例題選擇：從“淺層練習(xí)”走向“深度素養(yǎng)”

【摘要】例題的價值體現(xiàn)不僅要有增加知識、培養(yǎng)能力、啟迪智慧的“基本功效”，還應(yīng)該具有一定的“深度目標(biāo)”：讓學(xué)生能夠在自主探索、靈活思辯中培養(yǎng)思維習(xí)慣、發(fā)展創(chuàng)新意識和提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).本文以例題選擇為抓手，從依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)；重視例題選擇，增強(qiáng)創(chuàng)新意識；落實目標(biāo)達(dá)成，關(guān)注學(xué)生發(fā)展三個角度進(jìn)行了思考，指向“讓每一個學(xué)生都能夠得到不同的數(shù)學(xué)體驗和發(fā)展”.

【關(guān)鍵詞】例題；創(chuàng)新；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；學(xué)生發(fā)展

一直以來，我們很喜歡用“授人以魚，不如授人以漁”來說明數(shù)學(xué)教學(xué)中蘊含的道理.其中，用“魚”表示知識，用“漁”表示知識獲得過程中的方法、思想等[1].數(shù)學(xué)教學(xué)中的例題，基本上都有高度抽象、高度概括和高度凝練的特征，因此，我們在進(jìn)行例題教學(xué)時，不僅要有鞏固知識、規(guī)范過程、鍛煉能力的淺層思考，更應(yīng)授人以漁，有著理解本質(zhì)、領(lǐng)悟意蘊、提升素養(yǎng)的深度目標(biāo).近期，備課組內(nèi)就集體備課中的例題選擇進(jìn)行了專題研討，感想頗多，現(xiàn)整理成文，與同行交流、商榷.1初備例題

在八年級上冊“三角形全等的判定方法”學(xué)習(xí)結(jié)束時，我們擬組織進(jìn)行一堂判定方法綜合習(xí)題課，旨在鞏固學(xué)生對幾種全等判定方法的掌握，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用的能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)意識，讓每一個學(xué)生都有一定的收獲.備課組任老師先給出了課堂教案“主備”內(nèi)容，其中選用了如下三個例題：

例1：如圖1.（1）若AB=CD，AD=BC，求證：∠A=∠C；

（2）若AB∥CD，AB=CD，求證：AD∥BC；

（3）若AB∥CD，AD∥BC，求證：AB=CD；

（4）若∠A=∠C，AB∥CD，求證：AD=BC.

例2：如圖2，已知：AB=AC，求證：∠B=∠C.

例3：如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=60°.現(xiàn)將一個30°角（∠MAN）的頂點落在點A處.

（1）如圖3①，當(dāng)該角的兩邊分別與BC、CD邊相交于E、F時，求證：EF=BE+DF；

（2）現(xiàn)在將∠MAN繞點A進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，其兩邊分別于BC、CD邊的延長線相較于點E、F，那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，說明理由；若不成立，試探究線段BE、EF、DF之間的等量關(guān)系，并加以證明.

任老師給出了三個例題的選擇意圖：

選擇例1的意圖是想考查學(xué)生對四種不同全等判定方法的掌握情況，題目呈現(xiàn)簡單易懂，知識點考查方向明確，內(nèi)容基礎(chǔ)，學(xué)生易于上手，預(yù)計獨立完成正確率80%以上.

選擇例2的意圖主要有：相對于例1的一圖多問，例2是一題多解，不同的同學(xué)可能會通過不同的方式進(jìn)行解答，能夠體現(xiàn)解答的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生一題多解的意識.此外，在幾何學(xué)習(xí)中也常常要用到類似的“等邊對等角”或“等角對等邊”的知識，可以先鋪墊，為學(xué)生后繼學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備，也為優(yōu)秀學(xué)生自主學(xué)習(xí)提升知識助力.

選擇例3的意圖主要有：構(gòu)造二次全等，介紹如何證明兩條線段的和等于第三條線段的具體方法（即截取法和延長法），并讓學(xué)生認(rèn)識和體會如何在復(fù)雜圖形中選擇和判別全等三角形，會參考原有圖形，根據(jù)題意畫出變式問題的圖形.2問題研討

問題是思考的起點，也是研究的心臟.為了更好地研究這堂課，既尊重任老師的勞動，又能為老師們的二次備課提供幫助，從章建躍老師的“三個理解”出發(fā)，備課組提出了以下幾個研討問題：

（1）這節(jié)習(xí)題課的教學(xué)目標(biāo)是什么？如何達(dá)成這樣的目標(biāo)？當(dāng)堂能否達(dá)成？

（2）例題的知識層面達(dá)到了，但數(shù)學(xué)綜合學(xué)力的培養(yǎng)還不夠，有了“魚”而少有“漁”.例題呈現(xiàn)形式有些陳舊，不夠開放和新穎.

（3）從我校學(xué)生學(xué)情出發(fā)，選擇例題應(yīng)該有一些層次性.例3的選擇目的性很明確，能夠加深學(xué)生對二次全等的認(rèn)識，但與前兩題相比跨度較大，圖形相對復(fù)雜，綜合性很強(qiáng)，且在證明兩條線段的和等于第三條線段的具體方法上有缺點，思路單一，不能夠同時運用截取法和延長法兩種方法解題.學(xué)生識別復(fù)雜圖形的能力，理解運動變化，學(xué)會變式思考等能力還沒有達(dá)到這個層次，在剛剛學(xué)習(xí)幾種判定方法的情況下就處理這樣的習(xí)題，明顯要求過高，不太適宜.

（4）如何調(diào)整更合理？讓學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)意識更強(qiáng)，對數(shù)學(xué)更有興趣，更愿意參與思考、參與問答，確保每一個學(xué)生都有一定的收獲.3重新選擇

典型例題的價值體現(xiàn)不僅僅是全面地考查所學(xué)知識，達(dá)成課堂目標(biāo)，起到增加知識、培養(yǎng)能力、啟迪智慧的“基本功效”[2]，更要有一定的“深度目標(biāo)”，讓學(xué)生在自主探索、靈活思辯、提升思維中，達(dá)到發(fā)展創(chuàng)新意識和提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的高度.因此，經(jīng)過思考，我們對例題作了適度調(diào)整，期望能夠在圍繞原有思考的基礎(chǔ)上逐步提升，鞏固所學(xué)知識，拓寬解題視野，提升數(shù)學(xué)學(xué)力.

例1：四邊形ABCD中，現(xiàn)有下列四個條件：

①AB∥CD；②AB=CD；③AD∥BC；④AD=BC.

以其中兩個條件作為已知，能否說明∠A=∠C？請說說你的理由.

例2：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分別為點D，E.

（1）如圖4，求證：DE=AD+BE.

（2）將圖4中的直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖5所示的位置，其余條件不變，則AD與BE、DE有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出等量關(guān)系式.

例3：已知：如圖6，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AD平分∠CAB，交CB于點D，

求證：AB=AC+CD.

不難看出，例題調(diào)整前后對比，更有新意、有方法、有思維，更靈活、更實效.立足于教材、立足于通法、立足于過程，重視了基本知識技能的復(fù)習(xí)，重視了思考策略的優(yōu)化，重視了解題方法的滲透，更重視了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

（1）三個例題基本圖形簡潔，層次分明，梯度明確，難易適中，既有知識的復(fù)習(xí)，又有能力及素養(yǎng)的要求，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有助于學(xué)生的理解和掌握，讓不同的學(xué)生會有不同的收獲，預(yù)計基本目標(biāo)達(dá)成度高.

（2）例1更改了呈現(xiàn)形式，顯得靈活多變，但解題思路依然很明確，既能夠考查不同的全等判定方法，又有不能證明全等的“尷尬”（如①④和②③組合就不能夠證明全等），學(xué)生在解決知識應(yīng)用的同時，需要增加一個組合、猜想的過程，這就是能力立意的展現(xiàn)，讓不同的學(xué)生有不同條件的組合，不同程度的思考，不同角度的體驗.

例2增加了一個典型題，源于課本，讓學(xué)生初步了解有“兩條線段的和等于第三條線段”這樣的證明題，并可以通過全等得到“轉(zhuǎn)化”：將兩條“小線段”放到一條“大線段”上來.這樣的構(gòu)造學(xué)生不難理解，課堂學(xué)習(xí)效果應(yīng)該很好.而第2小問其實是第1問題的一個深度推廣，讓學(xué)生動起來，從不同的圖形中看同一類問題，增加了學(xué)生的觀察、判別、類比、猜想、說明等體驗過程，對學(xué)生能力要求相對較高.當(dāng)然，對于不同層次的班級，不同學(xué)力的學(xué)生，我們也可以有不同層次的思考，對于基礎(chǔ)班級，我建議例2的第2問重在思路的分析及第1問與第2問的類比、感知，但對于提高班級，可以進(jìn)一步思考直線繞點C繼續(xù)旋轉(zhuǎn)的其他情況.這樣可以讓不同的學(xué)生有不同的收獲，力求課堂效率最大化.

相比而言，現(xiàn)例3圖形簡潔，所換例題能夠體現(xiàn)主備人的意圖，需要構(gòu)造全等，且在介紹證明兩條線段的和等于第三條線段的具體方法（即截取法和延長法）中有選擇性，思路不再單一，兩種方法均可以用，同時也解決了原例3文字冗長、閱讀困難、圖形復(fù)雜、思路單一、難度過大等一系列問題.有了例2做鋪墊，學(xué)生對兩條線段的和等于第三條線段的證明也相對熟悉，理解相對自然，難度上也沒有太大的跨度，這樣的選擇也符合學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)和認(rèn)知規(guī)律.

（3）從現(xiàn)例1中簡單、常見的輔助線，現(xiàn)例2中的動態(tài)變式、深度拓展，現(xiàn)例3中構(gòu)造圖形證明全等，層次清晰，由易到難，有梯度、有深度，即考查了知識層面，又有能力立意，能讓學(xué)生在解決問題的同時鞏固全等判定的應(yīng)用.三個例題的選擇，源于課本，基于本質(zhì)，能夠凸顯課本習(xí)題的經(jīng)典性和知識的應(yīng)用性.現(xiàn)例3的選擇有一定的挑戰(zhàn)性，除了有以點及面，由知培能，由能啟智的功能，更立足于拓寬學(xué)生視野，加深學(xué)生認(rèn)知，提高復(fù)習(xí)的立意和品位.當(dāng)然，如果學(xué)生的基本情況良好，在理解常用的“截取法”和“延長法”后，不排除增加原例3這樣的習(xí)題，供學(xué)有余力的學(xué)生深度思考.

4反思教學(xué)

4.1依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

學(xué)生的素養(yǎng)是一種穩(wěn)定的內(nèi)在心理品質(zhì)，一種綜合了的知識、能力、行為習(xí)慣等人格化特征的集中反映，是學(xué)生在學(xué)習(xí)中形成的.通過對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在數(shù)學(xué)理解，審美能力，數(shù)學(xué)表達(dá)、交流、合作能力等方面得到相應(yīng)的發(fā)展[3].而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的集中體現(xiàn)，通過教學(xué)目標(biāo)為指導(dǎo)，教學(xué)內(nèi)容為媒介在課堂內(nèi)外進(jìn)行滲透與提升（如圖7）.

個人認(rèn)為，對于初中的數(shù)學(xué)課堂，借助適合的教學(xué)過程或典型例題、習(xí)題，通過探究的過程，合理的思辯，積極的歸納提煉，課程目標(biāo)可以實現(xiàn)，學(xué)生的素養(yǎng)也必然會有所提升.

4.2重視例題選擇，增強(qiáng)創(chuàng)新意識

葉圣陶先生認(rèn)為：教是為了達(dá)到不需要教，教育過程是引導(dǎo)學(xué)生自己學(xué)習(xí)，學(xué)會自學(xué)，以至堅持終身自學(xué)的過程.長期以來，習(xí)題課是學(xué)生最不喜歡的課型之一，枯燥、機(jī)械的練習(xí)，大量重復(fù)的作業(yè)，讓學(xué)生很難有熱愛之情.面對原來的例1這種類型的傳統(tǒng)習(xí)題，學(xué)生只有一個選擇，那就是沖上去直接啃題.原例1中4個小題4種不同方法，看似類型全面，實則思維單一.而更改后的例1、例2都更具開放性、探究性、創(chuàng)新性，學(xué)生需要多方位的思考，不僅僅要尋求不同的組合、不同的思路來搭建“起點”與“終點”的橋梁，而且也需要學(xué)生在組合中選擇，在選擇中辨別，在辨別中思考，在不同圖形、不同狀態(tài)的變式中尋求新的結(jié)論，體會“變與不變”.

傳統(tǒng)的習(xí)題教學(xué)強(qiáng)調(diào)知識本位，通過講解、記憶、再練來進(jìn)行夯實和鞏固，但是這樣一成不變的機(jī)械式學(xué)習(xí)方式老師和學(xué)生都會感到枯燥、無趣，當(dāng)堂學(xué)習(xí)效果也許尚好，能夠達(dá)成知識目標(biāo)，但長期這樣，不利于學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力的發(fā)展，讓能力目標(biāo)和情感目標(biāo)成為空談[3].因此，讓題目新一點、活一點、開放一點，對提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)信心，樹立勇于思考、敢于質(zhì)疑等數(shù)學(xué)精神都是有好處的.當(dāng)然，需要指出的是，本節(jié)課的三道例題我們可以這樣選擇，但不是必須選這三題，我們的思考是建立在對自己的學(xué)生相對了解的前提下的選擇.題目只是媒介，課堂只是練兵場，創(chuàng)新意識的提升需要的不只是題目，更需要題目中的思想、思考、思辯，需要老師作為“有心人”不斷的滲透和實踐.

4.3落實目標(biāo)達(dá)成，關(guān)注學(xué)生發(fā)展

本節(jié)習(xí)題課的教學(xué)目標(biāo)比較明確，不僅要求學(xué)生能“溫故”全等三角形的幾種判定方法，而且希望學(xué)生能夠“知新”，這個“新”，既是指數(shù)學(xué)課本知識，也是指學(xué)生的能力、方法、思想、思維、素養(yǎng)等.

曾經(jīng)有人就教育的價值和目的如此評說：以育人為本，以興國為旨，面向全體國民和每個學(xué)生，著眼整體人生和終身受用，培養(yǎng)能夠全面發(fā)展、具有良好習(xí)慣的現(xiàn)代中國人.我們的數(shù)學(xué)教育，是科學(xué)的教育，更是人的教育.適合的才是最好的.三個新例題的選擇，更適合本校學(xué)生的實際，課堂上教師不包辦代替，給定學(xué)生適當(dāng)?shù)奶剿鲿r間，讓思維和推理搭“腳手架”，為學(xué)生提供元認(rèn)知的思考方法，并重視對解題過程的回顧和總結(jié).通過增強(qiáng)判斷、歸納、推理意識，體會一題多變、一題多解等數(shù)學(xué)方法與技能，更多的關(guān)注了學(xué)生學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)意識的發(fā)展.

其實我們平時的教學(xué)過程也是一個不斷試驗、不斷總結(jié)、不斷提升、不斷創(chuàng)新的過程.只有我們老師認(rèn)真研究例題、習(xí)題，結(jié)合課堂目標(biāo)及內(nèi)容，吃透各個例題的綜合功能，駕馭好題目的思想方法，才能引領(lǐng)學(xué)生對知識進(jìn)行“統(tǒng)籌”“拓展”“加工”，才能達(dá)到從“淺層練習(xí)”走向“深度素養(yǎng)”的內(nèi)在價值.而這些需要我們老師創(chuàng)新、靈活地教，更需要學(xué)生積極、主動地學(xué).習(xí)題目標(biāo)的綜合功能需要通過典型例題來實現(xiàn)，這是高效學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是增知啟智的前提，是培能育德的抓手，是終身學(xué)習(xí)的保障[2].這不僅是對數(shù)學(xué)知識的考查和運用，也是對學(xué)生數(shù)學(xué)解題意識、圖形意識的培養(yǎng)，更是對應(yīng)用意識、幾何直觀等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.讓我們重視例題的選擇，著眼于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升和學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，讓每一個學(xué)生都能夠得到不同的數(shù)學(xué)體驗和收獲.

參考文獻(xiàn)

[1]裴光亞.關(guān)于“授人以魚與授人以漁”的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（3）.

[2]范建兵.從兩個“度”上談數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2012（6）.

[3]張奠宙.數(shù)學(xué)教育概論[M].北京：高等教育出版社，200410.

作者簡介范建兵（1977—），男，中學(xué)高級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.