丟番圖平方和恒等式的探索之旅
——體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的一則教學(xué)案例

浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 (321004) 王 安 師曉莉 朱 哲

丟番圖平方和恒等式的探索之旅
——體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的一則教學(xué)案例

浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 (321004)
王 安 師曉莉 朱 哲

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中挖掘和滲透數(shù)學(xué)思想方法有非常重要的意義.近年來(lái)的高考越來(lái)越重視對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考察.經(jīng)歷過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)的考生，大都掌握了一些高中課本所不曾接觸過(guò)的知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法，在高考應(yīng)對(duì)某些難度很大的問(wèn)題時(shí)往往輕車(chē)熟路，應(yīng)對(duì)自如.例如在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)恒等式的證明，求代數(shù)式的最值等問(wèn)題，此時(shí)應(yīng)用丟番圖平方和恒等式可以在解決問(wèn)題時(shí)迅速挖掘出題目中的隱含條件，從而為解決難題提供捷徑.數(shù)學(xué)競(jìng)賽的思想方法可以滲透到高考題中，使問(wèn)題解決更巧妙.本文借助一道高中競(jìng)賽題設(shè)計(jì)了一個(gè)滲透“數(shù)形結(jié)合”思想的教學(xué)案例，從一般到特殊，在高三復(fù)習(xí)課時(shí)以專題形式展開(kāi)，在代數(shù)中融入幾何，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，將抽象思維變?yōu)樾蜗笏季S，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)[1]，對(duì)解決高考難題有所啟發(fā)和幫助.

1.呈現(xiàn)問(wèn)題情境

通過(guò)一個(gè)較簡(jiǎn)單的高中競(jìng)賽題引出丟番圖平方和恒等式，讓學(xué)生先獨(dú)立思考再相互討論.然后給出歷史上丟番圖的做法，通過(guò)呈現(xiàn)丟番圖平方和恒等式產(chǎn)生的數(shù)學(xué)史背景，簡(jiǎn)單介紹“代數(shù)之父”丟番圖的著作《算術(shù)》以及其生平，引導(dǎo)學(xué)生了解其發(fā)展的過(guò)程，追根溯源，讓學(xué)生回到歷史之中，激發(fā)探索挑戰(zhàn)的興趣.

問(wèn)題 若兩個(gè)不相等的自然數(shù)a、b使得等式(42+62)(32+52)=a2+b2成立，且a>b，則符合條件的數(shù)對(duì)有(a,b)= .(1991年廣西省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)

歷史上也曾對(duì)類似的問(wèn)題進(jìn)行過(guò)討論，斐波那契在《平方數(shù)之書(shū)》中明確指出丟番圖曾在其著作《算術(shù)》第三卷的第19個(gè)問(wèn)題中寫(xiě)過(guò)一個(gè)算式：65=13×5=(32+22)×(22+12)=82+12=72+42.

據(jù)此，世人推測(cè)丟番圖很早就已經(jīng)掌握了這個(gè)平方和恒等式所揭示的實(shí)數(shù)運(yùn)算規(guī)律，因此，這個(gè)平方和恒等式被命名為丟番圖平方和恒等式，也成為后世阿拉伯人證明其他數(shù)學(xué)理論的強(qiáng)大工具.

引發(fā)學(xué)生思考：我們能把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示出來(lái)嗎？

若a、b、c、d是實(shí)數(shù)，則(a2+b2)(c2+d2)=(ad+bc)2+(bd-ac)2.

根據(jù)這個(gè)公式，我們可以得出上述問(wèn)題的答案：滿足上述條件的數(shù)對(duì)是(38,18)或(42,2).通過(guò)解決高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，了解相關(guān)數(shù)學(xué)史實(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程，從中獲得成功的體驗(yàn).

2.證明丟番圖平方和恒等式

應(yīng)用丟番圖平方和恒等式可以在解決高中數(shù)學(xué)難題時(shí)讓解法更加巧妙簡(jiǎn)便.但在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)于抽象冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)公式還是很難理解和記憶.因此，我們將對(duì)其進(jìn)行推導(dǎo)證明，從一般到特殊，逐步加深學(xué)生對(duì)丟番圖平方和恒等式的理解，為之后的應(yīng)用打下良好的基礎(chǔ).

在初中階段學(xué)生就已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式的乘法和相關(guān)的乘法法則，引導(dǎo)學(xué)生回憶學(xué)過(guò)的乘法法則和乘法公式.

①單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：a·(b+c)=ab+ac.

②兩數(shù)和的平方：(a+b)2=a2+b2+2ab.

③平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2等.

引導(dǎo)學(xué)生思考：我們可以用直觀的幾何圖形形象地表現(xiàn)這些代數(shù)恒等式嗎？讓大家動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)，然后教師通過(guò)幾何畫(huà)板向?qū)W生進(jìn)行展示，具體見(jiàn)圖1，圖2，圖3.

圖1 圖2

圖3

通過(guò)幾何畫(huà)板演示圖形，在學(xué)生頭腦中初步構(gòu)建了數(shù)形轉(zhuǎn)化的模型，重點(diǎn)關(guān)注平方差公式.與前面兩個(gè)公式不同的是平方差公式在代數(shù)式轉(zhuǎn)變成面積的基礎(chǔ)上，還要通過(guò)剪切拼接才能得到最后的結(jié)果，讓學(xué)生好好體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，從一般到特殊，為下面丟番圖平方和恒等式的證明做好鋪墊.

接下來(lái)，教師提出更有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題.呈現(xiàn)丟番圖平方和恒等式：(a2+b2)(c2+d2)=(ad+bc)2+(bd-ac)2.

引導(dǎo)學(xué)生思考：古希臘的幾何成就斐然，在丟番圖之前已經(jīng)涌現(xiàn)出了許多幾何大師，那么丟番圖平方和恒等式是否也蘊(yùn)含了幾何背景呢？你能給出這個(gè)復(fù)雜的代數(shù)恒等式合理的幾何解釋嗎？

教師提出問(wèn)題后，學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組交流相互補(bǔ)充，每個(gè)小組派代表來(lái)展示一下證明過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生用多種方法進(jìn)行證明.如果學(xué)生感到有困難，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回憶用面積法證明平方差公式時(shí)，關(guān)鍵是用a,b表示出圖中相關(guān)正方形和長(zhǎng)方形的面積，再找到它們之間的等量關(guān)系，由此遷移到丟番圖平方和恒等式的證明.

圖4

(1)幾何證法一

如圖1所示，在RtΔABC中，設(shè)AB=c,BC=d,AD=b,BE=a.則DB=c-b，CE=d-a.過(guò)點(diǎn)D、E分別作直角邊AB、BC的垂線，使它們交于點(diǎn)F，于是四邊形DBEF是矩形.

因此(a2+b2)(c2+d2)=(bc+ad)2+(a2+b2)(c2+d2)sin2θ.

又因?yàn)镾ΔACF=SΔABC-SΔADF-SΔCEF-S1(其中SΔACF、SΔABC、SΔACF、SΔCEF、S1分別表示各個(gè)三角形的面積以及矩形DBEF的面積.)因此

這個(gè)證明過(guò)程涉及的幾何知識(shí)并不難，只是運(yùn)算稍微繁瑣一些，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，揭示了丟番圖平方和恒等式的幾何背景.

(2)幾何證法二

引導(dǎo)學(xué)生思考：幾何證法一中丟番圖平方和恒等式的證明推導(dǎo)過(guò)程雖然思路簡(jiǎn)單，但是需要進(jìn)行大量運(yùn)算，能否只通過(guò)直觀的形來(lái)揭示抽象的數(shù)的本質(zhì)，達(dá)到“不證自明”？

丟番圖平方和恒等式其實(shí)有著非常直觀的幾何背景，觀察如圖5-圖10所示的一系列圖形就可以“不證自明”[2].

首先引導(dǎo)學(xué)生觀察恒等式的左右兩邊各有什么特點(diǎn)，左端很容易讓人聯(lián)想到矩形的面積公式.因此，圖5把丟番圖平方和恒等式的左式轉(zhuǎn)化成了一個(gè)長(zhǎng)為(a2+b2)，寬為(c2+d2)的矩形面積表達(dá)式，十分巧妙地將抽象的代數(shù)式轉(zhuǎn)化成了直觀的圖形，與學(xué)生熟知的矩形面積聯(lián)系在一起，增加了親切感；圖6在圖5的基礎(chǔ)上將各個(gè)矩形面積轉(zhuǎn)化成了相對(duì)應(yīng)的4個(gè)邊長(zhǎng)分別為ac、bc、ad、bd的正方形的面積；圖7在圖6的基礎(chǔ)上，將正方形進(jìn)行了重新拼接；圖8把圖7右側(cè)的圖形進(jìn)行新的剪拼，為圖9的轉(zhuǎn)換做好準(zhǔn)備；圖9將面積為abcd的矩形的長(zhǎng)和寬進(jìn)行了重新的轉(zhuǎn)換，恰好與圖8左側(cè)的圖形拼接組成了一個(gè)邊長(zhǎng)為(ab+dc)的正方形；圖10則展示了最后拼接的結(jié)果，我們可以很直觀的看到通過(guò)一系列巧妙的剪割拼接，最后得到了一個(gè)面積為(ab+dc)2的正方形，和一個(gè)面積為(bd-ac)2的矩形.

通過(guò)數(shù)形完美的結(jié)合，用直觀的形來(lái)揭示數(shù)的本質(zhì)，與幾何證法一相比更直觀，且避免了代數(shù)運(yùn)算的繁瑣，達(dá)到“不證自明”的效果.另外，這種證法與導(dǎo)入平方差公式時(shí)給出的證明思想方法基本一致，讓學(xué)生學(xué)會(huì)遷移，舉一反三，加深對(duì)丟番圖平方和恒等式的理解，學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法.

通過(guò)提供多種證明方法，由學(xué)生進(jìn)行選擇，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，開(kāi)闊學(xué)生的思路，同時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合思想，也是分散，分步突破本節(jié)的重難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)知識(shí)的正遷移，讓學(xué)生驚嘆于數(shù)形轉(zhuǎn)化之妙的同時(shí)，巧妙解決問(wèn)題，增強(qiáng)探索數(shù)學(xué)的興趣.

3.丟番圖平方和恒等式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

在經(jīng)歷了丟番圖平方和恒等式證明的探究之后，學(xué)生對(duì)其有了更深刻的理解，對(duì)數(shù)形結(jié)合也有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí).因此，通過(guò)一些練習(xí)來(lái)進(jìn)行應(yīng)用鞏固，讓學(xué)生感受其在數(shù)學(xué)解題中發(fā)揮的巨大價(jià)值.

3.1 用丟番圖平方和恒等式證明二維柯西不等式

思考：你能用丟番圖平方和恒等式證明二維柯西不等式嗎？

二維柯西不等式：若a,b,c,d∈R,則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.

出示問(wèn)題后，先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后小組之間交流討論，請(qǐng)一位同學(xué)上臺(tái)來(lái)展示一下他的做法，教師給予及時(shí)的點(diǎn)播和糾正，并給予鼓勵(lì).

證明：∵a,b,c,d∈R,∴(ad-bc)2≥0,∵(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.

通過(guò)丟番圖平方和恒等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用來(lái)證明二維柯西不等式，由于思路清晰，一步到位，大部分學(xué)生都能在解決問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)到成功的喜悅.

3.2 用丟番圖平方和恒等式解決高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題

對(duì)于優(yōu)秀的學(xué)生，用丟番圖平方和恒等式解決高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題來(lái)開(kāi)發(fā)他們的數(shù)學(xué)潛能.

由于個(gè)體存在差異性，對(duì)于班級(jí)里優(yōu)秀的學(xué)生，通過(guò)此題能進(jìn)一步強(qiáng)化對(duì)丟番圖平方和恒等式的理解，提高學(xué)生的思維能力和計(jì)算能力.利用丟番圖平方和恒等式解決高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，不僅可以讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法，而且讓學(xué)生面對(duì)高考難題時(shí)也會(huì)進(jìn)行遷移，充滿挑戰(zhàn)的信心.

[1]葛益平.數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的妙用[J].中學(xué)數(shù)學(xué).2016,(9):65-68.

[2]RogerB.Nelsen.數(shù)學(xué)寫(xiě)真集(第一季)——無(wú)需語(yǔ)言的證明[M].機(jī)械工業(yè)出版社，2016：22.

[3](美)G·波利亞著.涂泓，馮承天等譯.怎樣解題——數(shù)學(xué)教學(xué)法的新面貌[M].上?？萍冀逃霭嫔?2002.

[4]朱哲.余弦定理：一則體現(xiàn)數(shù)學(xué)聯(lián)系與歷史的教學(xué)案例[J].數(shù)學(xué)通訊, 2005(17):1-3.

[5]歐陽(yáng)絳.數(shù)學(xué)方法溯源[M].大連理工大學(xué)出版社,2008.