淺談幾何直觀培養(yǎng)的失落現(xiàn)象分析與策略探尋

蔣高揚

浙江省縉云縣實驗小學

【摘 要】《數(shù)學課程標準（2011年版）》將幾何直觀作為十個核心概念之一，充分體現(xiàn)了幾何直觀的價值。而幾何直觀的形成需要一個逐步的過程，本文試圖就“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，依托圖形的引導和構(gòu)建，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而達到培養(yǎng)學生的幾何直觀能力的目的。

【關(guān)鍵詞】圖形表征；幾何直觀；策略

幾何直觀是《數(shù)學課程標準（2011年版）》新增加的核心概念之一，主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學習過程中都發(fā)揮著重要作用，它不僅存在于“圖形與幾何”教學之中，而且更廣泛地運用于其他領(lǐng)域內(nèi)容的學習中。其價值由此可見一斑，因此教師應(yīng)當注重對學生幾何直觀能力的培養(yǎng)。

憂：幾何直觀培養(yǎng)的課堂失落

在我校五年級一次數(shù)學測試中，有這樣一道題：一桶油，連桶稱共30千克，倒出一半的油，連桶稱還有16千克。原來桶里的油有多少千克？桶重多少千克？

就是這樣一道數(shù)量關(guān)系并不復雜的題目，正確率極低。筆者對八個班491位同學的解答情況進行統(tǒng)計匯總，結(jié)果如下：沒畫圖解答錯誤有333人，占67.8%；沒畫圖解答正確有102人，占20.8%；畫圖解答錯誤有5人，占1.0%；畫圖解答正確有51人，占10.4%。從統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn)：很多學生難以找到解決問題的關(guān)鍵點，個別學生只是“跟著感覺”對數(shù)據(jù)特征進行拼湊，而說不清數(shù)量之間的關(guān)系，更不能從“連桶稱油”前后的質(zhì)量變化中體會到桶質(zhì)量的不變。絕大部分學生主動畫圖意識淡薄，用圖分析問題的習慣較差。

此次統(tǒng)計雖不能涵蓋每一位學生的情況，卻也能看出當前幾何能力培養(yǎng)“課堂失落”的現(xiàn)狀。在學生解答碰到困難時為什么不畫圖，是想不到畫圖還是不會畫圖呢？帶著這些疑問，筆者對本校的部分數(shù)學教師課堂教學情況進行了調(diào)研，旨在透視和剖析其背后的原因，以期實現(xiàn)促進學生幾何直觀能力發(fā)展，提升直觀素養(yǎng)。調(diào)查發(fā)現(xiàn)：教師培養(yǎng)幾何直觀的“行為現(xiàn)狀”與“理念境界”差距較大，學生的幾何直觀意識不容樂觀，導致教學效果低微，有時甚至失效。主要存在以下幾種情況：

現(xiàn)象一：只用課件，缺乏體驗

很多教師的課堂過度依賴課件，特別是一些需要動手操作的也用課件演示替代，學生的數(shù)學活動缺乏實踐的體驗，這不利于學生感悟數(shù)學概念和結(jié)論。

現(xiàn)象二：只是直觀，忘了抽象

教學四年級下冊“乘法分配律”的例題：短袖衫每件32元，褲子每條45元，夾克衫每件65元。買5件夾克衫和5條褲子，一共要付多少元？有些教師利用下面圖1，引導學生從例題的兩種解法獲得等式（65+45）×5=65×5+45×5。通過比較、舉例驗證、用字母表示規(guī)律。

這樣教學，上圖僅僅是為了呈現(xiàn)兩種解法的思路，也就是用圖描述的是兩種解法，并不是所要學的乘法分配律。大家知道，學生獲得對乘法分配律含義的理解，關(guān)鍵在于由生活情境向運算本質(zhì)進行抽象。

現(xiàn)象三：只有單一，不見多樣

有些教師照搬教科書或者教參上的幾何直觀圖例，可謂圖形單一。他們對幾何直觀進行了片面解讀，只有“分析”（利用圖形分析問題），沒有“描述”（運用圖形描述問題），使得幾何直觀也“單一”起來。如北師大版五年級下冊“異分母分數(shù)加減法”，教學時，通常是讓學生根據(jù)題意列出算式，帶著“該怎樣算”的問題，分組進行折紙、涂色等操作。討論從而明確：計算時，先通分，把異分母分數(shù)轉(zhuǎn)化成同分母分數(shù)。問題是，學生通過折紙涂色獲得的是算法，而沒有將新知納入原有認知系統(tǒng)之中，沒有把異分母分數(shù)加減與整數(shù)加減、小數(shù)加減建立起實質(zhì)性聯(lián)系，缺乏本質(zhì)認識。

記下這一組課例，不難看出，膚淺的課堂暴露了眾多的問題，畫圖成了負擔，導致教學效果低微，有時甚至失效，這已成為制約課堂教學質(zhì)量不提升的瓶頸，因此培養(yǎng)學生的幾何直觀能力迫在眉睫，成為廣大一線數(shù)學教師重新審視與思考的問題。本文擬從“數(shù)與代數(shù)”這個領(lǐng)域教學中做了以下探索：

行：幾何直觀培養(yǎng)的策略探尋

由于小學生的思維正處于直觀形象思維的階段，為了較好地解決“抽象性”與“形象性”之間的矛盾，圖形在小學數(shù)學教學中能發(fā)揮獨特的作用。教師應(yīng)該通過對數(shù)學圖形的導學、分析和構(gòu)造，培養(yǎng)學生主動使用圖形的意識和習慣，有效理解概念，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，掌握方法，從而促進學生幾何直觀能力的發(fā)展。

（一）“圖導”——“圖形語言”現(xiàn)本質(zhì)

“圖導”就是根據(jù)教材中提供的圖，指導學生看圖、讀圖、用圖，挖掘圖中的信息，為學生學習數(shù)學服務(wù)。

圖形有助于發(fā)現(xiàn)、描述問題，有助于探索、發(fā)現(xiàn)解決問題的思路，也有助力于我們理解和記憶得到的結(jié)果。能力的培養(yǎng)取決于價值的認同，教學中我們應(yīng)該積極，讓學生體會幾何直觀的價值與作用。例如，教學“王大媽有一些雞蛋，第一天賣出全部雞蛋的一半多2個，還剩16個雞蛋，王大媽原來有多少個雞蛋？”很多學生往往會這樣解決：（16-2）×2?？梢詥l(fā)學生畫出如下的示意圖：

在畫圖的基礎(chǔ)上，引導學生將題目中的數(shù)量關(guān)系與直觀圖形的意義對應(yīng)起來，找到正確的解題思路，初步體會示意圖對解決問題的作用。列式解答后，讓學生看圖解釋每一步算式的含義，再一次借助圖形直觀闡釋數(shù)量關(guān)系的含義，理解列式的依據(jù)。學生在這一過程中充分體會幾何直觀的價值。

在日常教學中，我們應(yīng)有這樣的導向：能畫圖時盡量畫，其實質(zhì)是將相對抽象的思考對象“圖形化”，盡量把問題、計算、證明等數(shù)學的過程變得直觀，直觀了就容易展開形象思維，便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律、得出結(jié)論。

（二）“圖構(gòu)”——“直覺觀念”現(xiàn)理性

策略一：童畫示例，激活圖構(gòu)“原動力”

學生的圖畫具有兒童化的直觀示例作用，清晰地呈現(xiàn)出指向問題解決的“思維地圖”，它使隱性的知識顯性化，充分展現(xiàn)數(shù)學問題的本質(zhì)，將理性的抽象思維過程形象化，有助于學生打開思維的大門，培養(yǎng)直觀意識與能力，提升直觀素養(yǎng)。在教學北師大版五下《分數(shù)乘法》時，我進行了有益的嘗試。

可見，畫圖可將情境轉(zhuǎn)釋，幫助我們理解情境，將這些關(guān)系進行數(shù)學語言、生活語言等形式的轉(zhuǎn)換，分析尋找思路，促使學生的數(shù)學思維實現(xiàn)了感性向理性的跨越。童畫示例，較之教師親自范畫，其特有的親切感，更接地氣，更容易成為激發(fā)高參與率的原動力。

策略二：大膽想象，創(chuàng)生圖構(gòu)“成長力”

幾何直觀，其本質(zhì)就是一種通過圖形所展開的數(shù)學想象能力。聯(lián)想和想象是發(fā)展學生幾何直觀能力的重要手段。

計算題和圖形看似沒有任何關(guān)系，但將分數(shù)加法轉(zhuǎn)化成圖形表示后，不僅避開了復雜的運算，還拓展了學生思維的深度，明白了其中的道理。更為重要的是，豐富學生的構(gòu)圖體驗，激發(fā)并持續(xù)學生的圖構(gòu)熱情。

思：探尋過程中的一點思考

（一）樹立一種觀念——關(guān)注差異，循序漸進

對于幾何直觀，要在不同的教學內(nèi)容中長期滲透、循序漸進。教師首先要鼓勵學生以個性化地方式來記錄自己的思維，鼓勵學生從不同的角度思考同一個問題；然后教師再引導學生對方法進行對比與優(yōu)化，并發(fā)現(xiàn)不同方法之間的區(qū)別和聯(lián)系；教師還要注意一個“度”的把握問題：學生個性化的方法和準確、簡潔、去情境、去細節(jié)、高度抽象的數(shù)學方法之間，何時過渡？怎么過渡？過渡到什么程度？教師要在學生的個性化方法和數(shù)學的通法之間、在學生的想象和數(shù)學的理性思考之間穿梭往返，循序漸進地培養(yǎng)學生的幾何直觀能力。

（二）強化一種認識——“需”直觀而非“須”直觀

圖形的導學可以為學生形成幾何直觀能力打下堅實的基礎(chǔ)，而圖形的構(gòu)建從另一個方面體現(xiàn)了幾何直觀方法的實際運用，兩者的辯證關(guān)系在數(shù)學教學活動中得到了完美的呈現(xiàn)，但是，圖形是學生思維的腳手架。我們也應(yīng)該注意到，由數(shù)轉(zhuǎn)形的方法雖好但不容易想到，所以我們不能盲目地使用“直觀”。可見，圖形表征之“鋒利”需要體現(xiàn)在“刀口”上，才能真正發(fā)揮其特殊功用。

我們的數(shù)學教學應(yīng)該行進在“圖導”走向“圖構(gòu)”的路上，通過適度的“圖導”和巧妙的“圖構(gòu)”，適當?shù)匕l(fā)揮圖形的教學潛能，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)。

參考文獻：

[1]《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》（2011版），北京師范大學出版社，2012年

[2]《江蘇教育》，2015年第7——11期