經(jīng)歷概念生長促進思維發(fā)展

施永法

【摘 要】 如何有效開展概念教學(xué)是一個值得研究的課題。概念建構(gòu)過程中，讓學(xué)生親歷概念發(fā)生發(fā)展的過程，充分挖掘概念本質(zhì)，充分挖掘概念形成過程中蘊含的思想方法，有利于促進學(xué)生思維與能力發(fā)展。三角函數(shù)周期學(xué)習(xí)蘊含數(shù)形結(jié)合思想、特殊到一般思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等，滲透了類比與歸納的方法等，值得我們研究。

【關(guān)鍵詞】 周期；概念教學(xué)；發(fā)生發(fā)展；思想方法

【中圖分類號】 G63.23 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 2095-3089（2017）13-0-02

1.教材背景分析

1.1教材的地位和作用

三角函數(shù)周期性的地位與作用：（1）利用周期知識，可以研究函數(shù)在一個周期上的性質(zhì)了解在其它周期上的性質(zhì)，用“有限”的眼光思考“無限”的內(nèi)容；（2）通過三角函數(shù)周期的學(xué)習(xí)，體會函數(shù)性質(zhì)的描述、刻畫與研究過程，同時體會三角函數(shù)是刻畫和描述周期變化的重要模型；（3）學(xué)習(xí)三角函數(shù)周期性也是對高中數(shù)學(xué)1（必修）中從定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性等四個方面研究函數(shù)性質(zhì)的補充。

1.2學(xué)情分析

學(xué)生具有周期現(xiàn)象的生活經(jīng)驗；初步掌握了函數(shù)概念與單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)；理解了誘導(dǎo)公式，如sin（2kπ+α）=sinα，k∈Z；會用三角函數(shù)線表示正弦、余弦和正切；已學(xué)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象。

1.3教學(xué)重點與難點

重點：理解周期函數(shù)概念；

難點：正確歸納周期函數(shù)定義，會求周期函數(shù)的周期。

2.教學(xué)目標

理解周期函數(shù)的概念，會求正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)（其中，，為常數(shù)，且，）的周期。此外，在總結(jié)概括周期函數(shù)概念的過程中，既感受合作和交流帶來的樂趣，又逐步提升觀察、歸納和表達能力；在求函數(shù)（其中，，為常數(shù)，且，）周期的過程中領(lǐng)悟化歸思想。通過周期學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)來源于生活，體會從感性到理性的思維過程，體會數(shù)形結(jié)合思想。

3.設(shè)計思路

周期函數(shù)的定義是教學(xué)中的一個難點，教學(xué)中可以從“周而復(fù)始”的現(xiàn)象出發(fā)，通過實際模型，結(jié)合正弦曲線與幾何畫板動態(tài)演示，一步步將圖像性質(zhì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)性質(zhì)，使語言精確化，通過“每隔一定時間出現(xiàn)”、“函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)”等逐步抽象出函數(shù)周期性的定義。教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生通過對三角函數(shù)實例的具體分析，幫助認識周期及周期函數(shù)，要突出“建立刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型”這一主題。

4.教學(xué)程序

本節(jié)課的教學(xué)重點是理解周期函數(shù)概念，并能運用周期函數(shù)概念求三角函數(shù)的周期，屬于概念教學(xué)。同時，周期函數(shù)概念學(xué)生是第一次接觸到，是研究函數(shù)基礎(chǔ)性質(zhì)的重要知識，故采用“問題—探究—概括—應(yīng)用”的教學(xué)模式，按照下列程序進行教學(xué)：

5.教學(xué)過程

5.1創(chuàng)設(shè)情景，尋找共性

問題1.世界萬物總在不斷變化中，變化過程中人類總在探索一些不變規(guī)律，以此更好認識自然、探索自然。請同學(xué)們觀察以下三幅圖，說說這三個運動包含怎樣共同的性質(zhì)？

【設(shè)計意圖】創(chuàng)設(shè)情景、引發(fā)學(xué)生思考。通過觀察生活中、自然界中常見運動，思考三者共同屬性。引出“周而復(fù)始”現(xiàn)象。

問題2.同學(xué)們還能說出哪些周而復(fù)始的現(xiàn)象？數(shù)學(xué)中有沒有這樣的現(xiàn)象？

【設(shè)計意圖】利用生活中周期現(xiàn)象，讓學(xué)生觀察、感知“周而復(fù)始”，并將話題引申到課題的學(xué)習(xí)上來，為數(shù)學(xué)地定義與刻畫周期性做好鋪墊，同時激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

5.2幾何直觀，探求本質(zhì)

問題1.正弦曲線每相隔2π個單位重復(fù)出現(xiàn)，反映在函數(shù)性質(zhì)上又是如何刻畫與描述？

【師生活動】教師啟發(fā)誘導(dǎo)，學(xué)生思考探究，厘清研究思路。通過師生探討、幾何畫板展示，經(jīng)歷函數(shù)性質(zhì)探究過程：任取一點A，存在對應(yīng)點B（間隔2π）仍然在圖像上。結(jié)合幾何畫板演示，發(fā)現(xiàn)并歸納出A點與B點關(guān)系：橫坐標相差2π，縱坐標相等，即，。

【設(shè)計意圖】由圖象性質(zhì)探索函數(shù)性質(zhì)，啟發(fā)學(xué)生思維，把握函數(shù)性質(zhì)研究思路：“圖像點（x，y）函數(shù)”。運用形的視角（單位圓）和數(shù)的視角（誘導(dǎo)公式）闡釋周而復(fù)始的原因。

問題2.何以正弦曲線每相隔2π個單位重復(fù)出現(xiàn)？

【師生活動】動態(tài)演示單位圓正弦線作正弦曲線過程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)角度增加2π，正弦值相等。

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生由表及里、由感性到理性、由直觀到抽象探索函數(shù)周期內(nèi)涵，為符號化表達周期做好鋪墊。同時，滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察與聯(lián)想能力。

5.3形成概念

類比定義.為了突出函數(shù)的這個特性，我們把函數(shù)f（x）=sinx稱為周期函數(shù)，2π為這個函數(shù)的周期。若一個周期函數(shù)周期為T，則應(yīng)滿足怎樣的代數(shù)關(guān)系？結(jié)合圖象，運用類比方法，得出周期函數(shù)、函數(shù)周期定義。

【師生活動】運用類比方法，學(xué)生猜想一般性周期函數(shù)定義。得出，教師追問學(xué)生是如何想到上述關(guān)系式的，分享學(xué)生認識。

【設(shè)計意圖】類比正弦曲線有周期類比得出周期函數(shù)定義，將學(xué)生感性認識轉(zhuǎn)化為理性認識，從特殊到一般地培養(yǎng)學(xué)生歸納猜想能力。

5.4理解概念

辨析思考：

（1）函數(shù)，有，能否說是的周期？為什么？

（2）函數(shù)，周期是多少？

（3）函數(shù)的周期為，則也是的周期嗎？為什么？你能得出怎樣的一般結(jié)論？

【師生活動】三個思考學(xué)生先獨立思考，再小組討論，使學(xué)生在交流中不斷完善。思考（1）可以結(jié)合數(shù)形兩方面讓學(xué)生談?wù)劜皇侵芷谠?；思考?）引發(fā)學(xué)生認知沖突，將周期“”進行推廣；思考（3）讓學(xué)生論證2T是周期同時，猜想一般性結(jié)論，并從數(shù)形兩方面加強論證，融入循環(huán)替代方法，體現(xiàn)周而復(fù)始意義，并利用幾何畫板動態(tài)演示。

【設(shè)計意圖】通過3個思考，幫助學(xué)生辨析函數(shù)周期定義，特別是“對定義域內(nèi)任意x都需成立”，防止學(xué)生以偏概全，讓學(xué)生學(xué)會怎樣學(xué)習(xí)概念；培養(yǎng)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)的能力，使學(xué)生養(yǎng)成細致、全面地考慮問題的思維品質(zhì)。思考（1）加強定義“任意性”理解，思考（2）將公式中“”推廣到，思考（3）猜想一般性結(jié)論，并從數(shù)形兩方面加強論證，融入循環(huán)替代方法，體現(xiàn)周而復(fù)始意義，同時，思考（2）（3）為引出最小正周期做好鋪墊。

5.5運用概念

例1.求下列函數(shù)的周期：

思考：你能從例1的解答過程中歸納一下這些函數(shù)的周期與解析式中哪些量有關(guān)嗎？

探究：如果函數(shù)的周期是，那么函數(shù)（）的周期是是否成立？

【師生活動】例1中（1）～（3）由學(xué)生先獨立思考，再小組討論，交流結(jié)論與求證方法。（4）、（5）學(xué)生獨立思考，然后師生共同解決。例1（1）關(guān)鍵是讓學(xué)生體會應(yīng)用周期定義求周期；（2）關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生思考從誘導(dǎo)公式可推斷周期是還是2。（3）、（4）則是讓體會求周期的一般過程與方法，并總結(jié)規(guī)律，為解決（5）和探究做好鋪墊。

【設(shè)計意圖】對于例1，運用變式教學(xué)思想，逐步改變參數(shù)設(shè)置，進而讓學(xué)生把握運用定義法求函數(shù)周期的過程方法。當然，除運用定義法，學(xué)生也可運用函數(shù)圖象感知周期。引導(dǎo)學(xué)生分析函數(shù)周期與解析式中哪些量有關(guān)？培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和抽象概括能力，并引申到一般性問題探究。

5.6課堂小結(jié)

問題：本節(jié)課你學(xué)到了什么數(shù)學(xué)概念？例題的解答中蘊含了什么數(shù)學(xué)思想和方法？概括和運用周期函數(shù)概念的過程中，你的體會是什么？

（1）研究線索：生活實例→幾何直觀→定義抽象→判斷應(yīng)用；

（2）思想方法：特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、局部到整體；

（3）數(shù)學(xué)之美：抽象美、符號美、簡潔美、統(tǒng)一美。

【設(shè)計意圖】采用問題啟發(fā)，學(xué)生根據(jù)問題思考總結(jié)，教師再從研究線索、思想方法、數(shù)學(xué)之美等方面更高層次的總結(jié)。引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)知識進行小結(jié)，有利于學(xué)生對已有的知識結(jié)構(gòu)進行編碼處理，加強記憶。

6.教學(xué)反思

6.1經(jīng)歷知識發(fā)生發(fā)展

如何能讓學(xué)生更好學(xué)習(xí)概念，筆者以為首要的是要讓學(xué)生經(jīng)歷概念發(fā)生發(fā)展的過程。這個發(fā)生發(fā)展的過程包括：從具體事例中概括出事物共同屬性、符號化的表達共同屬性，再到辨析概念（能舉正例與反例等），最后達到概念的應(yīng)用內(nèi)化等。三角函數(shù)周期性概念，筆者不急于直接呈現(xiàn)的符號化表達，而是經(jīng)歷三次抽象形成概念：首先，從生活中存在的周期現(xiàn)象觀察入手，概括共同屬性；其次，從周期為的正弦曲線入手，數(shù)形結(jié)合的理解內(nèi)涵；再則，從特殊到一般，猜想周期為的函數(shù)的符號表達，使學(xué)生親歷概念生長的過程。

6.2充分挖掘知識本質(zhì)

“數(shù)學(xué)本質(zhì)”是指具體數(shù)學(xué)知識的本真意義。在教學(xué)中，教師要善于對數(shù)學(xué)知識進行深入挖掘，不斷地自我追問：“客觀事物背后隱藏著什么數(shù)學(xué)知識與規(guī)律？數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)屬性又是什么？統(tǒng)攝具體數(shù)學(xué)知識及技能的數(shù)學(xué)思想是什么？”三角函數(shù)周期性的本質(zhì)是什么呢，形式化的表達中“”其內(nèi)涵為自變量相差個單位函數(shù)值相等，其對應(yīng)的是曲線上點的間隔規(guī)律，教學(xué)中要充分認識到這一點，由此，筆者在教學(xué)過程推進中，融入數(shù)形結(jié)合、融入幾何畫板演示，達成從曲線上點的特征到方程坐標的表達。

6.3融入思想方法學(xué)習(xí)

都知道數(shù)學(xué)思想方法對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，數(shù)學(xué)思想是知識結(jié)構(gòu)的精髓，是數(shù)學(xué)知識的內(nèi)核，是數(shù)學(xué)中的一般性的原理，它具有高度的概括性，有助于學(xué)習(xí)的遷移。三角函數(shù)周期概念的教學(xué)是滲透思想方法學(xué)習(xí)的良好素材，特別是在建構(gòu)周期概念過程中滲透了數(shù)形結(jié)合思想、特殊到一般思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等，滲透了類比與歸納的方法等，新知識的學(xué)習(xí)不僅是知識的學(xué)習(xí)更是方法的學(xué)習(xí)與能力的培養(yǎng)，一般地，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是培育學(xué)生良好數(shù)學(xué)思想方法的重要載體，需要我們在教學(xué)中深刻挖掘，充分利用，以此更好促進學(xué)生思維發(fā)展與能力提升。