折疊問題中折痕旋轉(zhuǎn)的探索

金建偉

【摘要】軸對(duì)稱、折疊問題是中考的熱點(diǎn)、難點(diǎn)問題，幾何圖形的折疊問題，實(shí)際是軸對(duì)稱問題.通常是把某個(gè)圖形按照給定的折痕折疊，比較折疊前后全等圖形，搞清折疊前后哪些量變了，哪些量沒變，根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)與折痕的聯(lián)系、變化來命題.折疊問題的解決離不開折痕的研究，折痕（對(duì)稱軸）的類型有固定、平移、旋轉(zhuǎn)三種類型，本文著重探索折痕旋轉(zhuǎn)類型，這類題目立意新穎，能培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖、想象、靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.我們?cè)谘芯窟@類問題時(shí)要善于由形思數(shù)、由數(shù)思形、數(shù)形結(jié)合，找出對(duì)稱軸（折痕）旋轉(zhuǎn)過程中的規(guī)律，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的效果.

【關(guān)鍵詞】對(duì)稱軸；折痕；垂直平分；平移；旋轉(zhuǎn)

折疊、軸對(duì)稱問題的解決，離不開對(duì)折痕、對(duì)稱軸的研究，結(jié)合折疊前后的圖形關(guān)于折痕成軸對(duì)稱關(guān)系，即圖形之間的全等，得出對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被折痕垂直平分等知識(shí)來解決問題.如果折痕（對(duì)稱軸）是固定不動(dòng)的題型，考生相對(duì)容易解決.如果折痕（對(duì)稱軸）是旋轉(zhuǎn)的題型，折疊后的圖形隨著折痕（對(duì)稱軸）的旋轉(zhuǎn)而發(fā)生改變，解決這類題，學(xué)生往往很難找出變換后的圖形的位置特征，不知從何下手解題，無法解出題目.下面對(duì)涉及紙片折疊、軸對(duì)稱有折痕（對(duì)稱軸）旋轉(zhuǎn)的題型進(jìn)行研究、剖析，發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)規(guī)律，找出變換后圖形的位置特征，讓學(xué)生容易入手.

首先我們來研究當(dāng)直線l（對(duì)稱軸）繞固定點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，固定點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′有什么特征呢？如圖1所示，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：l⊥AA′，AB=A′B，OA=OA′必成立.由于點(diǎn)O、點(diǎn)A是固定點(diǎn)，線段OA的長(zhǎng)度是定值，軸對(duì)稱線段OA′=OA，OA′是定值，隨著對(duì)稱軸l的旋轉(zhuǎn)，對(duì)稱點(diǎn)A′的位置跟著運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)點(diǎn)A′到定點(diǎn)O的距離等于OA長(zhǎng)度，固定不變，動(dòng)點(diǎn)A′的運(yùn)動(dòng)路線看成在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓?。ㄈ鐖D2、圖3）.

即當(dāng)對(duì)稱軸沿某一固定點(diǎn)（中心）旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)稱點(diǎn)在以固定點(diǎn)（中心）為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓弧上.

折疊問題中的折痕轉(zhuǎn)動(dòng)問題，就是研究對(duì)稱軸的旋轉(zhuǎn).如果能發(fā)現(xiàn)折痕（對(duì)稱軸）繞固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)稱點(diǎn)在圓弧上的這一特征，學(xué)生可以通過畫圓弧幫助解決問題，打開思路，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的.

例1 （寧德中考數(shù)學(xué)）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠C=90°，AC=BC=4，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，將紙片沿PB折疊，得到點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D（P在C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是本身），則折疊過程對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的路徑長(zhǎng)是.

分析 本題是折疊問題，學(xué)生較難想象點(diǎn)D的位置，動(dòng)手操作起來也比較困難.如果能發(fā)現(xiàn)折痕PB繞著固定點(diǎn)B在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)軸對(duì)稱的知識(shí)，固定點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)D始終滿足BC=BD，即點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)D在以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑的圓弧上（如圖5）.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合（如圖6），當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)D的位置如圖7所示，由題意可得∠ABC=45°，根據(jù)對(duì)稱得∠DBA=45°，∠DBC=90°，點(diǎn)D的路徑長(zhǎng)是以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑，圓心角為90°的圓弧長(zhǎng)，本題就迎難而解了.

解答 lCD=14π×r2=14π×42=4π.

例2 如圖8，在矩形紙片ABCD中，BG=10，BC=13，將紙片沿過點(diǎn)G的折痕GE折疊，折痕與矩形的另一邊交于點(diǎn)E，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在邊AD上.

圖8

（1）① 若AB=10時(shí)，滿足條件的點(diǎn)F有個(gè)；

② 若AB=13時(shí)，滿足條件的點(diǎn)F有個(gè)；

③ 若滿足條件的點(diǎn)F有2個(gè)時(shí)，AB取值范圍為；

④ 若滿足條件的點(diǎn)F有1個(gè)時(shí)，AB取值范圍為；

⑤ 若滿足條件的點(diǎn)F有0個(gè)時(shí)，AB取值范圍為.

（2）當(dāng)AB=8，求出折痕的長(zhǎng).

分析 初看本題后，學(xué)生較難想象點(diǎn)F的位置，不易入手.如果能發(fā)現(xiàn)折痕（對(duì)稱軸）GE繞著固定點(diǎn)G轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)軸對(duì)稱的知識(shí)，固定點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)E始終滿足GB=GF，即點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)F在以G為圓心，BG長(zhǎng)為半徑的圓弧上.當(dāng)AB的長(zhǎng)度不同時(shí)，圓弧與AD邊會(huì)出現(xiàn)相離、相切、相交3種位置關(guān)系（如圖9、圖10、圖11），滿足條件的點(diǎn)F有0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)，本題就迎難而解了.

例3 （河南中考數(shù)學(xué)）動(dòng)手操作：在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=5.如圖12所示，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的A′處，折痕PQ，當(dāng)點(diǎn)A′在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P，Q也隨之移動(dòng).若限定點(diǎn)P，Q分別在AB，AD邊上移動(dòng)，則點(diǎn)A′在BC邊上可移動(dòng)的最大距離為.

分析 本題也屬于折疊為背景的問題，折痕（對(duì)稱軸）旋轉(zhuǎn)類型，當(dāng)點(diǎn)Q固定某個(gè)位置時(shí)，隨著點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B的移動(dòng)，折痕（對(duì)稱軸）看成繞點(diǎn)Q在旋轉(zhuǎn)，QA=QA′始終成立，定點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′始終在以點(diǎn)Q為圓心，QA為半徑的圓弧上.而本題的點(diǎn)Q是移動(dòng)的，隨著點(diǎn)Q位置不同，就可以畫無數(shù)個(gè)以Q為圓心，QA長(zhǎng)為半徑的圓弧，就是對(duì)稱點(diǎn)A′的可能路線，與BC邊的交點(diǎn)就是滿足條件點(diǎn)A′的位置，觀察下面這組圖（如圖13—圖17）.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合（如圖15），即QA=AB=3時(shí)，點(diǎn)A′剛好能落在BC上；隨著點(diǎn)Q越往點(diǎn)D方向移動(dòng)，圓弧與線段BC的交點(diǎn)A′越往左邊移動(dòng)（如圖15、圖16、圖17），當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)（如圖17），就是對(duì)稱點(diǎn)A′在最左邊的情形，只需求出圖17中BA′長(zhǎng)度，

與圖15中BA′長(zhǎng)度，兩者長(zhǎng)度之差，就是點(diǎn)A′在BC邊上可移動(dòng)的最大距離.

折疊問題中“折”是過程，“疊”是結(jié)果，其實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱變換.平面圖形的折疊問題能夠考查學(xué)生動(dòng)手操作能力與空間想象能力及推理能力.遇到折疊問題中折痕（對(duì)稱軸）旋轉(zhuǎn)時(shí)，如果能發(fā)現(xiàn)對(duì)稱點(diǎn)在圓弧上運(yùn)動(dòng)的特征，學(xué)生在解題時(shí)可以達(dá)到降低難度，化難為易的目的.

教師在課堂教學(xué)過程中要多搜集、整理、歸類一些有價(jià)值的例題和習(xí)題，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)、規(guī)律，打開學(xué)生的思路，使學(xué)生的解題思路更為清晰，思維的應(yīng)變能力得到充分的鍛煉和培養(yǎng).

【參考文獻(xiàn)】

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[2]劉強(qiáng).中考試題中的折疊問題[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2014（06）：28-29，31.