Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及其過(guò)渡矩陣的Jordan鏈求法

王嬌

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及其過(guò)渡矩陣的Jordan鏈求法

王嬌

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

任何一個(gè)矩陣A總是相似于一個(gè)與其相應(yīng)的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，文章就Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的過(guò)渡矩陣的求法進(jìn)行了探討。介紹了矩陣A的根向量，即廣義特征向量，并把的Jordan鏈與根向量一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，使得求Jordan鏈組歸結(jié)為求根向量組。同時(shí)，給出根向量組的性質(zhì)及求法，并總結(jié)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形和變換矩陣的求法。

Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；過(guò)渡矩陣；根向量；Jordan鏈

1 引言

矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形理論在數(shù)學(xué)、力學(xué)和計(jì)算方法中得到廣泛的應(yīng)用，因此求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形和過(guò)渡矩陣成為一個(gè)重要的研究課題。求矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形最常見(jiàn)的方法是初等因子法，然而矩陣的初等因子一般不易求得，實(shí)際應(yīng)用起來(lái)有一定難度。至于過(guò)渡矩陣，由于它的確定牽涉到復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題，在眾多的包含矩陣?yán)碚摰闹髦校行┲挥懻摿司仃嚨腏ordan標(biāo)準(zhǔn)形而未討論過(guò)渡矩陣的求法，有些給出了算法，但較為繁瑣。文章介紹求矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形和過(guò)渡矩陣的Jordan鏈[1,2]求解法。

2 Jordan鏈與根向量

設(shè)J是復(fù)矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，J1（λ0）是J的一個(gè)Jordan塊，不妨設(shè)J=diag（J（1λ0），…）。

由A～J，存在可逆矩陣T，使T-1AT=J，AT=TJ。對(duì)J做列分塊，設(shè)T=（η1，η2，…，ηl，…），則有：

定義1 設(shè)是λ0方陣A的特征值，若?0≠ηi∈Cn,1≤i≤l，使得

則稱有序?qū)崝?shù)組（η1，η2，…，η）l是方陣A的屬于特征值λ0的長(zhǎng)為l的Jordan鏈。

由前面推導(dǎo)，J的每一個(gè)Jordan塊J（1λ0）都對(duì)應(yīng)于A的一個(gè)屬于λ0的長(zhǎng)為l的Jordan鏈。反之，A的每一個(gè)屬于特征值λ0的長(zhǎng)為l的Jordan鏈（η1，η2，…，η）l，都對(duì)應(yīng)Jordan塊J（1λ0），使得

這樣，就把J的Jordan塊與Jordan鏈一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，使得求可逆矩陣T歸結(jié)為求A的Jordan鏈組。

設(shè)（η1，η2，…，η）l是A的屬于特征值λ0的長(zhǎng)為l的Jordan鏈，由定義1可得：

定義2 設(shè)λ0是方陣A的特征值，若?ξ∈Cn使得

則稱ξ是A的屬于特征值λ0的l級(jí)根向量。

顯然，ξ是A的特征向量當(dāng)且僅當(dāng)ξ是A的1級(jí)根向量。所以，根向量是特征向量的推廣，也稱為廣義特征向量。前面的推導(dǎo)說(shuō)明，屬于λ0的長(zhǎng)為l的Jordan鏈的最后一個(gè)向量是屬于λ0的l級(jí)根向量。

設(shè)ξ是方陣A的屬于特征值λ0的l級(jí)根向量。

即有（ξ1，ξ2，…，ξ）l是A的屬于特征值λ0的長(zhǎng)為l的Jordan鏈。

這樣，又把A的長(zhǎng)為l的Jordan鏈與l級(jí)根向量一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，使得求Jordan鏈組歸結(jié)為求根向量組。

3 根向量組的性質(zhì)與求法

定理1[3]設(shè)λ0是方陣A的特征值，mA（x）=（x-λ0）kg（x），g（λ0）≠0則A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中k階Jordan塊個(gè)數(shù)等于

定理2[3]設(shè)λ0是方陣A的特征值，mA（x）=（x-λ0）kg（x），g（λ0）≠0若的第j1，j2，…，jlk個(gè)列向量構(gòu)成列向量組的極大無(wú)關(guān)組，則C=g（A）的第j1，j2，…，jlk個(gè)列向量是A屬于特征值λ0的k級(jí)根向量，且線性無(wú)關(guān)。

4 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形和過(guò)渡矩陣的求法

設(shè)λ0是方陣A的m重特征值，則可按下列方法求出屬于λ0的若干個(gè)根向量，使得它們級(jí)數(shù)之和為m。

（1）沿用定理2的記號(hào)，可按定理2求出lk屬于特征值λ0的k級(jí)根向量，記為。令，可得lk個(gè)長(zhǎng)為k的Jordan鏈。

是A的屬于特征值λ0的k-1級(jí)根向量，且線性無(wú)關(guān)。令：

是屬于λ0的k-2級(jí)根向量。仿照（2）又可得到lk-2個(gè)屬于λ0的長(zhǎng)為k-2的Jordan鏈.

歸納地，可以求出屬于λ0的li長(zhǎng)為i的Jordan鏈，1≤i≤k。由Jordan鏈與Jordan塊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得為λ0的代數(shù)重?cái)?shù)。

5 算例

求可逆矩陣T，使T-1AT=J為Jordan形矩陣，并寫(xiě)出J。

［1］劉江國(guó).廣義特征子空間與Jordan鏈：構(gòu)造Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的一個(gè)新途徑［J］.鄭州工學(xué)院學(xué)報(bào),1994(03)：76-86.

［2］李偉.關(guān)于Jordan鏈的一種新求法［J］.渤海大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006(2),134-135.

［3］牛興文.高等代數(shù)與解析幾何［M］.北京：化學(xué)工業(yè)出版社,2005.

［4］王文省等.高等代數(shù)［M］.濟(jì)南：山東大學(xué)出版社,2004.

［5］張凱院，徐仲.數(shù)值代數(shù)［M］，第2版修訂本.北京：科學(xué)出版社，2010.15-17.

［6］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)［M］，第4版.北京：高等教育出版社，2013.

［7］王嬌，張凱院，李書(shū)連.多矩陣變量線性矩陣方程的廣義自反解的迭代算法［J］.數(shù)值計(jì)算與計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2013,34(1)：9-19.

（責(zé)任編輯 趙巨濤）

O151.21

A

1673-2014（2017）02-0030-03

長(zhǎng)治學(xué)院校級(jí)科研項(xiàng)目（201515）

2017—02—16

王嬌（1988— ），女，山東濟(jì)南人，碩士，助教，主要從事計(jì)算數(shù)學(xué)方向教學(xué)與研究。