“雞兔同籠”問題的研究綜述

張莉+羅燕+李昌勇

摘要：雞兔同籠問題是我國古代數(shù)學(xué)名題，同時也是多種數(shù)學(xué)思想與解題方法的載體，在小學(xué)教材和競賽教學(xué)中都占有重要地位。在查閱有關(guān)文獻的基礎(chǔ)上，從雞兔同籠的歷史背景、教學(xué)研究、解法研究等幾方面，對國內(nèi)雞兔同籠相關(guān)文獻進行了梳理，期望為雞兔同籠問題的相關(guān)研究提供參考。

關(guān)鍵詞：雞兔同籠 教學(xué) 解法 綜述

一、“雞兔同籠”歷史背景

“雞兔同籠”最初記載于公元 3～4世紀的《孫子算經(jīng)》，該書作者不詳。其中將“雞兔同籠”問題敘述為：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉兔各幾何?！焙笥质珍浻诿鞔檀笪唬?533年～1606年）所著《算法統(tǒng)宗》第八卷的“少廣章”，問題敘述時把“雉”改為了“雞”，由此“雞兔同籠”的說法沿用至今。

古人對于雞兔同籠的問題早已給出了解法。《孫子算經(jīng)》中的解法可概括為：“上置頭，下置足，半其足，以頭除足，以足除頭即得”。此方法即為“半足法”?！端惴ńy(tǒng)宗》給出了兩種不同于“半足法”的算法，一種算法為：“置總頭倍之得七十，與總足內(nèi)減七十余二四，折半得一十二是兔，以四足乘之得四十八足，總足減之余四十六足為雞足，折半得二十三?！绷硪环N算法是先求雞的只數(shù)，與先求兔的只數(shù)程序基本相同。這個方法叫做“倍頭法”。

二、雞兔同籠相關(guān)研究的分類統(tǒng)計

根據(jù)CNKI檢索結(jié)果，最早關(guān)于“雞兔同籠”的文章寫于1950年，本文就2008年至今的229篇文章進行分析，發(fā)現(xiàn)主要有教學(xué)類和解法類兩大方面的研究。教學(xué)類文章大致有教學(xué)設(shè)計、課堂實錄及思考這兩類，解法類大致涵蓋假設(shè)法、方程法、列表法、畫圖法和面積法，還有一些特殊的方法。據(jù)統(tǒng)計，教學(xué)設(shè)計的文章占25%，課堂實錄及思考占45%，解法占30%，可見從2008年至今人們更關(guān)心“雞兔同籠”教學(xué)問題。解法類文章中，關(guān)于假設(shè)法的占35%，方程法占24%，列表法占22%，畫圖法占13%，面積法占4%，其它方法占2%?？梢娂僭O(shè)法是人們研究最多的，也是解決“雞兔同籠”的一般方法；方程法是鏈接小學(xué)與初中的橋梁，是代數(shù)思想的初步認識，因此方程思想還是受到了大家的重視；列表法和畫圖法是低年級學(xué)生解決雞兔同籠時最直觀的方法，符合低年級學(xué)生的認知水平，所以它們所占的比重也較大；其他方法研究的相對較少。

三、雞兔同籠教學(xué)研究綜述

（一）教幾種方法

人教版的編寫目的是希望學(xué)生掌握不同的解決問題方法，所以執(zhí)教人教版“雞兔同籠”的老師在教學(xué)中更多地選擇兩種及以上的方法。

《把學(xué)生的潛能變成現(xiàn)實——一節(jié)“雞兔同籠”課的思考》中，李玲玲認為學(xué)生已經(jīng)接觸過“雞兔同籠”問題，故可以把教材上的三種列表法直接呈現(xiàn)成學(xué)生，重點讓學(xué)生來觀察三種列表法特點，學(xué)生基本能用自己語言描述，李玲玲再進行小結(jié)并板書這三種列表法：逐一列表法、跳躍列表法、取中列表法，再讓學(xué)生嘗試其他方法，如假設(shè)法、列方程、畫圖法，由老師引導(dǎo)全班體會和學(xué)習(xí)這些方法?？梢钥闯隼盍崃崾窃谝欢ǔ潭壬蠈⑦@節(jié)課作為了活動課，將學(xué)生置于“已會”的狀態(tài)，注重學(xué)生探索，在活動中讓學(xué)生體會了多種方法并感受參與課堂的愉悅感，不過這種教學(xué)更適合基礎(chǔ)較好的班級。

《讓數(shù)學(xué)課堂充滿生命成長的智慧—“雞兔同籠”教學(xué)實錄與評析》中何仲秋先是設(shè)計了一個小活動讓學(xué)生感受“猜測—驗證—調(diào)整”；接著拋出“雞兔同籠”問題并引導(dǎo)學(xué)生猜測列表，圍繞“怎么猜”“怎么驗證”“猜錯了又怎么辦”來探討“猜”；學(xué)生獨立完成表格并分享思路；接下來，何仲秋引入假設(shè)法，假設(shè)所有兔子都站起來，分析這時腿的數(shù)目變化，發(fā)現(xiàn)兔子站起來就相當(dāng)于都看成雞了，提出假設(shè)思想并請學(xué)生計算；此外，何仲秋還設(shè)計了方程法。

作為小學(xué)高年段的課堂教學(xué)，大部分老師都是選擇列表、假設(shè)、方程等幾種方法給學(xué)生呈現(xiàn)，而在教學(xué)安排上又講究了幾種方法的先后順序，強調(diào)了解法之間的關(guān)聯(lián)。

（二）教一種方法

邱良洪在《“雞兔同籠”教學(xué)設(shè)計（一）—嘗試與猜測》中給出了專門講授列表法的教學(xué)設(shè)計。課上老師給出問題背景，讓學(xué)生經(jīng)歷猜測、嘗試和不斷調(diào)整的過程，在解決雞兔同籠問題的過程中經(jīng)歷逐一列表、取中列表和跳躍式列表，對比三種方法的優(yōu)缺點，使學(xué)生獲得用列表解決一般問題的能力，感悟枚舉的數(shù)學(xué)思想。

陸潮江在《自主選擇，自主體會——列方程解“雞兔同籠”問題教學(xué)實錄》中設(shè)計著重講授方程法的教學(xué)。老師首先讓學(xué)生用已學(xué)的方法解決最常見的“頭和腳和”型雞兔同籠問題，再引入用方程法解雞兔同籠，突出方程的思想。之后依次呈現(xiàn)出“頭和腳差”“頭差腳差”型雞兔同籠問題，促使學(xué)生自覺選擇方程法，感受方程法的優(yōu)越性，重點讓學(xué)生獲得用方程法解決問題的能力。

潘聲榮在《從“雞兔同籠”問題談假設(shè)策略的教學(xué)》著重講授假設(shè)策略。老師首先讓學(xué)生通過畫圖、列表解決數(shù)量簡化后的“雞兔同籠”問題，初步體會用假設(shè)分析數(shù)量關(guān)系的過程，再讓學(xué)生利用假設(shè)法解決“雞兔同籠”原題，之后通過反思提煉得到假設(shè)策略。

只講授一種方法有利于老師對某一方法進行有深度的教學(xué)思考，學(xué)生深入地學(xué)習(xí)這類方法蘊含的數(shù)學(xué)思想，避免了方法多卻不精的情況，至于選擇哪種方法就需要老師針對學(xué)情適當(dāng)選擇，但是幾乎沒有只講畫圖和面積法的專題課程。

四、“雞兔同籠”解法研究綜述

（一）假設(shè)法

假設(shè)思想方法是通過對數(shù)學(xué)問題的一些數(shù)據(jù)做適當(dāng)?shù)母淖?，然后根?jù)題目的數(shù)量關(guān)系進行計算和推理，再根據(jù)計算所得數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的差異進行修正和還原，最后使原問題得到解決的思想方法。

解決雞兔同籠問題可從不同角度假設(shè)。沈婷在《談小學(xué)數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)——以“雞兔同籠”問題為例》中寫到極端假設(shè)法：假設(shè)全是雞（兔）。假設(shè)全是雞，35只雞共70只腳，但實際是94只，假設(shè)比實際少24只腳，少在將4只腳的兔看成2只腳的雞，每只兔少2只腳，所以兔共只，雞35-12=23只。假設(shè)全是兔，思路是一樣的。

在林革的《“雞兔同籠”問題解答集錦和評析》中談到我國科學(xué)院院士張景中教授給出的一種解法，稱其為公平設(shè)計法：兔有4只腳，雞只有2只腳不公平，所以我們就將雞的兩個翅膀也看作腳，那么總共有35×4=140只腳，如果不把翅膀當(dāng)作腳，那么腳94只，所以多出的140-94=46只腳為雞的一對翅膀，所以雞有46÷2=23只，兔有12只。

北京大學(xué)附中特級教師周沛耕提出了“抬腳法”：假設(shè)把雞和兔都抬起兩只腳，則只有兔子還有兩只腳在地上，地上總共剩下94-35×2=24只兔子腳，故兔共12只，雞35-12=23只。

美國著名數(shù)學(xué)教育家G·波利亞十分推崇《孫子算經(jīng)》中的“半足法”，并稱之為“金雞獨立法”，這種方法也可稱為“折半法”。沈婷還寫到“增頭法”，這其實就是《算法統(tǒng)宗》里的“倍頭法”。

假設(shè)法有利于發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力，滲透化歸的思想。上述幾種方法雖然解決問題的角度不同，但都是立足于假設(shè)思想上，這為我們用假設(shè)思想解決問題提供了不同的思考方向。

（二）方程法

不少文章中均提到了用一元一次方程解雞兔同籠，設(shè)雞x只，兔（35-x）只，由數(shù)量關(guān)系可列方程：2x+4（35-x）=94，解得x=23，即雞23只，兔35-23=12只。也可設(shè)兔x只，過程類似。

二元一次方程組，設(shè)雞x只，兔y只，列方程組：解得x=23，y=12。

方程法體現(xiàn)的是代數(shù)思想，需要一定的抽象思維和用符號代替數(shù)的能力，故方程法比較適合高年級學(xué)生。

（三）列表法

北師大五年級數(shù)學(xué)教材呈現(xiàn)了三種列表法。第一種是逐一列舉，將雞的只數(shù)從1開始依次列出，再計算出相應(yīng)的兔的只數(shù)以及總的腳數(shù)，找到正確答案為止；第二種跳躍列舉，跳躍計算雞兔的數(shù)量，逐步逼近雞兔數(shù)量的可能性范圍，以減少列舉的次數(shù)；第三種取中列舉，雞兔共35只，取最中間的數(shù)開始列舉，觀察列舉的腳數(shù)與實際的腳數(shù)的差值，判斷正確值從中間值的左邊還是右邊，再在選擇的一面繼續(xù)取中列舉，這樣大大縮減了列舉的范圍。方愛斌也提到了利用特殊值進行合理推理，逐步逼近正確值，提出了取中猜測和跳躍式猜測。

常規(guī)的逐一列舉法利于低年級的學(xué)生理解，鍛煉了學(xué)生的估算和推理能力，培養(yǎng)了學(xué)生用列表法解決問題的策略。跳躍列舉、取中列舉是優(yōu)化后的列表法，培養(yǎng)了學(xué)生對特殊數(shù)據(jù)的敏感性，滲透了極限逼近思想。

（四）面積法

李樹清在《“雞兔同籠”問題的解法探討》中提出把“雞兔同籠”變?yōu)橐坏缼缀晤}來做，如圖1所示，AB=35表示共35個頭，BC=2表示雞2只腳，AF=4表示兔4只腳，表示雞兔共94只腳，求AH和HB，即兔、雞各有多少只。此法巧妙地將“腳總數(shù)=雞頭數(shù)×2+兔頭數(shù)×4”轉(zhuǎn)化為“長方形面積=長×寬”。延長CD交AF于G，可得到，則，所以兔頭數(shù)，得兔有12只，故雞有23只。

楊通的《數(shù)形結(jié)合解決“雞兔同籠”問題》和林革的《“雞兔同籠”問題解答集錦及評析》也提到了面積法，思路與李樹清一致。

周春荔在《“雞兔同籠”問題的兩個新解法》一文中提出兩個圖解新法，解法一過程如下：設(shè)雞只，共只腳，兔只，共只腳，則列得方程組：，得 即平均每頭動物只腳。由此可作圖2，AB表示35個頭，BC表示雞頭數(shù)，BF表示2只腳，AC表示兔頭數(shù)，AE表示4只腳，AP即平均每頭動物只腳。從圖2可以看出，表示共有94只腳，由此得到，式子表示：，解得，故，。解法二則將問題轉(zhuǎn)化為和差問題，設(shè)雞只，兔只，如圖3，表示雞腳，表示兔腳，根據(jù)圖形面積關(guān)系可列方程：，解得結(jié)合解得，。

李樹清所說的面積法，實質(zhì)是將算術(shù)問題幾何化，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和構(gòu)造的思想。周春荔所提的新解法也是基于將算術(shù)問題幾何化的想法，但是先是對問題進行轉(zhuǎn)化處理并且對幾何圖形的構(gòu)造也進一步擴展。面積法是一種具有挑戰(zhàn)性的方法，需要較強的幾何思維，所以目前對面積法的研究并不多。

（五）畫圖法

在低年級教學(xué)中，不少老師選擇畫圖法給學(xué)生直觀講解。所謂畫圖法即畫一個○表示頭，線段表示腳，畫出35個○，在每個○下畫兩只腳，共70只腳比94少，所以需要添腳，而一只兔比一只雞多兩只腳，所以每次給一個○加兩只腳變成兔，發(fā)現(xiàn)給12個○添腳剛好滿足，故兔12只，雞23只。也可先全畫成兔，再去掉多的腳。畫圖法的實質(zhì)是假設(shè)，只是比純假設(shè)列式增加了形象的示意圖。

此外，還有一些特殊解法，例如畫線段圖法、比例分配法、差量作比法、代數(shù)消元法，紀祥在《“雞兔同籠題，千年沒變過”說開去》中甚至主張將雞兔的數(shù)量關(guān)系與向量矩陣的知識聯(lián)系起來，可見“雞兔同籠”的解法越來越豐富。

五、小結(jié)與研究展望

“雞兔同籠”問題可以體現(xiàn)化歸、方程、建模、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要載體，具有很大的教學(xué)價值，它有利于培養(yǎng)學(xué)生一題多解和建立模型的思維習(xí)慣。

分析發(fā)現(xiàn)“雞兔同籠”解法和教學(xué)的研究已十分豐富，但它具有的數(shù)學(xué)價值卻不僅僅止于解決“雞兔同籠”本身或者傳達一兩種數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)影響下，筆者認為有待研究的問題是：如何對“雞兔同籠”再設(shè)計，才能實現(xiàn)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的！

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