STAR模型下初始條件對退勢單位根檢驗統(tǒng)計量的影響研究

歐陽敏華

（暨南大學統(tǒng)計學博士后科研流動站，廣州510632）

STAR模型下初始條件對退勢單位根檢驗統(tǒng)計量的影響研究

歐陽敏華

（暨南大學統(tǒng)計學博士后科研流動站，廣州510632）

在STAR模型框架下，文章分析了不同初始條件下OLS和GLS退勢KSS統(tǒng)計量檢驗水平和檢驗勢的特征，發(fā)現(xiàn)OLS退勢KSS統(tǒng)計量的檢驗勢隨初始條件的增大而上升，GLS退勢KSS統(tǒng)計量的檢驗勢隨初始條件的增大而下降，這與通常忽略初始條件影響下GLS退勢比OLS退勢KSS統(tǒng)計量有更高檢驗勢的結(jié)論不一致。為此，進一步探討了考慮初始條件情況下STAR模型中的退勢單位根檢驗策略。

STAR模型；單位根；退勢；KSS統(tǒng)計量

0 引言

在單位根檢驗實踐中，若經(jīng)濟和金融時間序列中含有潛在的確定性趨勢成分，應(yīng)選擇退勢單位根檢驗統(tǒng)計量，以提高單位根檢驗的功效。Muller和Elliot[1]以及Harvey等[2]的研究發(fā)現(xiàn)，初始條件是影響退勢單位根檢驗統(tǒng)計量檢驗勢的重要因素，且在不同退勢方式下的影響程度存在差異。在單位根檢驗中，所謂初始條件指的是時間序列的初始值與單位根檢驗?zāi)Ｐ椭性O(shè)定的潛在趨勢之間的偏離程度。在線性模型下，OLS退勢ADF單位根檢驗統(tǒng)計量的檢驗勢隨初始條件的增大而上升，而GLS退勢ADF單位根檢驗統(tǒng)計量的檢驗勢卻隨初始條件的增大而急劇下降。這與通常忽視初始條件情形下，GLS退勢ADF單位根檢驗統(tǒng)計量的檢驗勢要高于OLS退勢的結(jié)論大相徑庭。初始條件對退勢單位根檢驗統(tǒng)計量的影響不僅是理論問題，在單位根檢驗實踐中也應(yīng)引起足夠的重視。

Kapetantios等[3]建立的單位根檢驗統(tǒng)計量（以下簡稱KSS統(tǒng)計量）是目前STAR模型框架下單位根檢驗實踐中廣泛應(yīng)用的統(tǒng)計量。這一統(tǒng)計量相對ADF等線性模型下的單位根檢驗統(tǒng)計量具有更高的檢驗勢?？紤]時間序列的確定性線性趨勢成分，Kapetantios等[3]建議直接采用OLS退勢方式將趨勢成分剔除，然后再對殘差序列進行單位根檢驗。Kapetanios和Shin[4]建立了KSS統(tǒng)計量的GLS退勢版本，Monte Carlo模擬研究的結(jié)果表明GLS退勢KSS統(tǒng)計量比OLS退勢KSS統(tǒng)計量有更高的檢驗勢。劉雪燕[5]在ESTAR和LSTAR模型中對OLS和GLS退勢單位根檢驗小樣本性質(zhì)的比較研究也發(fā)現(xiàn)，對時間序列退勢能不同程度改善單位根檢驗的檢驗勢，GLS退勢單位根檢驗的優(yōu)勢相對更為明顯。然而，Kapetanios和Shin[4]、劉雪燕[5]等的研究都沒有考慮初始條件的影響。目前對于STAR模型框架下初始條件對退勢單位根檢驗統(tǒng)計量影響的研究還是空白。為此，本文擬對這一問題進行探索，比較分析初始條件對GLS退勢KSS統(tǒng)計量和OLS退勢KSS統(tǒng)計量的檢驗勢的影響，探討考慮初始條件情況下STAR模型中的退勢單位根檢驗策略。

1 STAR模型下的退勢單位根檢驗

考慮如下包含確定性線性趨勢成分的STAR模型：

其中，εt～iid(0，σ2)。β′dit表示確定性線性趨勢項，考慮含常數(shù)項d1t=1以及含常數(shù)和時間趨勢項d2t=(1，t)′兩種情況，β為相應(yīng)的待估計參數(shù)。G(θ，c;yt-k)為平滑轉(zhuǎn)換函數(shù)，θ為平滑參數(shù)，c為門限參數(shù)，k為時滯參數(shù)。一般地，G(θ，c;yt-k)取指數(shù)函數(shù)或Logistic函數(shù)。遵循Kapetantios等[3]，取G(θ，c;yt-k)=1-exp(-θy2t-1)，θ≥0。當G(θ，c;yt-k)→0時，式（1）退化為一個包含確定性線性趨勢成分的單位根過程。當-2＜?＜0，且G(θ，c;yt-k)≠0時，式（1）為一個局部存在單位根但整體平穩(wěn)的ESTAR過程；當yt-1在均衡點附近時可以是隨機游動的，而一旦yt-1遠離均衡點時，將存在內(nèi)生機制使得其向均衡點回復，回復速度取決于平滑參數(shù)以及偏離均衡點的距離。在經(jīng)濟時間序列計量分析實踐中，整體平穩(wěn)的ESTAR模型常常用來描述一些重要的經(jīng)濟和金融時間序列變量呈現(xiàn)出來的非線性均值回復的動態(tài)特征。

判斷時間序列yt是否為一個單位根過程，可建立檢驗原假設(shè)H0∶θ=0，備擇假設(shè)為H1∶θ＞0。在原假設(shè)下，式（1）中的參數(shù)?不可識別，因此，不可直接在原假設(shè)下建立檢驗統(tǒng)計量進行統(tǒng)計檢驗。為此，Kapetantios等[3]建議在θ=0處，將G(θ，c;yt-k)一階Taylor展開為多項式函數(shù)，建立如式（2）所示的輔助回歸模型：

其中，εt為隨機誤差項。在輔助回歸模型中，對時間序列yt是否為單位根過程的統(tǒng)計檢驗比較容易實施，可直接建立一個t統(tǒng)計量對原假設(shè)H0∶δ=0和備擇假設(shè)H1∶δ＜0進行統(tǒng)計檢驗。

由于式（2）中包含確定性線性趨勢成分，為提高檢驗統(tǒng)計量的檢驗勢，通常需要先對時間序列進行退勢處理，然后再對退勢后的殘差序列進行單位根檢驗。式（2）中的時間序列yt為確定性趨勢成分與隨機趨勢成分之和的形式，因此，可以直接采用基于回歸的方式將確定性趨勢成分剔除掉。一般地，按回歸方式退勢的過程可概括為兩步，首先將時間序列yt與dit進行回歸，得到參數(shù)β的估計值β?，然后將原序列中的確定性趨勢成分剔除掉，便可以得到退勢后的序列y~t，y~t=yt-β?′dit。對參數(shù)β采用不同的估計方法，便形成了不同的退勢方式，如OLS退勢和GLS退勢。參數(shù)β的OLS估計為：

將時間序列yt按OLS或GLS退勢后，式（2）所表示的輔助回歸模型以退勢序列~t重新表示為：可以得到對原假設(shè)H0∶δ=0統(tǒng)計檢驗的t統(tǒng)計量：

在原假設(shè)成立條件下，可以推導出OLS和GLS退勢KSS統(tǒng)計量的漸近分布為：

OLS和GLS退包含時間趨勢情形，即式（2）中d2t=(1，t)′，

需要注意的是GLS退均值后的殘差序列的漸近性質(zhì)與不含漂移項的隨機游走過程是一致的，因此其漸近服從于一個標準的布朗運動，而與cˉ無關(guān)。GLS退勢包含時間趨勢時，Kapetanios和Shin[4]根據(jù)Elliott等[6]點最優(yōu)的原則建議cˉ取值為-17.5。由式（4），OLS和GLS退勢KSS統(tǒng)計量的漸近分布為非標準分布函數(shù)形式，需要采用Monte Carlo數(shù)值模擬的方式得到其漸近臨界值。

2 初始條件對OLS和GLS退勢KSS統(tǒng)計量檢驗水平和檢驗勢的影響

本文采用Monte Carlo數(shù)值模擬的方式探索初始條件對OLS和GLS退勢KSS統(tǒng)計量的檢驗水平和檢驗勢的影響。為便于比較，遵從Kapetanios和Shin[4]中的數(shù)據(jù)生成過程（DGP），設(shè)定Δyt=?yt-1[1-exp(-θy2t-1)]+εt，t=1，…，T，其中εt～N(0，1)。初始條件y0=ξσy，表示初始值與趨勢項之間的偏離程度，其中，ξ={0，±1，±2，…±6}，σy表示序列yt的標準差。ξ=0表示初始值在模型設(shè)定的趨勢上，不存在偏差；ξ取值為正時表示初始值與潛在趨勢間是正的偏離，取值為負時表示負的偏離；ξ的絕對值越大表示偏離程度越大。σy通過隨機模擬yt樣本數(shù)據(jù)的方式計算得到，即根據(jù)yt的數(shù)據(jù)生成過程，Monte Carlo模擬初始值為零，樣本量為T的序列yt10000次，然后計算樣本標準差的平均值。

在上述DGP設(shè)定下，令?=0，即時間序列yt為單位根過程，考察初始條件對OLS和GLS退勢單位根檢驗統(tǒng)計量檢驗水平的影響。根據(jù)原假設(shè)下序列yt的數(shù)據(jù)生成過程，樣本量T分別取50、100、200，Monte Carlo模擬生成樣本數(shù)據(jù)，模擬次數(shù)10000次。給定顯著性水平為0.05，由各種情形下隨機模擬生成的樣本數(shù)據(jù)分別計算OLS、GLS退勢單位根檢驗統(tǒng)計量的值，并統(tǒng)計實際檢驗水平，結(jié)果列于表1。由于ξ取值為正和負，三種退勢單位根檢驗統(tǒng)計量的檢驗水平和檢驗勢呈現(xiàn)出相似的特征，因此，在表1和表2中只列出了ξ取值為正情形下的檢驗水平和檢驗勢。根據(jù)表1，OLS、GLS退勢KSS統(tǒng)計量的實際檢驗水平總體比較穩(wěn)定，與名義顯著性水平相當，不存在檢驗水平扭曲的現(xiàn)象；且在不同樣本量下未發(fā)現(xiàn)正的和負的初始條件對檢驗水平可能產(chǎn)生的影響。

表1 考慮初始條件下OLS和GLS退勢KSS統(tǒng)計量的檢驗水平（α=0.05）

在備擇假設(shè)成立條件下，在上述DGP中設(shè)定?={-0.1，-0.5，-1},θ={0.01，0.05，0.1}。參數(shù)?，θ取值的不同組合，可以形成多種平滑轉(zhuǎn)換速度快慢不同的STAR模型，且各種模型與原假設(shè)下的單位根過程之間差異程度也是大小不一的；有些模型比較接近單位根過程，有些模型中平滑轉(zhuǎn)換的非線性特征更為突出。參數(shù)?，θ取值的不同組合下，按上述DGP設(shè)定的模型的特征比較豐富。ξ取不同值，樣本量為100、200，按?，θ取值不同組合下的數(shù)據(jù)生成過程，Monte Carlo模擬各種情形下序列yt的樣本數(shù)據(jù)各10000次。給定顯著性水平為0.05，由各種情形下隨機模擬生成的樣本數(shù)據(jù)計算OLS、GLS退勢KSS統(tǒng)計量的值落入拒絕域的次數(shù)，即可得到各統(tǒng)計量在檢驗勢上的特征。表2中列出了參數(shù)θ=0.05，?={-0.1，-0.5，-1}各種組合下OLS和GLS退勢KSS統(tǒng)計量的檢驗勢；θ取其他值與?={-0.1，-0.5，-1}的各種組合下檢驗勢的特征與表2是一致的。由表2，OLS和GLS退勢KSS統(tǒng)計量檢驗勢具有如下特征：（1）不考慮初始條件的影響，GLS退勢方式的檢驗勢要高于OLS退勢。（2）OLS退均值和退包含時間趨勢的KSS統(tǒng)計量（ols，1和ols，2）的檢驗勢隨初始條件的增大而增大。（3）GLS退均值的KSS統(tǒng)計量（gls，1）的檢驗勢隨初始條件的增大呈現(xiàn)出先逐漸下降而后逐漸上升的特征，但上升和下降的幅度并不大，特別是在平滑轉(zhuǎn)換非線性特征較為明顯的情形下。然而，GLS退包含時間趨勢的KSS統(tǒng)計量（gls，2）的檢驗勢卻隨初始條件的增大出現(xiàn)了快速的下降，且當初始條件很大時，檢驗勢近乎為零。（4）增大樣本容量可以提高OLS和GLS退勢KSS統(tǒng)計量的檢驗勢，但并不能改變初始條件對檢驗勢的影響。

表2 考慮初始條件下OLS和GLS退勢KSS統(tǒng)計量的檢驗勢（θ=0.05,α=0.05）

根據(jù)表2，整體上，GLS退勢KSS統(tǒng)計量的檢驗勢在初始條件可忽略或較小情形下的檢驗勢要好于OLS退勢；而在初始條件較大情形下，OLS退勢KSS統(tǒng)計量的檢驗勢要好于GLS退勢。根據(jù)這一特征，可以采用Harvey等[2]提出的聯(lián)合檢驗的策略以充分利用OLS和GLS退勢方式在不同初始條件下檢驗勢上的優(yōu)勢,提高單位根檢驗結(jié)果的可靠性。因此，進行聯(lián)合檢驗時，給定顯著性水平，拒絕原假設(shè)H0的條件為：ols，i小于其在顯著性水平下的臨界值或gls，i小于其在顯著性水平下的臨界值。例如，給定顯著性水平為0.05，對退包含常數(shù)和時間趨勢時間序列的平穩(wěn)性進行檢驗的聯(lián)合檢驗統(tǒng)計量為：UR2=tgls，2I(tgls，2＜-2.93) +tols，2I(tgls，2≥-2.93)，其中I(·)為示性函數(shù)。若UR2= tgls，2，則當UR2＜-2.93時，拒絕原假設(shè)；若UR2=tols，2時，則當UR2＜-3.40時，拒絕原假設(shè)。在單位根檢驗實踐中初始值與確定性趨勢之間的偏離程度往往是未知的，采用這一聯(lián)合檢驗的策略可以在一定程度上避免初始條件的影響，保持較高的檢驗功效。圖1比較了樣本量T=200，模型參數(shù)θ=0.05，?=-0.1，OLS和GLS退均值KSS統(tǒng)計量（ols，1、gls，1）和退包含時間趨勢的KSS統(tǒng)計量（ols，2、gls，2）以及兩個退勢統(tǒng)計量的聯(lián)合檢驗統(tǒng)計量（UR1、UR2）的檢驗勢隨初始條件的變化情況。由圖1，無論是退均值還是退包含時間趨勢情形，聯(lián)合檢驗的策略可以在一定程度上避免OLS退勢在初始條件較小情形以及GLS在初始條件較大情形下檢驗勢較低的問題。

圖1 OLS、GLS退勢KSS統(tǒng)計量以及UR統(tǒng)計量檢驗勢的特征

3 結(jié)束語

本文比較分析了不同初始條件下OLS和GLS退勢KSS統(tǒng)計量檢驗水平和檢驗勢的特征?？紤]初始條件的影響，GLS退勢KSS統(tǒng)計量的檢驗勢高于OLS退勢KSS統(tǒng)計量的結(jié)論不再成立，特別是，在初始條件較大情形下，GLS退勢KSS統(tǒng)計量的檢驗勢非常低。在單位根檢驗實踐中，初始條件大小往往是未知的，甚至無從判斷，借鑒Harvey等[2]提出的聯(lián)合檢驗的策略可以保留GLS退勢和OLS退勢KSS統(tǒng)計量的檢驗勢在不同初始條件下的優(yōu)勢，這為STAR模型框架下的退勢單位根檢驗提供了一種簡單且實用的工具。

[1]Muller U K,Elliott G.Tests for Unit Roots and Initial Condition[J]. Econometrica,2003，(71).

[2]HarveyDI,LeybourneSJ,TaylorAMR.UnitrootTestinginPractice: Dealing with Uncertainty over the Trend and Initial Condition[J]. Econometric Theory,2009，(25).

[3]Kapetanios G,Shin Y,Snell A.Testing for a Unit Root in the Nonlinear STAR Framework[J].Journal of Econometrics,2003，(112).

[4]KapetaniosG,ShinY.GLS Detrend-Based Unit Root Tests in Nonlin?ear STAR and SETAR models[J].Economics Letters，2008，(100).

[5]劉雪燕.STAR模型中退勢單位根檢驗的小樣本性質(zhì)[J].統(tǒng)計研究, 2009，(3).

[6]ElliottG,RothenbergTJ,StockJH.Efficient Tests for an Autoregressive unitroot[J].Econometrica,1996(64).

（責任編輯/亦民）

Impacts of the Initial Condition on Unit Root Test Using De-trending Procedures in STAR Models

Ouyang Minhua
(Statistics Postdoctoral Research Station，Jinan University，Guangzhou 510632,China)

This paper investigates the power and size performance of the KSS unit root test using OLS and GLS de-trending procedures under uncertain initial conditions in STAR models.Results show that the KSS test using GLS is more powerful than the OLS-based test for the case without consideration of initial condition.However,the power of GLS-based KSS test decreases drastically as the initial deviation gets large,while the power of OLS-based KSS test increases.The paper further discusses the unit root testing strategy under initial conditions in STAR models.

STAR models;unit root;de-trending;KSS test

F224

A

1002-6487（2017）10-0035-04

中國博士后科學基金資助項目（2014M562245）

歐陽敏華（1981—），男，江西永新人，博士，講師，研究方向：經(jīng)濟計量理論與方法。