恒加應(yīng)力水平下混合指數(shù)-威布爾分布的EM估計(jì)

李建麗，李海增，李江杰

（長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長治 046011）

恒加應(yīng)力水平下混合指數(shù)-威布爾分布的EM估計(jì)

李建麗，李海增，李江杰

（長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長治 046011）

指數(shù)-威布爾分布是一種應(yīng)用廣泛的壽命分布，文章探討了在恒加應(yīng)力水平下的兩個指數(shù)-威布爾分布構(gòu)成的混合分布，利用EM算法對該混合分布中的參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)，并給出了參數(shù)估計(jì)的迭代式。

混合指數(shù)-威布爾分布；加速壽命試驗(yàn)；EM算法；完全數(shù)據(jù)

壽命數(shù)據(jù)分析現(xiàn)今已成為一熱門領(lǐng)域。對于單個壽命數(shù)據(jù)總體的統(tǒng)計(jì)分析已十分成熟，而在實(shí)際應(yīng)用中，也會經(jīng)常遇到混合分布的情況，混合分布模型在處理復(fù)雜數(shù)據(jù)和樣本中具有良好的適應(yīng)性和模擬性。目前，有許多學(xué)者對混合分布展開了研究，如朱利平等[1]研究了在完全數(shù)據(jù)下的混合指數(shù)分布的參數(shù)估計(jì)。在壽命分布中，指數(shù)-威布爾分布[2]EWD）是一種重要的分布，其分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別為：

（1）式中固定參數(shù)α=α0，并令xα0=t，則（1）式轉(zhuǎn)化為：

張曉勤等[3]用ECM算法研究了（1）式分布構(gòu)成的混合分布在正常應(yīng)力水平下的參數(shù)估計(jì)問題。馮艷等[4]探討了（2）式分布在截尾情形下的參數(shù)估計(jì)。

現(xiàn)今隨著科技的發(fā)展，高可靠性、長壽命的產(chǎn)品越來越多，此時正常應(yīng)力水平下進(jìn)行的可靠性試驗(yàn)已不再適應(yīng)。而加速壽命試驗(yàn)可以在保持失效機(jī)理不變的情況下，加快產(chǎn)品的失效，在短時間內(nèi)可獲取產(chǎn)品可靠性指標(biāo)的評定。加速壽命試驗(yàn)中最常見的一種試驗(yàn)是恒加應(yīng)力試驗(yàn)。對于單個分布的加速壽命試驗(yàn)，茆詩松，王玲玲[5]已進(jìn)行了很好的研究和總結(jié)。但是對于多個分布組成的混合模型的加速壽命模型的研究比較少見。文章將研究恒加應(yīng)力水平下由（2）式分布所構(gòu)成的二階混合指數(shù)-威布爾分布在完全數(shù)據(jù)場合下的參數(shù)估計(jì)。

基本假定：

假定一：在恒加應(yīng)力水平S1…，S（kS0＜S1＜…＜Sk）下，產(chǎn)品占總體的比例批p保持不變，產(chǎn)品的壽命服從混合指數(shù)-威布爾分布，其密度函數(shù)為：

假定二：產(chǎn)品的中位壽命t0.5與應(yīng)力水平S之間有如下關(guān)系：

其中aj，bj為未知參數(shù)，Φ（S）i是Si的已知函數(shù)。

定理 二階混合指數(shù)-威布爾分布的參數(shù)的估計(jì)迭代公式分別為：

證明 設(shè)第i個應(yīng)力水平下第j個產(chǎn)品的壽命tij服從混合指數(shù)-威布爾分布，根據(jù)基本假定，則可知tij的分布為：

引進(jìn)一示性變量Iij,Iij=1表示tij～f（itij，1），Iij=0表示tij～f（itij，2），可知Iij～b（1，p）。由于不知道tij來自fi（tij，1）還是f（itij，2）的指數(shù)-威布爾分布總體,故Ii是不能被觀測到的隨機(jī)變量。

tij和Iij的聯(lián)合分布即完全數(shù)據(jù)的分布為：

根據(jù)貝葉斯公式，Iij在tij給定的條件分布為：

給定初值η0，EM算法的步驟如下：

文章主要探討了恒加試驗(yàn)條件下，混合指數(shù)-威布爾分布在完全數(shù)據(jù)情形下的參數(shù)估計(jì)問題，進(jìn)一步還可以討論該混合分布在恒加應(yīng)力條件下在截尾數(shù)據(jù)情況下的參數(shù)估計(jì)。

［1］朱利平,盧一強(qiáng),茆詩松.混合指數(shù)分布的參數(shù)估計(jì)［J］.應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì),2006,22(2)：137-150.

［2］Mudholker G S,Srivastava D K.Exponentiated Weibull family for analying bathtub failure data［J］.IEEET rans.Reliab,1993,42：299-302.

［3］張曉勤,王煜,盧殿軍.混合指數(shù)威布爾分布的參數(shù)估計(jì)［J］.河南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,42(3)：230-233.

［4］馮艷,師義民,嚴(yán)惠云.定數(shù)截尾情形下指數(shù)-威布爾分布參數(shù)的Bayes估計(jì)［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2007,37(5)：65-70.

［5］茆詩松,王玲玲.可靠性統(tǒng)計(jì)［M］.上海：華東師大出版社,1984.

（責(zé)任編輯 趙巨濤）

O212

A

1673-2014（2017）02-0028-02

山西省高等學(xué)校大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練項(xiàng)目（2015429）；長治學(xué)院科研項(xiàng)目（201606）

2017—02—11

李建麗（1983— ），女，山西高平人，講師，碩士，主要從事概率統(tǒng)計(jì)方面的研究。