數(shù)學(xué)原理教學(xué)及其設(shè)計(jì)

方友明　李麗芳

摘 要 以促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)原理課的教學(xué)效果為目的，在總結(jié)國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)原理課教學(xué)及其設(shè)計(jì)的研究現(xiàn)狀基礎(chǔ)上，分析中學(xué)數(shù)學(xué)原理的本質(zhì)、學(xué)習(xí)的程度以及原理課教學(xué)所采取的由原理到例子的教學(xué)內(nèi)涵，并設(shè)計(jì)由原理到例子的數(shù)學(xué)原理課教學(xué)設(shè)計(jì)的案例，以期為中學(xué)教師的教學(xué)提供幫助和借鑒。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)原理 教學(xué)設(shè)計(jì) 案例

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2017）12-0025-03

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)原理課是一門很重要的課程，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著很重要的作用，而部分教師在原理教學(xué)過(guò)程中只教會(huì)了學(xué)生數(shù)學(xué)原理要記住數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)法則、數(shù)學(xué)性質(zhì)和數(shù)學(xué)定理，而并沒(méi)有讓學(xué)生理解這個(gè)原理的真正的數(shù)學(xué)意義。因此講授數(shù)學(xué)原理時(shí)不僅僅是讓學(xué)生單純的學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)性質(zhì)、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)法則，而是要他們理解數(shù)學(xué)原理的真正含義并能實(shí)際運(yùn)用。而原理課的教學(xué)設(shè)計(jì)是教師為了使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)原理時(shí)更容易接受和更好的理解數(shù)學(xué)原理。教學(xué)中教師要讓學(xué)生理解并掌握數(shù)學(xué)原理，把握住數(shù)學(xué)思想，感悟出數(shù)學(xué)的思維方式，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)原理課的興趣，還要使學(xué)生了解原理的公式、性質(zhì)、法則、定理在整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)中的作用、地位和價(jià)值，尋找如何在中學(xué)數(shù)學(xué)原理教學(xué)中讓學(xué)生輕松學(xué)好原理的方法。

本文主要探討是原理課的教學(xué)和設(shè)計(jì)，講述中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)原理課的本質(zhì)、學(xué)習(xí)的程度以及學(xué)習(xí)原理課的幾種形式，列舉原理課的教學(xué)設(shè)計(jì)的案例，為中學(xué)教師的教學(xué)提供幫助和范例。

一、數(shù)學(xué)原理教學(xué)的研究現(xiàn)狀

我國(guó)在很早以前的教育史上就出現(xiàn)了關(guān)于數(shù)學(xué)原理的研究，他們不僅注重?cái)?shù)學(xué)原理的言語(yǔ)性信息還注數(shù)學(xué)原理的本質(zhì)。到了當(dāng)代，數(shù)學(xué)原理的教學(xué)及其設(shè)計(jì)的理論與實(shí)踐出現(xiàn)了勃勃生機(jī)。從上世紀(jì)80年代到現(xiàn)在，我國(guó)教育界對(duì)數(shù)學(xué)原理的教學(xué)及其設(shè)計(jì)進(jìn)行了許多的理論與實(shí)踐研究。近年來(lái)國(guó)內(nèi)關(guān)于本論文的研究很多，有學(xué)術(shù)性論文、碩士論文和博士論文，楊勤合于2012年在《學(xué)周刊》第5期刊登了《新課程理念下數(shù)學(xué)原理的教法和學(xué)法》一文，分析了新課程下的原理教學(xué)的方法以及做好原理課設(shè)計(jì)的各項(xiàng)工作。數(shù)學(xué)原理教學(xué)及其設(shè)計(jì)的理論研究以及各種模式的教學(xué)實(shí)驗(yàn)已出具規(guī)模，對(duì)其教學(xué)和設(shè)計(jì)的課程的開(kāi)展提供了理論依據(jù)。

數(shù)學(xué)原理課的教學(xué)及設(shè)計(jì)有著長(zhǎng)久的歷史，從古至今，國(guó)內(nèi)外關(guān)于數(shù)學(xué)原理教學(xué)的文章有很多，由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)原理教學(xué)及其設(shè)計(jì)是具有重要意義的課題，值得我們?nèi)リP(guān)注，并通過(guò)案例解析。同時(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)原理教學(xué)及其設(shè)計(jì)的研究也是有理論依據(jù)和研究背景的，廣大學(xué)者的研究結(jié)晶有助于我們進(jìn)一步實(shí)踐。教師在教學(xué)過(guò)程中改變?cè)碚n的教學(xué)方式、教學(xué)手段，通過(guò)案例分析，突出數(shù)學(xué)原理課的重要性，可以提升其教學(xué)設(shè)計(jì)情操和能力，融入學(xué)生，做學(xué)生的良師益友，讓學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)原理課，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

二、數(shù)學(xué)原理教學(xué)的本質(zhì)

1.數(shù)學(xué)原理的本質(zhì)

數(shù)學(xué)原理的理解一般分為兩種，一種理解為客觀原理，采用言語(yǔ)符號(hào)信息來(lái)描述概念之間的關(guān)系，屬于陳述性知識(shí)；另一種理解為主觀原理，即學(xué)習(xí)者的心理操作反應(yīng)系統(tǒng)（產(chǎn)生式系統(tǒng)），是學(xué)習(xí)者在某些特定的情況下能根據(jù)各種關(guān)系做出相關(guān)響應(yīng)的反應(yīng)，屬于程序性知識(shí)。

數(shù)學(xué)中的原理主要包含定理、公式、性質(zhì)和法則。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)原理主要是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)性質(zhì)、數(shù)學(xué)法則。教師在數(shù)學(xué)原理教學(xué)中應(yīng)樹(shù)立以下理念：

（1）數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)就是數(shù)學(xué)概念之間關(guān)系的學(xué)習(xí)，概念學(xué)習(xí)也就成為原理學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

（2）數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)不但要習(xí)得原理的言語(yǔ)性知識(shí)，還得習(xí)得原理的心理意義。

（3）習(xí)得數(shù)學(xué)原理的不是孤立地掌握某一個(gè)數(shù)學(xué)原理，而是要在各個(gè)原理之間建立起聯(lián)系，形成一種原理網(wǎng)絡(luò)。

（4）學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)原理的本質(zhì)是習(xí)得產(chǎn)生式。只要信息條件滿足，相關(guān)的行為反應(yīng)就會(huì)出現(xiàn)，學(xué)習(xí)者可以據(jù)此指導(dǎo)自己解決遇到的新問(wèn)題。

2.數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的幾種程度

了解、理解、掌握和綜合應(yīng)用是數(shù)學(xué)原理的四種程度學(xué)習(xí)水平：

（1）了解：能復(fù)述出原理的言語(yǔ)信息，并能辨認(rèn)出這種原理的常見(jiàn)題型，還能列舉出一些相關(guān)例子。

（2）理解：能區(qū)別原理的反例與例證，能與相關(guān)的數(shù)學(xué)原理建立聯(lián)系，能掌握原理的本質(zhì)屬性。

（3）掌握：在理解的基礎(chǔ)上，直接將原理運(yùn)用在新的問(wèn)題情境中。

（4）綜合運(yùn)用：在綜合類型的題目中運(yùn)用原理解決問(wèn)題。

3.數(shù)學(xué)原理教學(xué)的幾種形式

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)原理不僅要學(xué)會(huì)原理的言語(yǔ)性知識(shí)，還要掌握原理的程序性知識(shí)。在數(shù)學(xué)原理課堂教學(xué)中一般有兩種教學(xué)形式，即由原理到例子的教學(xué)和由例子到原理的教學(xué)。

由例子到原理的教學(xué)是教師先向?qū)W生提供豐富的例子，通過(guò)教師的適時(shí)指導(dǎo)，使學(xué)生從例證中順利、準(zhǔn)確地歸納總結(jié)出一般結(jié)論。這是一種獨(dú)立發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)習(xí)者認(rèn)知水平要求較高，簡(jiǎn)稱為“例子—原理法”。

由原理到例子的教學(xué)是教師先向?qū)W生呈現(xiàn)數(shù)學(xué)原理，讓學(xué)生在掌握構(gòu)成原理的各個(gè)概念、原理的基礎(chǔ)上，運(yùn)用實(shí)例來(lái)說(shuō)明原理的準(zhǔn)確性（有時(shí)需要邏輯證明），并指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用原理解決問(wèn)題，從而讓學(xué)生掌握住原理。這是一種接受式學(xué)習(xí)，簡(jiǎn)稱“原理—例子法”。對(duì)學(xué)習(xí)者認(rèn)知水平要求不高，初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中主要采取原理到例子的教學(xué)形式，在掌握數(shù)學(xué)原理本質(zhì)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用大量的例證來(lái)說(shuō)明原理所反映的關(guān)系。

高中的學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理，教師可以先呈現(xiàn)正弦定理“在三角形中，各邊和它所對(duì)的正弦的比相等”和余弦定理“三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍?！比缓笤偻ㄟ^(guò)具體的例子來(lái)說(shuō)明這個(gè)數(shù)學(xué)原理的運(yùn)用，接著通過(guò)一些練習(xí)讓學(xué)生掌握這個(gè)數(shù)學(xué)原理。但采用“原理到例子的學(xué)習(xí)”的前提條件是，學(xué)習(xí)者必須已經(jīng)掌握了構(gòu)成這個(gè)原理的其他項(xiàng)的概念。比如說(shuō)，在正弦定理中，學(xué)習(xí)者必須已經(jīng)掌握了什么是正弦角和余弦角，否則就不會(huì)運(yùn)用由這些概念構(gòu)成的正弦定理。

三、原理到例子的教學(xué)設(shè)計(jì)

1.原理到例子的教學(xué)模式

數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)是有意義的學(xué)習(xí)，是新舊數(shù)學(xué)原理知識(shí)的相互作用，從而形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程。如果學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具備了新原理的相關(guān)的適當(dāng)觀念，就能促進(jìn)新原理的學(xué)習(xí)。在課堂教學(xué)中，老師可以適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生回憶、復(fù)習(xí)與原來(lái)相關(guān)的舊知識(shí)，以便幫助學(xué)生同化新的原理。

在初中學(xué)習(xí)原理“偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形”。老師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)偶函數(shù)、奇函數(shù)、軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形、兩點(diǎn)關(guān)于一條直線對(duì)稱和兩點(diǎn)關(guān)于一點(diǎn)對(duì)稱等概念，這樣才可能讓學(xué)生同化新原理。

2.原理到例子的教學(xué)設(shè)計(jì)

課題兩角和的余弦公式。

教學(xué)內(nèi)容三角恒等變換，兩角和的余弦公式。

[教學(xué)目標(biāo)]

學(xué)會(huì)推導(dǎo)并熟記平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式；能夠運(yùn)用公式從正反兩個(gè)方向解決簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題，為建立其他兩角差的公式奠定基礎(chǔ)。

[教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)]

教學(xué)重點(diǎn)：兩角和的余弦公式的推導(dǎo)及運(yùn)用。

教學(xué)難點(diǎn)：兩角和的余弦公式的靈活運(yùn)用。

[學(xué)法與教學(xué)用具]

學(xué)法：?jiǎn)l(fā)式教學(xué)

教學(xué)用具：多媒體

[教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)]

（一）導(dǎo)入

讓學(xué)生先討論“cos（45€？30€埃？cos45€？cos30€笆欠癯閃ⅲ俊薄#ㄑü厥飩僑嗆島陀嘞液鬧滌頡⒓撲閆鰲⒘坑嘞蟻叩某ざ熱滯揪督餼鑫侍猓5貿(mào)鯿os（45€？30€埃賑os45€？cos30€啊=貿(mào)鯿os（ + ）≠cos +cos 這個(gè)結(jié)論。此時(shí)再次提出那么cos（ + ）又等于什么呢？這正是我們今天要研究的內(nèi)容。（揭示課題：兩角和的余弦。）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，順其自然地提出問(wèn)題，揭示出課題，引導(dǎo)學(xué)生思考。使學(xué)生明確目標(biāo)、迅速進(jìn)入角色。

復(fù)習(xí)提問(wèn)：

（1）畫出一個(gè)鈍角、一個(gè)銳角的余弦線、正弦線。

（2）如果單位圓與角a的終邊相交于某點(diǎn)P，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)可以用角a的三角函數(shù)值表示嗎？怎樣表示？

（3）用在同一坐標(biāo)軸上的兩點(diǎn)寫出兩點(diǎn)間距離公式。

新課引入：我們?cè)诮鉀Q上面的三個(gè)問(wèn)題之前，先解決“平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離的求法”這一問(wèn)題。

通過(guò)上面的知識(shí)點(diǎn)回顧，我們了解了同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間距離公式。那么，坐標(biāo)與平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離有什么關(guān)系呢？（通過(guò)具體的例子讓學(xué)生觀察同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間距離和平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離的關(guān)系。）

教學(xué)過(guò)程：

3.結(jié)論

對(duì)于數(shù)學(xué)原理課的教學(xué)設(shè)計(jì)，不僅需要對(duì)原理掌握透徹，而且還需要靈活的運(yùn)用，善于將知識(shí)之間的聯(lián)系緊密連接起來(lái)，因此我們需要不斷的分析典型的教學(xué)案例，找出其內(nèi)在的規(guī)律與聯(lián)系，這樣才能對(duì)原理課的教學(xué)及其設(shè)計(jì)才有更深刻的掌握、理解及運(yùn)用。

總之，數(shù)學(xué)原理課的內(nèi)容形式變化不斷，教學(xué)設(shè)計(jì)要有適應(yīng)性、靈活性，我們要善于思考、分析、總結(jié)，才有可能找出問(wèn)題的突破口，從而解決問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳曉慧.教學(xué)設(shè)計(jì)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2005.

[2]烏美娜.教學(xué)設(shè)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，1994.

[3]馬復(fù).試論數(shù)學(xué)理解的兩種類型[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2001，（3）.

（責(zé)任編輯 陳 利）