幾何最值問題大剖析

甘曉云+勞榮旦

幾何中求最值問題是中考的?？碱}，也是同學(xué)們覺得困難的一類題. 其實(shí)這類題常以四種形式出現(xiàn)：求線段最值、求線段之和的最小值、求線段之差的最大值、求立體幾何中的最值問題. 平時(shí)我們遇到的最值問題其實(shí)就是把之前學(xué)過的簡(jiǎn)單模型放在一個(gè)情境中去考察，只要懂得把問題中相應(yīng)的幾何最值模型抽象出來，問題就會(huì)有法可尋，有法可解. 下面結(jié)合幾道中考題進(jìn)行分類解析，供同學(xué)們參考.

類型一 線段最值——利用“垂線段最短”求最值

例1：如圖1，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2[2]，點(diǎn)D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫 O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長(zhǎng)度的最小值為（ ）

A. 2 B.[3] C.[5] D.3

【分析】由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑AD最短。我們可以這么添加輔輔線：過點(diǎn)O作EF的垂線，連接OE，OF，如圖2所示。此時(shí)線段EF=2EH=2OE·sin∠EOH=2OE·sin60°，因此當(dāng)半徑OE最短時(shí)，EF最短，在Rt△ADB中，解直角三角形求直徑AD，由圓周角定理可知∠EOH=[12]∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂徑定理可知EF=2EH.

解：由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑AD最短，

連接OE，OF，過O點(diǎn)作OH⊥EF，垂足為H，

∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2[2]，

∴ AD=BD=2，即圓O的直徑為2，

由圓周角定理可知∠EOH=[12]∠EOF=∠BAC=60°，

∴ 在Rt△EOH中，EH=OE·sin∠EOH=1×sin60°=1×[32]=[32]，

由垂徑定理可知EF=2EH=[3].

故答案為B.

求線段的最值時(shí)，若所求線段長(zhǎng)可轉(zhuǎn)化為求一點(diǎn)到某一直線的距離，則將之轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，再利用“垂線段最短”原理，過該點(diǎn)作此直線的垂線，最后計(jì)算垂線段的長(zhǎng)即可求解。

類型二 線段和的最小值——利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求最值

例2：如圖3，A點(diǎn)是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，B點(diǎn)是弧AN的中點(diǎn)，P點(diǎn)是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)， O的半徑為1，則AP+BP的最小值為（ ）

A.1 B.[22] C.[2] D.[3]-1

【分析】首先找出點(diǎn)A關(guān)于直徑MN對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)A′，那么AP+BP的最

小值就是A′B的長(zhǎng)度.

解：如圖4所示，作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′，此時(shí)，BA′與直徑MN的交點(diǎn)即為動(dòng)點(diǎn)P的位置.

∵ A是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，

∴∠AON=∠A′ON=360°÷2÷3=60°，

又∵點(diǎn)B是弧AN的中點(diǎn)，

∴∠BON=[12]∠AON=[12]×60°=30°

∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°

在Rt△A′OB中，由勾股定理得：A′B2=A′O2+BO2=1+1=2

得：A′B=[2]，

所以：AP+BP的最小值是[2].

故答案為C.

求線段和最小時(shí)，若已知的兩點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)所在直線的同側(cè)，將動(dòng)點(diǎn)所在的直線當(dāng)作對(duì)稱軸，作出其中一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，再將另一點(diǎn)與這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)連接（即三點(diǎn)共線時(shí)），則其與直線的交點(diǎn)即為所求動(dòng)點(diǎn)所在位置，再求出所連接的線段長(zhǎng)即為所求。

類型三 線段差的最大值——利用三角形三邊關(guān)系求最值

例3：如圖5所示，已知A[12，y1]，B（2，y2）為反比例函數(shù)y=[1x]圖象上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P（x，0）在x正軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ ）

A.[12，0] B.（1，0） C.[32，0] D.[52，0]

【分析】先求出A，B的坐標(biāo)，接著設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把A，B的坐標(biāo)代入求出直線AB的解析式，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出在△ABP中，|AP-BP|

解：∵把A[12，y1]，B（2，y2）代入反比例函數(shù)y=[1x]得：y1=2，y2=[12]，

∴ A[12，2]，B[2，12].

在△ABP中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：|AP-BP|

∴延長(zhǎng)AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時(shí)，PA-PB=AB，

即此時(shí)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，

設(shè)直線AB的解析式是y=ax+b（a≠0）

把A，B的坐標(biāo)代入得：[2=12a+b12=2a+b ，]

解得：[a=-1b=52]，

∴直線AB的解析式是y=-x+[52]，

當(dāng)y=0時(shí)，x=[52]，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為[52，0]時(shí)，線段AP與線段BP之差達(dá)到最大；

故答案為D.

利用軸對(duì)稱變換，若已知的兩點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)所在直線的異側(cè)，需把兩定點(diǎn)放在動(dòng)點(diǎn)所在直線的同側(cè)，將該直線當(dāng)作對(duì)稱軸，作出其中一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，再將另一點(diǎn)與這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)連接（即三點(diǎn)共線時(shí)），則其與直線的交點(diǎn)即為所求動(dòng)點(diǎn)所在位置，而連接的兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)即為所求，即轉(zhuǎn)化為求線段的長(zhǎng)度即可求解。

類型四 立體幾何中的最值問題——轉(zhuǎn)換為平面圖形中的最值問題解決

例4：如圖7，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為4dm，圓柱高為2dm，在圓柱的側(cè)面上，過點(diǎn)A和點(diǎn)C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為（ ）

A.4[2]dm B.2[2]dm C.2[5]dm D.4[5]dm

【分析】要求金屬絲的周長(zhǎng)，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長(zhǎng)時(shí)，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到矩形，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為2AC的長(zhǎng)度.

∵ 圓柱底面的周長(zhǎng)為4dm，圓柱高為2dm，

∴ AB=2dm，BC=BC′=2dm，

∴ AC 2=22+22=8，

∴ AC=2[2]dm.

∴ 這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為2AC=4[2]dm.

故答案為A.

求立體圖形中的最值問題時(shí)，先將立體圖形的側(cè)面展開成平面圖，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”找到題意所要求的最短路徑，進(jìn)而求解。