高中數(shù)學(xué)“問題串”教學(xué)的思考

鮑慧

【摘要】在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，積極采用“問題串”教學(xué)法，對提高課堂教學(xué)效率和質(zhì)量，提升學(xué)生的綜合學(xué)習能力，具有極為重大且現(xiàn)實的意義.筆者結(jié)合自身的教學(xué)實踐，就如何具體應(yīng)用“問題串”，提出幾點意見，僅供參考.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；問題串；思考

愛因斯坦說過：“問題是數(shù)學(xué)的心臟.”在課堂教學(xué)過程中，問題是促進師生互動交流，實現(xiàn)教學(xué)目標的一個重要載體.科學(xué)合理的問題串，是提升課堂效率與質(zhì)量的有效手段，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，積極采取問題串教學(xué)法，有助于課堂教學(xué)有效性、學(xué)生思維能力和獨立思考能力的培養(yǎng).所謂問題串教學(xué)，就是指在教學(xué)過程中，教師結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，圍繞一定的目標和某個中心問題，根據(jù)學(xué)生學(xué)習的心理特點、認知水平、思維方式以及知識點的層層深入，設(shè)計不同的問題，并按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)將其有序地組合起來，形成一個完整的系列，以正確引導(dǎo)學(xué)生探索知識，啟發(fā)學(xué)生積極思維.“問題串”是支持教師教學(xué)過程和學(xué)生學(xué)習過程的一個重要工具，有利于將知識點由簡單引向復(fù)雜，有利于將學(xué)生的錯誤回答或理解引向正確，并積極地參與學(xué)習活動.

一、問題串教學(xué)要突出“概念的內(nèi)涵和外延”

概念是每個課程都必須學(xué)習的知識點，但是數(shù)學(xué)概念的學(xué)習十分枯燥而且難懂，這就需要設(shè)置問題串，幫助學(xué)生更好地學(xué)習數(shù)學(xué)概念.在引入概念后，針對概念的內(nèi)涵和外延巧設(shè)問題串，啟發(fā)學(xué)生思維，通過對這些問題的思考與討論，深化數(shù)學(xué)概念，從而加強學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和認識.

案例1 在學(xué)習雙曲線的定義時，教師可根據(jù)“平面內(nèi)與定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點的軌跡叫作雙曲線”這一基本定義，即

||MF1|-|MF2||=2a（2a<|F1F2|）.

設(shè)計下列問題串：

問題1：若將定義中的“2a<|F1F2|”改為“2a=|F1F2|”，其余保持不變，那么動點的軌跡是什么？

問題2：若將定義中的“2a<|F1F2|”改為“2a>|F1F2|”，其余保持不變，那么動點的軌跡是什么？

問題3：若定義中的常數(shù)2a=0，其余保持不變，那么動點的軌跡是什么？

問題4：若去掉定義中的條件“小于|F1F2|”，其余保持不變，那么動點的軌跡是什么？

問題5：若去掉絕對值，其余仍保持不變，那么動點的軌跡是什么？

通過設(shè)置這樣的問題串，引導(dǎo)學(xué)生思考、討論、分析、深化對雙曲線概念的理解，把握雙曲線概念的內(nèi)涵，掌握雙曲線概念的本質(zhì)屬性，進而實現(xiàn)知識的自主構(gòu)建.

二、問題串教學(xué)要突出“教材的本源作用”

對教師和學(xué)生來說，教材具有權(quán)威性、示范性和完美性的特點.結(jié)合教材習題進行問題串教學(xué)，有本有源，學(xué)生感到親近，師生容易溝通，既能充分發(fā)揮教材載體的優(yōu)勢作用，又符合新課程強調(diào)“用教材教”創(chuàng)造性地使用教材的理念.

案例2 用多種方法在同一直角坐標系中，畫出函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖像.（人教A版數(shù)學(xué)必修4第34頁習題第1題）

設(shè)計下列問題串：

問題1：請用“五點法”畫出y=2+sinx，x∈[0，2π]及y=sinx-π6，x∈[0，2π]的圖像.

問題2：觀察以上三個圖像，說說它們的共同點與不同點.

問題3：由此你能得出什么樣的普遍規(guī)律？

問題4：你能通過圖形變換的方法，根據(jù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖像畫出另外兩個函數(shù)的圖像嗎？

問題5：試寫出幾個函數(shù)值加減圖像上下移動，自變量加減圖像左右移動的函數(shù)式，并根據(jù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖像畫出你寫出的函數(shù)的圖像.

通過這樣的問題串，學(xué)生就不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律，不僅讓學(xué)生在教師的循循善誘中順利渡過難關(guān)，由淺入深地逐步掌握解決問題的方法和策略，而且還可以激活學(xué)生的思維，調(diào)動學(xué)生學(xué)習的積極性和主動性.

三、問題串教學(xué)要貼近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”

新課程標準提出“生本課堂”的教學(xué)理念，即要求我們的數(shù)學(xué)課堂一定要以學(xué)生的發(fā)展為本.而實現(xiàn)這一目的，就要求我們的數(shù)學(xué)教學(xué)必須設(shè)計貼近學(xué)生的基礎(chǔ)、貼近學(xué)生的年齡特征、貼近學(xué)生的思維狀況.問題串教學(xué)便是如此，在學(xué)生知識和思維的最近發(fā)展區(qū)就題目進行變式，否則問題串教學(xué)就失去了意義，反而容易造成學(xué)生處處碰壁，產(chǎn)生為難情緒.

案例3 在數(shù)學(xué)必修5第二章“數(shù)列”第四節(jié)“等比數(shù)列”中，為了配合教材中的例4給出了如下問題：當數(shù)列{an}，{bn}是項數(shù)相同的兩個等比數(shù)列時，數(shù)列{pan+qbn}（其中p，q是常數(shù)）也是等比數(shù)列嗎？

教材中的例4所給的數(shù)列{an}，{bn}是等比數(shù)列，討論的是{an·bn}是否構(gòu)成等比數(shù)列.為了配合這個例題提出了上面的問題，其目的是通過類比讓學(xué)生進一步認識到這兩個數(shù)列各自的特點與性質(zhì).為了讓學(xué)生更清楚地認識到兩個特殊數(shù)列的區(qū)別，設(shè)計如下問題串：

問題1：當數(shù)列{an}，{bn}是項數(shù)相同的兩個等比數(shù)列時，數(shù)列anbn是等比數(shù)列嗎？

問題2：當數(shù)列{an}，{bn}是項數(shù)相同的兩個等差數(shù)列時，數(shù)列{an·bn}也是等差數(shù)列嗎？

問題3：當數(shù)列{an}，{bn}是項數(shù)相同的兩個等差數(shù)列時，數(shù)列anbn是等差數(shù)列嗎？

問題4：當數(shù)列{an}，{bn}是項數(shù)相同的兩個等差數(shù)列時，數(shù)列{pan+qbn}（其中p，q是常數(shù)）也是等差數(shù)列嗎？

問題5：當數(shù)列{an}是等比數(shù)列時，數(shù)列{an+an+r}（其中r是非負整數(shù)）是等比數(shù)列嗎？

問題6：當數(shù)列{an}是等比數(shù)列時，是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{an+λan+1}為等比數(shù)列？若存在，求出λ的范圍；若不存在，請說明理由.

問題7：當數(shù)列{an}是等差數(shù)列時，數(shù)列{an+an+r}（其中r是非負整數(shù)）是等差數(shù)列嗎？

問題8：當數(shù)列{an}是等差數(shù)列時，是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{an+λan+1}為等差數(shù)列？若存在，求出λ的范圍；若不存在，請說明理由.

向?qū)W生提出上述問題串，促使學(xué)生站在不同的角度對問題進行審視與思考，然后通過仔細的觀察、分析、歸納總結(jié)等，進而漸漸發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列、等比數(shù)列的區(qū)別以及各自的特點.

四、問題串教學(xué)要突出“思維的階梯式發(fā)展”

問題串教學(xué)的目的之一就是訓(xùn)練思維、提升能力，幫助學(xué)生登高望遠，這就要求問題串必須有一定的“思維梯度”，否則學(xué)生只能在原有水平徘徊，進行無休止的機械訓(xùn)練，永遠也無法一覽眾山.

案例4 若正數(shù)x，y滿足2x+y=1，求1x+1y的最小值.

問題1：若正數(shù)x，y滿足2x+y=2，求1x+2y的最小值.

問題2：若正數(shù)x，y滿足1x+2y=2，求2x+y的最小值.

問題3：若正數(shù)x，y滿足y+2x=2xy，求2x+y的最小值.

問題4：若正數(shù)x，y滿足x+y+1x+9y=17，求x+y的最大值.

問題5：已知正數(shù)x，y滿足x+2y=3，求1x+1+12y+2的最小值.

問題6：已知正數(shù)x，y滿足x+2y=3，求1x+1+22y+2的最小值.

問題7：已知正數(shù)x，y滿足x+y≤2，求2x+3y+1x-y的最小值.

問題8：若x>0，y>0，且12x+y+1y+1=2，求x+2y的最小值.

問題9：已知正數(shù)x，y滿足1x+1y=1，求3xx-1+9yy-1的最小值.

問題10：設(shè)x，y是正實數(shù)且滿足x+y=1，求x2x+1+y2y+2的最小值.

解析：因為1x+1y=1x+1y（2x+y）=3+yx+2xy≥3+22，等號成立時yx=2xy，結(jié)合2x+y=1可以求出x，y（以下問題剖析時不再說明等號成立的條件）.下面問題組著重強化此類問題的常規(guī)解法，簡單地說就是“乘常數(shù)，除以常數(shù)”，這種“代數(shù)式的變形”為利用基本不等式解決問題提供了氛圍.問題1強化方法的運用；問題2盡管條件和結(jié)論對調(diào)了位置，但解決的方法不變；問題3中的y+2x=2xy可變形為1x+2y=2，回歸問題2；問題4的突破口是由常規(guī)解法可知1x+9y（x+y）的范圍可求，可將條件兩邊同乘（x+y）即得；問題5思維層次在上升，關(guān)鍵是根據(jù)分母特征構(gòu)造新常數(shù)（x+1）+（2y+2）=6，則1x+1+12y+2=161x+1+12y+2[（x+1）+（2y+2）]，展開可求；問題6仿問題5；問題7中觀察分母（x+3y）+（x-y）=2（x+y）≤4與常數(shù)有關(guān)，則

2x+3y+1x-y=12（x+y）·2x+3y+1x-y·[（x+3y）+（x-y）]

≥12（x+y）·（3+22）≥3+224；問題8由以上問題的“發(fā)現(xiàn)構(gòu)造常數(shù)”轉(zhuǎn)型為“尋找條件與結(jié)論的隱含關(guān)系”，轉(zhuǎn)化為求（2x+y）+3（y+1）=2（x+2y）+3的范圍，回歸問題2；問題9將3xx-1+9yy-1，變形為31-1x+91-1y，發(fā)現(xiàn)分母之和為常數(shù)1，仿問題1；問題10中將x2x+1+y2y+2分離常數(shù)，變形得（y+2）+（x+1）+4y+2+1x+1-6=4y+2+1x+1-2，觀察其分母之和為常數(shù).

以上問題實現(xiàn)了思維能力的三次飛躍：從“乘常數(shù)，除以常數(shù)”的常規(guī)解法，到“發(fā)現(xiàn)構(gòu)造新常數(shù)”，再到“代數(shù)式的變形后觀察新常數(shù)”.立足點在“常數(shù)”的運用上，突破點在“代數(shù)式”的變形上；結(jié)合點在“變形后條件和結(jié)論關(guān)系”的觀察上；制高點在“變形后因果關(guān)系”的形式，使本質(zhì)的東西更全面，使學(xué)生學(xué)習時不只是停留于事物的表象，而能自覺地從本質(zhì)看問題，比較全面地觀察問題，尋求事物之間的聯(lián)系，從而理解問題的本質(zhì).

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