“解決問題”教學(xué)紀(jì)實(shí)與反思

于鴻儒

教學(xué)內(nèi)容：人教版小學(xué)《數(shù)學(xué)》五年級下冊4單元。

教學(xué)目標(biāo)：

1.能在具體生活情境中提煉數(shù)學(xué)信息、處理信息，并能應(yīng)用公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的知識解決生活中的實(shí)際問題。

2.通過擺一擺、拼一拼、畫一畫、算一算的方法，經(jīng)歷解決問題的全過程，提高解決問題的能力。

3.在知識的應(yīng)用過程中，培養(yǎng)觀察、歸納、總結(jié)的能力，運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解決生活中的問題。

教學(xué)重點(diǎn)：

能在具體生活情境中提煉數(shù)學(xué)信息、處理信息，并能應(yīng)用公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的知識解決生活中的實(shí)際問題。

教學(xué)難點(diǎn)：

在知識的應(yīng)用過程中，培養(yǎng)觀察、歸納、總結(jié)的能力，運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解決生活中的問題。

教學(xué)流程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

師：上一周我們學(xué)校組織了一次創(chuàng)意大賽，我們班一位同學(xué)設(shè)計(jì)的水果密碼鎖獲得了一等獎(jiǎng)。（課件演示。）密碼鎖是由這樣兩個(gè)多邊形的水果圖案組成的，一個(gè)是正五邊形，一個(gè)是正方形也就是正四邊形。兩個(gè)圖案沿著邊進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)圖案又重新完整拼回時(shí)，邊轉(zhuǎn)動(dòng)的次數(shù)就是密碼。你能快速猜猜密碼是多少嗎？

生1： 5。

生2： 4。

生3： 20。

師：那好吧，大家一起幫我數(shù)一數(shù)。

（課件演示，學(xué)生數(shù)。結(jié)果學(xué)生發(fā)現(xiàn)猜測似乎和實(shí)際不一樣。）

【設(shè)計(jì)意圖：從游戲入手，一下子就激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。又由于猜測的結(jié)果和想象的不太一樣，使得學(xué)生想探究的欲望更加強(qiáng)烈，因此，學(xué)生很快便投入到學(xué)習(xí)活動(dòng)中來?！?/p>

二、自主合作、探究新知

師：看來這個(gè)問題不是想當(dāng)然的那么簡單，所以我們就要進(jìn)行研究，到底該怎么研究呢？你們覺得用什么方法研究比較好呢？

…………

師：是啊，多好的辦法啊，實(shí)踐出真知，只有親自動(dòng)手實(shí)踐得出的結(jié)論才更有意義、更有價(jià)值，我們的印象才會(huì)更深刻。

接下來，我們就在小組內(nèi)親自動(dòng)手?jǐn)[一擺，轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)老師為你準(zhǔn)備的學(xué)具，數(shù)一數(shù)轉(zhuǎn)了多少次之后，圖案又完整地拼合了。首先我們先來看看操作要求。

操作要求：（課件出示。）

1.小組動(dòng)手操作，旋轉(zhuǎn)圖片，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。（每組圖片的形狀各不相同。）

2.全班匯報(bào)。

生1：我們組轉(zhuǎn)了12次。

生2：我們組轉(zhuǎn)了8次。

生3：我們組轉(zhuǎn)了20次。

生4：我們組轉(zhuǎn)了8次……

師：為什么轉(zhuǎn)動(dòng)這些次數(shù)？轉(zhuǎn)動(dòng)的次數(shù)和誰有關(guān)？

生：和兩個(gè)圖形的邊數(shù)有關(guān)。

師：這組同學(xué)能找到問題的關(guān)鍵進(jìn)行研究，聰明！其實(shí)這個(gè)過程就是提煉數(shù)學(xué)信息的過程。

師：什么規(guī)律呢？你能用自己組的例子說出你的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：我們組是正方形和正六邊形，邊數(shù)分別是4和6，它們的最小公倍數(shù)是12，所以轉(zhuǎn)了12次，圖案就又拼合了。

師：說得好，有根有據(jù)，有條有理。誰來繼續(xù)匯報(bào)？（學(xué)生邊匯報(bào)，教師邊板書。）

生：我們組是正方形和正五邊形，邊數(shù)分別是4和5，它們的最小公倍數(shù)是20，所以轉(zhuǎn)了20次，圖案就又拼合了。

生：我們組是兩個(gè)八邊形，邊數(shù)分別是8和8，它們的最小公倍數(shù)是8，所以轉(zhuǎn)了8次，圖案就又拼合了。

師：轉(zhuǎn)動(dòng)20次的小組，正方形轉(zhuǎn)了幾圈呢？五邊形轉(zhuǎn)了幾圈？是怎么算的呢？

生：正方形轉(zhuǎn)了5圈，20除以4等于5。五邊形轉(zhuǎn)了4圈，20除以5等于4。

師：正方形和正八邊形這一組，分別都轉(zhuǎn)了多少圈呢？

生：分別轉(zhuǎn)了2圈和1圈。

師：真是非常有價(jià)值，你們的發(fā)現(xiàn)都一樣嗎？

生：一樣。

生：老師，我還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)其中一個(gè)圖形不動(dòng)，另一個(gè)圖形繞著它轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，正好也是轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)圖形的公倍數(shù)的次數(shù)就可以重合。例如：正方形和正五邊形，正方形不動(dòng)，正五邊形繞著正方形轉(zhuǎn)動(dòng)，正好轉(zhuǎn)20次，圖形拼合，正五邊形正好轉(zhuǎn)了4圈。

師：你的發(fā)現(xiàn)令人驚嘆。那如果正五邊形不動(dòng)，正方形繞著正五邊形轉(zhuǎn)動(dòng)呢？

生：也是20次，正方形轉(zhuǎn)動(dòng)5圈重合。

師：看來，無論是兩個(gè)圖形同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，還是某一個(gè)圖形繞著另一個(gè)圖形轉(zhuǎn)動(dòng)，結(jié)果都是一樣的，是吧？

師：那我們能不能把這個(gè)規(guī)律用語言概括總結(jié)一下呢？

生：我發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)圖形的邊數(shù)的最小公倍數(shù)是幾就轉(zhuǎn)幾次，圖案就能完整拼合起來。

師：接下來問題來了，為什么轉(zhuǎn)動(dòng)的次數(shù)是兩個(gè)圖形邊數(shù)的最小公倍數(shù)圖案就拼合了，為什么不是其他的次數(shù)呢？

生：因?yàn)閳D案要想完整地拼合，必須要轉(zhuǎn)動(dòng)整圈數(shù)，也就是五邊形一圈需要轉(zhuǎn)動(dòng)5次 ，四邊形一圈需要轉(zhuǎn)動(dòng)4次。那么想同時(shí)轉(zhuǎn)回來需要的是5和4的公倍數(shù)。

師：語言準(zhǔn)確，精練，具有數(shù)學(xué)家的潛質(zhì)??！我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)遇到實(shí)際問題時(shí)，可以先從中找到相關(guān)的數(shù)學(xué)信息，然后把它們轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，再進(jìn)行歸納、整理，結(jié)論就顯而易見了！

師：現(xiàn)在你能快速告訴我，一個(gè)七邊形和四邊形組成的圖案，需要轉(zhuǎn)動(dòng)幾次呢？八邊形和五邊形呢？

師：我們都是在求這一組數(shù)據(jù)的最小公倍數(shù)。（板書：貼在上面。）

小結(jié)：看來，科學(xué)道理、科學(xué)規(guī)律并不是憑空產(chǎn)生的。最小公倍數(shù)的知識是我們學(xué)過的，但是我們很難想象這個(gè)事情和最小公倍數(shù)有關(guān)系?？墒且坏┞?lián)系起來了，就會(huì)覺得原來學(xué)習(xí)最小公倍數(shù)是這么有趣。

師：我們在解決實(shí)際問題的過程中把它轉(zhuǎn)化成了已知的數(shù)學(xué)問題，問題是不是就迎刃而解了呢？（板書：實(shí)際問題—轉(zhuǎn)化—數(shù)學(xué)問題。）看來，找到學(xué)習(xí)的方法，比找到一個(gè)結(jié)論更為重要。

【設(shè)計(jì)意圖： 讓學(xué)生通過動(dòng)手操作經(jīng)歷解決問題的全過程。學(xué)生感興趣的同時(shí)，不斷提高解決問題的能力。在觀察分析、總結(jié)歸納中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力?！?

三、聯(lián)系實(shí)際，綜合運(yùn)用

我們學(xué)校的閱覽室還差墻面的裝飾沒有完成，學(xué)校想用長30厘米，寬20厘米的墻磚在墻面上進(jìn)行裝飾，于是向大家征集方案，請問，如果用這種墻磚鋪成一個(gè)正方形（用的磚必須都是整塊的），這個(gè)想法能否實(shí)現(xiàn)？能鋪成邊長是多少厘米的正方形呢？

1.獨(dú)立思考，我們可以怎么解決這個(gè)問題呢？你有什么好方法嗎？

生1：我們可以動(dòng)手?jǐn)[一擺。

師：我不能把墻磚拿來給大家擺一擺啊。

生：我們可以擺學(xué)具啊。

師：是啊，學(xué)以致用，我們剛剛說過實(shí)踐是一個(gè)好方法。可是我一想啊，這樣子準(zhǔn)備學(xué)具太多了，還要帶過來太麻煩。于是我就偷了個(gè)懶，沒做學(xué)具。你們幫我想想還有沒有別的好辦法了？

生2：可以畫圖。

師：好方法，可是我怎么畫呢？我能把長是30厘米，寬是20厘米的墻磚畫到本子上嗎？

生：可以縮小了畫。

師：怎么縮小呢？

生：可以畫一個(gè)長3厘米，寬2厘米的長方形。

師：你的提議太好了，既解決了本子上畫不下的問題，又使問題變得容易了。

師：還可以怎么畫呢？

生：還可以畫個(gè)草圖，標(biāo)上數(shù)字就行了。

師：是啊，這個(gè)方法真妙！你與我不謀而合，草圖畫起來省時(shí)，能提高解題的效率。你真是為同學(xué)們提了個(gè)好建議。

生3：可以算一算。

師：看來我們班的同學(xué)不僅會(huì)思考，有想法，而且還有方法，我真佩服你們！

3.小組內(nèi)畫一畫，說一說有什么發(fā)現(xiàn)。

生：能拼成正方形，我們拼的正方形邊長是60厘米。

師：為什么是60厘米呢？

生：因?yàn)檎叫蔚倪呴L相等，所以要拼成正方形，它的邊長必須既是20的倍數(shù)，又是30的倍數(shù)。也就是它們的公倍數(shù)，所以是60厘米。

師：真好，還有不同的結(jié)論嗎？

生：我覺得可以拼成邊長是120厘米的正方形。

師：理由呢？

生：因?yàn)?20也是20和30的公倍數(shù)。所以可以拼成邊長是120厘米的正方形。

師：還有不同答案嗎？

生：還可以拼成180，240，300，360……

師：有多少種拼法呢？

生：無數(shù)種。因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的。（板書：公倍數(shù)。）

師：看來大家之前的知識掌握得還真是很牢固啊。難道就沒有質(zhì)疑的聲音嗎？

生：我覺得不能有無數(shù)種，因?yàn)閴γ娴拇笮∈怯邢薜?，不可能裝飾的面積大于墻的面積。

師：你的思維縝密又周全。感謝你的發(fā)言，給同學(xué)們開啟了另一扇思維的窗戶。

生：我覺得還不能隨便選擇一個(gè)鋪。因?yàn)檫€要考慮作為裝飾是否美觀的問題。

師：是啊，看看，當(dāng)我們面臨生活中的實(shí)際問題時(shí)，既要用數(shù)學(xué)的思維去解決，還要結(jié)合實(shí)際情況靈活處理?；顚W(xué)活用，才是智慧的表現(xiàn)。

【設(shè)計(jì)意圖：聯(lián)系生活實(shí)際，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，同時(shí)又在動(dòng)手操作中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，能總結(jié)出解決這類的問題就是要將實(shí)際的問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題?！?/p>

四、鞏固訓(xùn)練，應(yīng)用提升

課件：

1.小剛和小明決定每天跳繩鍛煉身體，小剛每跳3分鐘休息1分鐘，小明每跳4分鐘休息1分鐘，兩個(gè)人什么時(shí)間同時(shí)休息？第二次同時(shí)跳是什么時(shí)間？

生：12分鐘，3和4的最小公倍數(shù)是12。

生：不對，需要休息1 分鐘，所以小剛是第4分鐘休息，小明是第5分鐘休息，他們兩個(gè)人同時(shí)休息，應(yīng)該是4和5的最小公倍數(shù)，應(yīng)該是第20分鐘兩個(gè)人同時(shí)休息。

師：這樣分析有道理嗎？那么第二次同時(shí)跳是什么時(shí)間呢？

生：第21分鐘。

2.五月份我們學(xué)校就要召開春季運(yùn)動(dòng)會(huì)了，于是我們班的麗麗每天都和爸爸媽媽跑步鍛煉身體，爸爸跑一圈用3分鐘，媽媽跑一圈用4分鐘，麗麗跑一圈用6分鐘。你能提出關(guān)于公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的問題并解答嗎？

小結(jié)：這節(jié)課，我們運(yùn)用了公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的知識解決生活中實(shí)際的問題。在解決問題的過程中，我們要先提煉出相關(guān)的數(shù)學(xué)信息，然后在頭腦中進(jìn)行加工處理，分析判斷，最重要的是找到解決問題的方法，也就是——把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題。最后我們再把它應(yīng)用到實(shí)際問題中去。同學(xué)們，是這樣嗎？

其實(shí)，這節(jié)課我們運(yùn)用的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的知識，只不過是數(shù)學(xué)知識浩瀚宇宙里的一顆小星星，在今后的學(xué)習(xí)中，我們可以繼續(xù)用更多的數(shù)學(xué)知識來解決生活中的問題?。ㄟ呎f邊板書。）

【設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)難度是逐步提升、循序漸進(jìn)的，要學(xué)會(huì)變相思維，多角度地考慮問題。主要是鍛煉學(xué)生的思維，使學(xué)生得到發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的鍛煉，培養(yǎng)學(xué)生綜合解決問題的能力。】

五、數(shù)學(xué)文化

其實(shí)在古代，希臘與中國等國家或地區(qū)都有各自對最小公倍數(shù)的認(rèn)識。古希臘歐幾里得在《幾何原本》中提出了最小公倍數(shù)概念，中國北魏張邱建在《張邱建算經(jīng)》中闡述了最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的關(guān)系，印度的馬哈維拉與日本的關(guān)孝和也在后來給出對最小公倍數(shù)的理解。

提起神秘的金字塔，人們聯(lián)想到的是古埃及的燦爛文明，這些令人嘆為觀止的景象吸引著世界各地的人們前去觀光旅游，而對其中的數(shù)學(xué)家來說，他們真正感興趣的則是金字塔中的一些象形文字，這些由考古學(xué)家在一座金字塔墓碑上發(fā)現(xiàn)的象形文字，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)含義令數(shù)學(xué)家贊嘆不已。 金字塔內(nèi)引人注目的象形文字，在1822年由弗朗索瓦·高柏良破譯得出，原來它們表示的是一個(gè)數(shù)——2520。數(shù)學(xué)家經(jīng)過各種研究，慢慢揭開覆蓋在2520頭上的面紗，原來2520是自然數(shù)1—10的最小公倍數(shù)，借此還原了它的奇特面貌。

結(jié)束語：看來，數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系是密不可分的，希望大家徜徉在數(shù)學(xué)的王國里，盡情感受數(shù)學(xué)獨(dú)特的魅力吧！

反思：

1.精心研究，創(chuàng)新備課。

教學(xué)內(nèi)容，包括例題內(nèi)容和練習(xí)內(nèi)容是教師組織教學(xué)過程、實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的載體。要達(dá)到課堂教學(xué)的高效性，就必須努力達(dá)到設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容的高效性。因此，我們的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該是根據(jù)學(xué)生需要而設(shè)定的。在備課的過程中，教材中的例題與最大公因數(shù)的解決問題形式類似，對學(xué)生來說沒有新意。于是，我沒有用教材上的例題，而是選擇了一個(gè)有趣的游戲?qū)胄抡n。由兩個(gè)多邊形組成的密碼鎖，當(dāng)兩個(gè)圖形沿著邊轉(zhuǎn)動(dòng)后，圖案再次拼合回來時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)的次數(shù)就是密碼。學(xué)生一下子就被吸引住了，覺得特別有趣，并產(chǎn)生了想要研究的念頭。在第二個(gè)環(huán)節(jié)里，為了使教學(xué)有層次性，我創(chuàng)造性地改編了教材，把教材里的3分米、2分米，改成了30厘米和20厘米。學(xué)生經(jīng)歷了求兩個(gè)一位數(shù)的最小公倍數(shù)到求兩個(gè)兩位數(shù)的最小公倍數(shù)的過程，難度上稍有提高。

2.通過不同層面的操作，經(jīng)歷探究的過程。

在第一個(gè)探索密碼的環(huán)節(jié)，學(xué)生興趣非常濃厚，動(dòng)手操作直觀又形象。為了感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性、科學(xué)性，感悟“做數(shù)學(xué)”的基本方法，我給每個(gè)小組準(zhǔn)備的學(xué)具都是不一樣的，每個(gè)小組之間都是兩個(gè)不一樣的多邊形。學(xué)生在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中得出結(jié)論，并發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。當(dāng)最后匯報(bào)總結(jié)，結(jié)果呈現(xiàn)在黑板上時(shí)，結(jié)論就不言而喻了。學(xué)生經(jīng)歷了探究的過程，能力也得到了提高。并且在總結(jié)歸納的過程中，學(xué)會(huì)運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，讓實(shí)際問題與數(shù)學(xué)問題建立了一種聯(lián)系，將數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活。在教學(xué)第二個(gè)環(huán)節(jié)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了學(xué)習(xí)的方法，于是我給學(xué)生自主探究的空間，有的學(xué)生思考就能完成，有的學(xué)生提出可以畫圖來解決。于是，我順勢提醒學(xué)生畫圖是幫助你解題的一個(gè)好方法。學(xué)生經(jīng)歷了動(dòng)手操作、畫圖的過程，到最后的理性思考，從中滲透數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)方法。通過經(jīng)歷這一過程，學(xué)生能獲得對數(shù)學(xué)知識更深刻的理解。

3.練習(xí)設(shè)計(jì)有梯度，數(shù)學(xué)文化有意思。

本節(jié)課運(yùn)用公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的知識來解決實(shí)際問題。于是，我在練習(xí)題中也創(chuàng)設(shè)了籌備運(yùn)動(dòng)會(huì)鍛煉身體的這個(gè)情境。第一題雖然是在求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，但在題目上做了文章。小剛每跳3分鐘休息1分鐘，小明每跳4分鐘休息1分鐘，什么時(shí)間同時(shí)休息？最開始，學(xué)生們異口同聲地回答是12分鐘。當(dāng)我問有沒有疑義的時(shí)候，有些學(xué)生似乎覺得不對了。馬上有人發(fā)現(xiàn)，問的是什么時(shí)間同時(shí)休息，其實(shí)是第4分鐘和第5分鐘的最小公倍數(shù)，大家豁然開朗。學(xué)生總結(jié)出解決問題要考慮實(shí)際情況，考慮周全的經(jīng)驗(yàn)。第二道題是一道開放性的題目，讓學(xué)生自己提出有關(guān)于最小公倍數(shù)和公倍數(shù)的問題并解答。此題的目的也是培養(yǎng)學(xué)生提出問題和解決問題的能力。課的最后環(huán)節(jié)是數(shù)學(xué)文化，使整節(jié)課在理論上達(dá)到一個(gè)提升，尤其是金字塔里的象形文字既讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的神秘，又讓其對今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了濃厚的興趣。

當(dāng)然，本節(jié)課也有很多遺憾的地方，比如，由于第一個(gè)環(huán)節(jié)學(xué)生在探究為什么是最小公倍數(shù)時(shí)耗時(shí)過長，導(dǎo)致接下來的環(huán)節(jié)時(shí)間變得緊張，以至于學(xué)生有些問題沒有說透，甚至自己設(shè)計(jì)的一處板書也有所遺漏，實(shí)屬不應(yīng)該。

（作者單位：哈爾濱醫(yī)科大學(xué)附屬逸夫?qū)W校）

編輯/魏繼軍

補(bǔ) 白

1945年8月15日，日本無條件投降的喜訊傳到成都，市民們欣喜若狂，以各種形式慶祝，不少人家的門上貼出了大紅喜聯(lián)。其中一聯(lián)令人過目不忘：

中國捷克日本；

南京重慶成都。

上聯(lián)為三個(gè)國名，下聯(lián)為三個(gè)城市名，全聯(lián)十二字，一氣呵成，明快暢達(dá)，大有杜工部《聞官軍收河南河北》中“即從巴峽穿巫峽，便下襄陽向洛陽”之勢。聯(lián)語作者用了雙關(guān)修辭手法：“捷克”作“戰(zhàn)勝”之義，“重慶”為“再次慶祝”之義，“成都”當(dāng)理解為“成為首都”。

1937年12月13日，日軍占領(lǐng)南京城，此前國民政府遷都重慶。日本無條件投降，中國戰(zhàn)勝了日本，自然應(yīng)該還都南京，再次慶祝南京成為都城。

此聯(lián)別具一格，寄寓著勝利者的狂喜之情。