非線性四階多點(diǎn)邊值問(wèn)題的正解*

趙冬霞,張 玲,田淑杰

( 1.大慶師范學(xué)院; 2.東北石油大學(xué))

0 引言

非線性四階邊值問(wèn)題在物理學(xué)中的流體力學(xué)、彈性力學(xué)等領(lǐng)域問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用和研究，尤其是其正解具有深刻的意義，不少作者都曾對(duì)此問(wèn)題有過(guò)研究，并且得到了一些結(jié)論.該文討論包含參數(shù)的非線性四階多點(diǎn)邊值問(wèn)題，當(dāng)參數(shù)屬于一定范圍時(shí)，得出問(wèn)題的正解.

1 問(wèn)題與假設(shè)

研究非線性四階邊值問(wèn)題，即

其中α,β均為正數(shù)，滿足0<γ<1，而ρ>0是參數(shù)．對(duì)上面的邊值問(wèn)題進(jìn)行討論，討論在什么條件下存在正解，并對(duì)正解的存在性進(jìn)行證明.先構(gòu)造出Green函數(shù)，然后將上面的邊值問(wèn)題的微分形式轉(zhuǎn)化為單個(gè)積分的積分方程,并利用錐拉伸與壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理[1]證明其正解的存在性.

假設(shè)：

定義1 稱函數(shù)u(t)為邊值問(wèn)題式(1)的正解，如果它滿足u∈C1[0,1]∩C2(0,1)，在(0,1)內(nèi)u(t)>0，并且u(t)滿足邊值問(wèn)題(1)[2].

定理1 假設(shè)(H1),(H2)或(H1),(H3)成立，則邊值問(wèn)題式(1)至少存在一個(gè)正解．

引理1 設(shè)a,b,c是實(shí)常數(shù)，φ1(t),φ2(t)是方程av″(t)+bv′(t)+cv(t)=0的2個(gè)無(wú)關(guān)解，φ0(t)是邊值問(wèn)題

的一個(gè)解，則φ(t)=c1φ1(t)+c2φ2(t)+φ0(t)是方程av″(t)+bv′(t)+cv(t)=h(t)的通解，其中c1,c2是任意常數(shù)．

證明直接驗(yàn)證即可．

(1)‖Φu‖≤‖u‖，u∈K∩?Ω1；并且‖Φu‖≥‖u‖,u∈K∩?Ω2或

(2)‖Φu‖≥‖u‖,u∈K∩?Ω1;并且‖Φu‖≤‖u‖,u∈K∩?Ω2,

引理3 ?s,t∈[0,1]成立不等式

t(1-t)G1(s,s)≤G1(t,s)≤G1(s,s),

(*)

(**)

G2(s,s),

(***)

(****)

證明?s,t∈[0,1]有

即可證得式(*)．特別，由式(*)知η(1-η)≤G2(η,s)≤G1(s,s)，便可證得式(**)，利用Taylor公式，并注意到eρs-e-ρs的單調(diào)性，可知

2 邊值問(wèn)題的等價(jià)形式及格林函數(shù)

令u″(t)=-v(t)，則有

(2)

首先對(duì)非線性三點(diǎn)邊值問(wèn)題進(jìn)行研究

容易知道邊值問(wèn)題

又由于φ1(t)=t,φ2(t)=1-t是u″(t)=0的2個(gè)無(wú)關(guān)解，根據(jù)引理1知邊值問(wèn)題式(2)等價(jià)于積分方程

并滿足條件u(0)=0,u(1)=0，也即有

由邊值問(wèn)題(2)的邊界條件

整理可得

另記δ=α(1-γη)+β(1-γ)，則由克拉默法則可得確定c1,c2為

可知邊值問(wèn)題式(2)等價(jià)于積分方程

整理得

然后再對(duì)非線性兩點(diǎn)邊值問(wèn)題進(jìn)行研究

(4)

上述的非線性邊值問(wèn)題(4)可以很容易的轉(zhuǎn)化為如下的等價(jià)積分方程

其中令

并將v(t)表達(dá)式帶入u(t)表達(dá)式中得到

(5)

引理4 ?s,t∈[0,1],成立不等式

證明?s,t∈[0,1]由引理3得

t(1-t)G1(s,s)≤G1(t,s)≤G1(s,s)

η(1-η)G1(s,s)≤G1(η,s)≤G1(s,s)

因此

H(t,s)≥t(1-t)G1(s,s)+

又

3 正解的存在性

設(shè)C[0,1]是[0,1]上全體連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的Banach空間，C[0,1]={u∈C[0,1];u≥0}，定義映射Φ:C[0,1]→C[0,1]

記

引理5Φ:K→K全連續(xù)．

證明?u∈K,由引理3知

再令

因此Φu∈K，即Φ(K)?K，另外容易證明Φ是全連續(xù)的.

4 正解存在性證明

假設(shè)(H1),(H2)成立．由(H2)知存在r>0，使當(dāng)0≤u≤r時(shí)有f(t,u)≤εu，這里ε>0,滿足

G2(s,τ)f(τ,u(τ))dsdτ≤1.

取Ω1={u∈C[0,1];‖u‖

即有‖Φu‖≤‖u‖．

再由(H2)知存在R1>0，使當(dāng)u≥R1時(shí)有f(t,u)≥μu，此處μ>0滿足

因此，由引理4知

即有‖Φu‖≥‖u‖．

假設(shè)(H1),(H3)成立．由(H3)知存在r>0，使當(dāng)0≤u≤r時(shí)，有f(t,u)≥μu,這里μ>0

滿足

設(shè)Ω1={u∈C[0,1];‖u‖

即‖Φu‖≥‖u‖．

再由(H3)知存在H>0，使當(dāng)u≥H時(shí)有f(t,u)≤εu，這里ε>0使

則有

令Ω2={u∈C[0,1];‖u‖

即有‖Φu‖≤‖u‖．

若f (t,u)有界，則存在N>0，使對(duì)t∈[0,1]和u∈[0,+∞)有f (t,u)≤N，取

令Ω2={u∈C[0,1];‖u‖

即‖Φu‖≥‖u‖．

參 考 文 獻(xiàn)

[1] Guo Dajun, Lakshmikantham V. Nonlinear problems in Abstract Cone[M]. Boston: Aeademie Press, 1988.

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[3] 趙冬霞.二階非線性三點(diǎn)邊值問(wèn)題的正解[J].大慶師范學(xué)院學(xué)報(bào),2013(11):28-32.

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[6] Yang Yang, Zhang Jihui. Nontrivial solutions for some fourth order boundary value problems [J]. Nonlinear Analysis，2009 (70):3966-3977.

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