的函數(shù)列，文章構(gòu)造了一類(lèi)依測(cè)度收斂而處處不收斂的函數(shù)列，且文獻(xiàn)[1]中的函數(shù)列是該類(lèi)的一個(gè)特例。

依測(cè)度收斂；處處不收斂；函數(shù)列

1 引言

文獻(xiàn)[1]構(gòu)造了（0，1]上的一個(gè)依測(cè)度收斂而處處不收斂的函數(shù)列。文章考慮了R的有限區(qū)間和無(wú)限區(qū)間兩種情況：對(duì)于有限區(qū)間，構(gòu)造了一類(lèi)依測(cè)度收斂而處處不收斂的函數(shù)列；對(duì)于無(wú)限區(qū)間，構(gòu)造了一類(lèi)依測(cè)度收斂而非a.e.收斂的函數(shù)列。

2 預(yù)備知識(shí)

定義 設(shè){fn}是E?Rq上的一列a.e.有限的可測(cè)函數(shù)，若有E上a.e.有限的可測(cè)函數(shù)（fx）滿(mǎn)足下列關(guān)系：

3 主要結(jié)果

例：一類(lèi)依測(cè)度收斂而處處不收斂的函數(shù)列。構(gòu)造如下：

當(dāng)E是R中的任一有限區(qū)間時(shí)，不妨設(shè)E=（a，b（]a＜b）。設(shè)p是任一給定的素?cái)?shù)（p＞0），s，t是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)（不妨設(shè)｜t｜＜｜s｜）。將Ep等分，定義p個(gè)函數(shù)：

注1：當(dāng)（a，b（]0，1），p=2，s=1，t=0時(shí)，即退化為文獻(xiàn)[1]中的函數(shù)列。

當(dāng)E是R中任一無(wú)限區(qū)間時(shí)，下面構(gòu)造一類(lèi)依測(cè)度收斂而非a.e.收斂的函數(shù)列。不妨設(shè)E=（a，∞）。設(shè)p是任一給定的素?cái)?shù)（p＞0），s，t是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)（不妨設(shè)｜t｜＜｜s｜）。將E分成p+1份：將（a，a+1]p等分與（a+1，∞），定義（a，∞）個(gè)函數(shù)：

注2：在這里提出一個(gè)問(wèn)題，上面構(gòu)造了R的無(wú)限區(qū)間上的一個(gè)依測(cè)度收斂而非a.e.收斂的函數(shù)列。問(wèn)R的無(wú)限區(qū)間上是否存在依測(cè)度收斂而處處不收斂的函數(shù)列？如果存在，如何構(gòu)造？如果不存在，如何證明？更進(jìn)一步，問(wèn)R的任意勒貝格可測(cè)集上是否存在這樣的函數(shù)列？

［1］程其襄等，實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)［M］，第三版.北京：高等教育出版社，2010.

（責(zé)任編輯 趙巨濤）

O174

A

1673-2014（2017）01-0033-02

2017—01—15

韓凱凱（1986— ），男，河北邢臺(tái)人，碩士，助教，主要從事泛函分析研究。