初中數(shù)學(xué)的分類討論思想淺議

吉林省四平市第三中學(xué) 都洪艷

作為一名優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師，不僅要教好課本的知識(shí)，還要不斷的像學(xué)生傳授解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想，在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想，可以克服就題論題，死套模式，它是我們?cè)诮忸}時(shí)，加強(qiáng)思路分析，尋求已知和未知的聯(lián)系，提高分析問(wèn)題的能力，從而使思維品質(zhì)和能力有所提高。讓學(xué)生學(xué)會(huì)各種數(shù)學(xué)思想可以使其生受用一生。初中數(shù)學(xué)的基本思想有：分類思想、數(shù)形結(jié)合思想、類比思想、化歸思想、函數(shù)思想等等。分類討論是中考試題中作為考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的常見(jiàn)題型。下面我們結(jié)合例題介紹一下分類討論思想。

一、分類的實(shí)質(zhì)

分類是按照數(shù)學(xué)對(duì)象的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類的思想方法，掌握分類的方法，領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)，對(duì)于加深基礎(chǔ)知識(shí)的理解，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力是十分重要的.正確的分類必須是周全的，既不重復(fù)，也不遺漏.

二、分類的原則

（1）分類中的每一部分是相互獨(dú)立的；

（2）一次分類按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)；

（3）分類討論應(yīng)逐級(jí)有序進(jìn)行；

（4）以性質(zhì)、公式、定理的使用條件為標(biāo)準(zhǔn)分類的題型。

三、分類在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的具體體現(xiàn)

（一）分類討論思想在等腰三角形中的應(yīng)用

1.在等腰三角形中求邊

等腰三角形中，對(duì)給出的邊可能是腰，也可能是底邊，所以我們要進(jìn)行分類討論。

①已知等腰三角形的一邊等于5，另一邊等于6，則它的周長(zhǎng)等于__16或17_______。

②若等腰三角形一腰上的中線分周長(zhǎng)為9cm和12cm兩部分，求這個(gè)等腰三角形的底和腰的長(zhǎng)。

2.在等腰三角形中求角

等腰三角形的一個(gè)角可能指底角，也可能指頂角，所以必須分情況討論。

①已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為75°則其頂角為（D）

A. 30° B. 75°

C. 105° D. 30°或75°

②△ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在的直線相交所得的銳角為40度，則底角B的度數(shù)為65°或25°

③等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為45°，求這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)。

（二）分類討論思想在圓中的應(yīng)用

1.圓周角的頂點(diǎn)位置不確定需分類討論

在半徑為5cm的⊙O中，弦AB=5cm，點(diǎn)C是⊙O上任意一點(diǎn)（不與A、B重合）。則∠ACB=30°或150°。

解析：一般地，弦的兩個(gè)端點(diǎn)分圓所成的兩條弧一條為優(yōu)弧，一條為劣弧。當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上時(shí)，∠ACB=30°；當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上時(shí)，∠ACB=150°.

2.兩平行弦相對(duì)于圓心的位置不確定需分類討論

已知⊙O的直徑為10cm，弦AB=8cm,弦CD=6cm,且AB∥CD，則AB和CD之間的距離為1cm或7cm 。

解析：分弦AB、CD在圓心O的同側(cè)和異側(cè)兩種情況計(jì)算。

3.兩圓相切，內(nèi)切、外切不確定需分類討論

若兩圓相切，圓心距為7，其中一圓的半徑為4，則另一圓的半徑為3或11.

嘗試7、已知⊙O的半徑為2，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，OP的長(zhǎng)為3，那么以點(diǎn)P為圓心，且與⊙O相切的圓的半徑是________。

4.相交兩圓的圓心與公共弦的位置不確定需分類討論

已知⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，弦AB為6，兩圓的半徑分別為，5，則圓心距O1O2=1或7 。

解析：分兩圓心在公共弦的同側(cè)和異側(cè)兩種情況計(jì)算。

（三）分類討論思想在相似三角形中的應(yīng)用

如圖，在△ABC中，AB=6,AC=4,P是AC的中點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)的直線交AB于Q，若△APQ和△ABC相似，求AQ的長(zhǎng)。

（2）正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，BE=CE，MN=1，線段MN的兩端

在CD、AD上滑動(dòng).當(dāng)DM=______時(shí)，△ABE與△DMN相似。

（四）分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用

已知：一次函數(shù)y= kx+b的圖像過(guò)點(diǎn)A(4，0),且與x軸y軸構(gòu)成的三角形的面積為6，求一次函數(shù)的解析式。

分析：從圖1可以看出，過(guò)A點(diǎn)做一次函數(shù)的圖象，和y軸的交點(diǎn)可能在y軸正半軸上，也可能在y軸正負(fù)軸上，因此應(yīng)分兩種情況進(jìn)行研究。

解：∵ A點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，0)，

設(shè)函數(shù)圖象與y軸交與B(0,m)點(diǎn).有題意得

∴m=3或 m=-3

∴ 一次函數(shù)的圖象與y軸分別交與（0,3），（0，-3）。

將點(diǎn)(4，0)及點(diǎn)（0,3）或?qū)Ⅻc(diǎn)(4，0)及點(diǎn)（0,-3）的坐標(biāo)分別代入到y(tǒng)= kx+b中，得

總之，數(shù)學(xué)中的分類討論思想是一種比較重要的數(shù)學(xué)思想，它無(wú)處不在，在教學(xué)中，我們要多研究、多實(shí)踐、多探索，讓學(xué)生更好的掌握好初中數(shù)學(xué)中的分類討論思想。通過(guò)加強(qiáng)數(shù)學(xué)分類討論思想的訓(xùn)練，有利于提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性、科學(xué)性，這種優(yōu)良的思維品質(zhì)對(duì)學(xué)生的未來(lái)必將產(chǎn)生深刻和久遠(yuǎn)的影響。在教學(xué)中，我們要多研究、多實(shí)踐、多探索，讓學(xué)生更好的掌握好初中數(shù)學(xué)中的分類討論思想。